mnoho studentů narazí na střední škole na geometrickou zeď a jejich cesta matematikou končí. Tato zeď jim často brání v pokračování v matematických kurzech a v úspěšném přechodu na vysokou školu.
Existuje řada důvodů, proč je tak těžké tuto zeď překonat. Především se zdá, že existují důkazy o tom, že lidé mají přirozený sklon buď k aritmetickému způsobu přístupu k matematice, nebo k vizuálnímu a geometrickému. Pro první skupinu není schopnost prostorového uvažování tak snadná jako pro ostatní. Jako učitelé nemůžeme přirozené schopnosti člověka ovlivnit. Někteří žáci se učí cizí jazyky rychleji než jiní, někteří jsou přirozeněji koordinovaní.
Dobrou zprávou pro pedagogy je, že tyto deficity neznamenají, že se tyto dovednosti nedají rozvíjet a naučit. U mnoha žáků je jejich nedostatečné porozumění geometrii částečně způsobeno nedostatkem příležitostí setkat se s prostorovým učivem.
Mnoho učebnic a mnoho okresních metodických příruček klade důraz na numerické, aritmetické a algebraické uvažování. Geometrie (spolu s daty a statistikou) je často zastrčena do posledních kapitol učebnice a do posledních týdnů roku po státním testování. Protože nás pedagogy tlačí čas a potřebujeme znovu učit a opakovat pojmy, které nebyly zcela pochopeny, často se k těmto kapitolám nedostaneme. Studenti tak nastupují na střední školu s geometrií s následujícím souborem dovedností: “Ukazuje se, že stěžejní práci v oblasti geometrického myšlení odvedli manželé van Hieleovi z Nizozemska. Učinili dva významné objevy o tom, jak se učíme geometrii. Za prvé, že existuje pět po sobě jdoucích úrovní geometrického myšlení. (Za druhé, a to je skutečně dobrá zpráva, přechod z jedné úrovně na další vyšší není ani tak záležitostí kognitivního vývoje závislého na věku, ale spíše závisí na vystavení těmto geometrickým zkušenostem.
Tady je pět úrovní osvojování geometrického myšlení. Žáci na jedné úrovni nemohou přeskočit na jinou, ale musí postupně procházet jednotlivými úrovněmi. (Van Hiele čísloval svých pět úrovní 0-4, zatímco američtí výzkumníci je překlasifikovali na 1-5, aby umožnili existenci nulté úrovně, kdy dítě nemá žádné geometrické znalosti.)
1. Vizualizace – Děti dokáží identifikovat tvary na základě vzhledu, nikoliv na základě vlastností. Žáci na této úrovni nemusí vidět čtverec jako typ obdélníku, a dokonce ho ani nevidí jako čtverec, pokud je mírně pootočen.
2. Analýza – Na této úrovni začínají žáci spojovat vlastnosti s tvary. Žák, který měl potíže s identifikací otočeného čtverce, nyní uvidí, že má čtyři shodné strany a čtyři pravé úhly, a je tedy čtvercem. Podobně student na první úrovni bude mít problém rozpoznat trojúhelník s vrcholem směřujícím dolů a základnou nahoře, zatímco student na druhé úrovni vidí, že díky třem stranám se jedná o trojúhelník.
3. Abstrakce – Nyní mohou studenti začít přemýšlet o vlastnostech a aplikovat je na argumenty, které zahrnují induktivní uvažování. Student, který vidí, že všechny čtyři různé trojúhelníky mají součet vnitřních úhlů 180°, použije tento vzorec k úvaze, že všechny trojúhelníky musí mít stejný součet vnitřních úhlů.
4. Dedukce – Na této úrovni studenti používají deduktivní logiku, aby dokázali své domněnky z předchozí úrovně.
5. Dedukce – Na této úrovni studenti dokazují své domněnky z předchozí úrovně. Rigoróznost – Tato úroveň přesahuje předchozí úroveň a zkoumá důkazy negací a neeuklidovskou geometrii.
Jak vidíte, většina žáků v základních třídách pracuje na první úrovni; rozpoznávají tvary. Ne vždy to však dělají plynule a přesně. Jednou jsem několika žákům 4. a 5. třídy ukázal čtverec a požádal je, aby tento tvar pojmenovali. Neměli problém říct, že je to čtverec. Když jsem ho však otočil tak, aby vypadal jako baseballový kosočtverec, asi devět z deseti řeklo, že je to nyní kosočtverec. Zbytek mě ujistil, že je to kosočtverec. Pouze jeden student z více než 100 mi dokázal správně říci, že je to stále čtverec, a to jsem ho pouze otočil.
Naproti tomu algebra na střední škole se vyučuje na čtvrté a páté úrovni. Protože studenti musí postupně procházet těmito úrovněmi, je to, jako bychom po nich chtěli, aby vylezli na žebřík, který obsahuje pouze první a poslední dvě příčky s velkou mezerou uprostřed.
To ilustruje potíže, kterým čelíme při výuce geometrie. Určení čtverce je ve většině státních standardů pro mateřské školy. Pouze 1 % žáků, kterých jsem se ptal, však po pěti letech vědělo, co je to čtverec. Je to zřejmě proto, že když jim text nebo učitelé ukazovali čtverce, měli obvykle základní čáru rovnoběžnou se spodní částí stránky. Žáci se nezabývali vlastnostmi čtverců.
Když jsem však stejný problém položil žákům osmých tříd, téměř všichni byli schopni identifikovat tvar jako čtverec, i když byl otočený. To nám ukazuje, že k získání těchto znalostí nedošlo v důsledku naší výuky v mateřské škole, ale spíše díky zkušenostem, se kterými se setkali v pozdějších ročnících.
To je opět dobrá zpráva, protože nám říká, že tento růst můžeme urychlit tím, že žákům nabídneme tyto zásadní zkušenosti z geometrie. Protože však většina učebnic tyto příležitosti neposkytuje, je na nás, abychom tyto hodiny vytvořili. Naštěstí existují. V některém z příštích blogů nabídnu příklady mezipředmětových aktivit, které žákům pomohou překlenout mezery v jejich geometrických žebříčcích.