Reformátování vstupu :

Změny na vstupu by neměly mít vliv na řešení:
(1): “x2” bylo nahrazeno “x^2”.

Řešení krok za krokem :

Pokus o faktorizaci rozdělením prostředního členu

1.1 Faktorizace x2-2x-1
První člen je, x2 jeho koeficient je 1 .
Prostřední člen je, -2x jeho koeficient je -2 .
Poslední člen, “konstanta”, je -1
Krok-1 : Vynásobte koeficient prvního členu konstantou 1 – -1 = -1
Krok-2 : Najděte dva činitele -1, jejichž součet se rovná koeficientu prostředního členu, který je -2 .

-1

+

1

=

0

Zjištění : Žádné dva takové činitele nelze najít !!!
Závěr : Trojčlenku nelze vyložit

Rovnice na konci 1. kroku :

 x2 - 2x - 1 = 0 

Krok 2 :

Parabola, nalezení vrcholu :

2.1 Nalezení vrcholu y = x2-2x-1
Paraboly mají nejvyšší nebo nejnižší bod zvaný vrchol . Naše parabola se otevírá a podle toho má nejnižší bod (AKA absolutní minimum) . Víme to ještě před vykreslením “y”, protože koeficient prvního členu, 1 , je kladný (větší než nula).
Každá parabola má svislou přímku souměrnosti, která prochází jejím vrcholem. Díky této symetrii by přímka symetrie procházela například středem dvou x -průsečíků (kořenů nebo řešení) paraboly. Tedy pokud má parabola skutečně dvě reálná řešení.
Parabola může modelovat mnoho reálných situací, například výšku nad zemí předmětu vyhozeného vzhůru po určité době. Vrchol paraboly nám může poskytnout informaci, například jakou maximální výšku může objekt vyhozený vzhůru dosáhnout. Z tohoto důvodu chceme být schopni zjistit souřadnice vrcholu.
Pro libovolnou parabolu Ax2+Bx+C je x -souřadnice vrcholu dána vztahem -B/(2A) . V našem případě je souřadnice x 1,0000
Posuneme-li do vzorce pro parabolu 1,0000 pro x, můžeme vypočítat y -souřadnici :
y = 1,0 * 1,00 * 1,00 – 2,0 * 1,00 – 1,0
nebo y = -2,000

Parabola, grafický vrchol a X-intercepty :

Řešení kvadratické rovnice doplněním čtverce

Řešení kvadratické rovnice pomocí kvadratického vzorce

2.3 Řešení x2-2x-1 = 0 pomocí kvadratického vzorce .
Podle kvadratického vzorce x , řešení pro Ax2+Bx+C = 0 , kde A, B a C jsou čísla, často nazývaná koeficienty, je dáno :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
V našem případě A = 1
B = -2
C = -1
Podle toho B2 – 4AC =
4 – (-4) =
8
Při použití kvadratického vzorce :
2 ± √ 8
x = —-
2
Můžeme √ 8 zjednodušit ?
Ano! Prvočíselná faktorizace 8 je
2-2-2
Aby bylo možné něco vyjmout zpod radikálu, musí existovat 2 případy (protože bereme čtverec, tj. druhou odmocninu).
√ 8 = √ 2-2-2 =
± 2 – √ 2
√ 2 , zaokrouhleno na 4 desetinná místa, je 1.4142
Nyní tedy hledáme:
x = ( 2 ± 2 – 1,414 ) / 2
Dvě reálná řešení:
x =(2+√8)/2=1+√ 2 = 2,414
nebo:
x =(2-√8)/2=1-√ 2 = -0,414

Dvě řešení jsme našli :

.