Vědci dnes považují za samozřejmé, že každé měření je zatíženo chybou, takže opakování zdánlivě stejného experimentu dává různé výsledky. V intelektuálním klimatu Galileovy doby, kdy logické sylogismy, které nepřipouštěly žádnou šedou zónu mezi správným a nesprávným, byly uznávaným prostředkem vyvozování závěrů, však jeho nové postupy zdaleka nebyly přesvědčivé. Při posuzování jeho práce je třeba mít na paměti, že konvence, které jsou dnes uznávány při podávání vědeckých výsledků, byly přijaty dlouho po Galileově době. Jestliže tedy, jak se říká, uvedl jako fakt, že dva předměty shozené ze šikmé věže v Pise dopadly na zem společně, přičemž mezi nimi nebyla ani šířka dlaně, není třeba z toho vyvozovat, že tento pokus sám provedl, nebo že pokud jej provedl, byl výsledek zcela dokonalý. Nějaký takový pokus skutečně provedl o něco dříve (1586) vlámský matematik Simon Stevin, ale Galileo výsledek idealizoval. Lehká a těžká koule nedosáhnou na zem společně a ani rozdíl mezi nimi není vždy stejný, protože je nemožné reprodukovat ideál jejich upuštění přesně ve stejný okamžik. Přesto se Galileo spokojil s tím, že se blíží pravdě tvrzení, že padají společně, než že mezi jejich rychlostmi je výrazný rozdíl. Tato idealizace nedokonalých pokusů zůstává základním vědeckým postupem, ačkoli v dnešní době se považuje za vhodné předložit (nebo alespoň mít k dispozici ke kontrole) primární pozorování, aby ostatní mohli nezávisle posoudit, zda jsou ochotni přijmout autorův závěr o tom, co by bylo pozorováno při ideálně provedeném pokusu.

Principy lze ilustrovat tím, že s výhodou moderních přístrojů zopakujeme pokus, který prováděl sám Galileo – totiž měření času, za který se koule kutálí na různé vzdálenosti po mírně nakloněném kanálu. Následující popis je skutečným pokusem, který má na velmi jednoduchém příkladu ukázat, jak probíhá proces idealizace a jak lze pak předběžné závěry podrobit důkladnější zkoušce.

Na mosazný kanál byly vepsány čáry rovnoměrně vzdálené 6 cm (2,4 palce) a kulička byla držena v klidu vedle nejvyšší čáry pomocí karty. Elektronický časovač byl spuštěn v okamžiku, kdy byla karta odstraněna, a časovač byl zastaven, jakmile kulička přešla jednu z dalších čar. Sedm opakování každého měření času ukázalo, že měření se obvykle rozprostíralo v rozsahu 1/20 sekundy, pravděpodobně kvůli lidským omezením. V takovém případě, kdy je měření zatíženo náhodnou chybou, dává průměr mnoha opakování lepší odhad toho, jaký by byl výsledek, kdyby byl zdroj náhodné chyby eliminován; faktor, o který se odhad zlepší, je zhruba druhou odmocninou počtu měření. Teorie chyb, kterou lze připsat německému matematikovi Carlu Friedrichu Gaussovi, navíc umožňuje provést kvantitativní odhad spolehlivosti výsledku, který je v tabulce vyjádřen konvenčním symbolem ±. To neznamená, že první výsledek ve sloupci 2 zaručeně leží mezi 0,671 a 0,685, ale že kdyby se toto určení průměru sedmi měření mnohokrát opakovalo, přibližně dvě třetiny určení by ležely v těchto mezích.

Zobrazení měření pomocí grafu, jako na obrázku 1, neměl Galileo k dispozici, ale bylo vyvinuto krátce po jeho době v důsledku práce francouzského matematika-filozofa René Descarta. Zdá se, že body leží blízko paraboly a nakreslená křivka je definována rovnicí x = 12t2. Shoda není zcela dokonalá a stojí za to pokusit se najít lepší vzorec. Vzhledem k tomu, že operace spuštění časomíry při vyjmutí karty, aby se kulička mohla kutálet, a jejího zastavení, když kulička mine značku, se liší, existuje možnost, že kromě náhodných časových chyb se v každé naměřené hodnotě t objeví systematická chyba; to znamená, že každé měření t je možná třeba interpretovat jako t + t0, kde t0 je zatím neznámá konstantní časová chyba. V takovém případě by se dalo zjistit, zda naměřené časy nesouvisí se vzdáleností pomocí x = at2, kde a je konstanta, ale pomocí x = a(t + t0)2. To lze také ověřit graficky tak, že se rovnice nejprve přepíše jako odmocnina z√x = odmocnina z√a(t + t0), což znamená, že když se hodnoty odmocniny z√x vynesou do grafu proti naměřeným hodnotám t, měly by ležet na přímce. Obrázek 2 tuto předpověď poměrně přesně ověřuje; přímka neprochází počátkem, ale protíná vodorovnou osu v bodě -0,09 sekundy. Z toho lze odvodit, že t0 = 0,09 sekundy a že (t + 0,09)x by mělo být stejné pro všechny dvojice měření uvedené v přiložené tabulce . Třetí sloupec ukazuje, že tomu tak rozhodně je. Stálost je skutečně lepší, než by se dalo očekávat vzhledem k odhadnutým chybám. To je třeba považovat za statistickou náhodu; neznamená to žádnou větší jistotu ve správnost vzorce, než kdyby se hodnoty v posledním sloupci pohybovaly, jak by se velmi dobře mohlo stát, v rozmezí 0,311 až 0,315 . Bylo by překvapením, kdyby opakování celého experimentu opět přineslo tak téměř konstantní výsledek.

Možný závěr tedy je, že z nějakého důvodu – pravděpodobně pozorovacího zkreslení – naměřené časy podhodnocují o 0,09 sekundy skutečný čas t, za který koule, vycházející z klidu, urazí vzdálenost x. Pokud by tomu tak bylo, za ideálních podmínek by x bylo přísně úměrné t2. Další experimenty, při nichž je kanál nastaven na různé, ale stále mírné sklony, naznačují, že obecné pravidlo má tvar x = at2, přičemž a je úměrné sklonu. Tuto předběžnou idealizaci experimentálních měření bude možná nutné ve světle dalších experimentů upravit, nebo dokonce zavrhnout. Nyní, když byla převedena do matematické podoby, ji však lze matematicky analyzovat a odhalit, jaké důsledky z ní vyplývají. Také to naznačí způsoby, jak ji lépe testovat.

Z grafu, jako je obrázek 1, který ukazuje, jak x závisí na t, lze odvodit okamžitou rychlost kuličky v každém okamžiku. Je to sklon tečny nakreslené ke křivce při zvolené hodnotě t; například při t = 0,6 sekundy popisuje nakreslená tečna, jak by x souviselo s t pro kuličku pohybující se konstantní rychlostí asi 14 cm za sekundu. Menší sklon před tímto okamžikem a větší sklon po něm naznačují, že kulička neustále zrychluje. Mohli bychom nakreslit tečny při různých hodnotách t a dojít k závěru, že okamžitá rychlost je zhruba úměrná době, která uplynula od okamžiku, kdy se míč začal kutálet. Tento postup s jeho nevyhnutelnými nepřesnostmi se stává zbytečným, když na předpokládaný vzorec použijeme elementární výpočet. Okamžitá rychlost v je derivace x vzhledem k t; jestliže

Důsledkem toho, že rychlost je přísně úměrná uplynulému času, je, že grafem závislosti v na t by byla přímka procházející počátkem. Na každém grafu těchto veličin, ať už je přímkový nebo ne, ukazuje sklon tečny v libovolném bodě, jak se v daném okamžiku mění rychlost s časem; je to okamžité zrychlení f. Pro přímkový graf závislosti v na t je sklon a tedy i zrychlení ve všech časech stejné. Vyjádřeno matematicky, f = dv/dt = d2x/dt2; v tomto případě nabývá f konstantní hodnoty 2a.

Předběžný závěr tedy zní, že koule valící se po přímém svahu zažívá konstantní zrychlení a že velikost zrychlení je úměrná sklonu. Nyní je možné ověřit platnost tohoto závěru tím, že zjistíme, co předpovídá pro jiné experimentální uspořádání. Pokud je to možné, sestaví se experiment, který umožní přesnější měření než ta, která vedla k předběžnému závěru. Takový test poskytuje kulička kutálející se v zakřiveném kanálu tak, aby její střed vytyčoval kruhový oblouk o poloměru r, jak je znázorněno na obrázku 3. Pokud je oblouk mělký, je sklon ve vzdálenosti x od jeho nejnižšího bodu velmi blízký x/r, takže zrychlení kuličky směrem k nejnižšímu bodu je úměrné x/r. Zavedeme-li c, které představuje konstantu úměrnosti, zapíšeme ji jako diferenciální rovnici

Zde je uvedeno, že na grafu znázorňujícím, jak se mění x s t, je křivost d2x/dt2 úměrná x a má opačné znaménko, jak je znázorněno na obrázku 4. V tomto případě je křivost d2x/dt2 úměrná x a má opačné znaménko. Když graf protíná osu, je x a tedy i křivost nulová a přímka je lokálně přímá. Tento graf znázorňuje kmitání kuličky mezi krajními hodnotami ±A poté, co byla uvolněna z x = A při t = 0. Řešení diferenciální rovnice, jejímž grafickým znázorněním je graf, je

kde ω, nazývané úhlová frekvence, se zapisuje pro odmocninu z√(c/r). Kulička potřebuje čas T = 2π/ω = 2πKvadrátní odmocnina z√(r/c), aby se vrátila do původní klidové polohy, načež se kmitání opakuje donekonečna nebo dokud tření neuvede kuličku do klidu.

Podle této analýzy je perioda T nezávislá na amplitudě kmitání a tuto poměrně nečekanou předpověď lze přísně testovat. Místo toho, abychom nechali kuličku kutálet po zakřiveném kanálu, lze stejnou dráhu snadněji a přesněji realizovat tak, že z ní uděláme boby jednoduchého kyvadla. K ověření, že perioda nezávisí na amplitudě, lze vyrobit dvě kyvadla co nejpodobnější, aby při kývání se stejnou amplitudou držela krok. Poté se rozkmitají s různými amplitudami. Je třeba značné opatrnosti, aby se zjistil jakýkoli rozdíl v periodě, pokud není jedna amplituda velká, kdy je perioda o něco delší. Pozorování, které se téměř shoduje s předpovědí, ale ne zcela, nemusí nutně ukazovat, že původní předpoklad byl chybný. V tomto případě byla diferenciální rovnice, která předpovídala přesnou stálost periody, sama o sobě aproximací. Když ji přeformulujeme tak, že skutečný výraz pro sklon nahradíme x/r, řešení (které zahrnuje poměrně těžkou matematiku) ukáže změnu periody s amplitudou, která byla důsledně ověřena. Předběžný předpoklad nebyl zdaleka zdiskreditován, ale objevil se s větší podporou.

Galileův zákon zrychlení, fyzikální základ výrazu 2πKvadrátní odmocnina z√(r/c) pro periodu, je dále posílen zjištěním, že T se mění přímo jako druhá odmocnina z r – tj, délky kyvadla.

Taková měření navíc umožňují s vysokou přesností určit hodnotu konstanty c, která se shoduje se zrychlením g volně padajícího tělesa. Ve skutečnosti je vzorec pro periodu malých kmitů jednoduchého kyvadla délky r, T = 2πKvadrátní odmocnina z√(r/g), jádrem některých nejpřesnějších metod měření g. K tomu by nedošlo, pokud by vědecká komunita nepřijala Galileův popis ideálního chování a neočekávala, že bude ve své víře otřesena malými odchylkami, pokud je bude možné chápat jako odraz nevyhnutelných náhodných nesrovnalostí mezi ideálem a jeho experimentální realizací. Rozvoj kvantové mechaniky v první čtvrtině 20. století byl podnícen neochotným přijetím faktu, že tento popis systematicky selhává při aplikaci na objekty atomové velikosti. V tomto případě nešlo o to, jako v případě variací periody, převést fyzikální představy přesněji do matematiky; celý fyzikální základ potřeboval radikální revizi. Dřívější myšlenky však nebyly zavrženy – ukázalo se, že fungují dobře v příliš mnoha aplikacích, než aby byly zavrženy. Vzniklo jen jasnější pochopení okolností, za kterých lze bezpečně předpokládat jejich absolutní platnost.