Matematikové už léta tuší, že za určitých okolností Eulerovy rovnice selhávají. Nebyli však schopni určit přesný scénář, při kterém k tomuto selhání dochází. Až dosud.

Rovnice jsou idealizovaným matematickým popisem pohybu tekutin. V rámci určitých předpokladů modelují způsob, jakým se šíří vlny na rybníku nebo jak vytéká melasa ze sklenice. Měly by být schopny popsat pohyb jakékoliv tekutiny za jakýchkoliv okolností – a po více než dvě století tomu tak bylo.

Nový důkaz však ukazuje, že za určitých podmínek rovnice selhávají.

“Před rokem a půl bych řekl, že tohle je něco, co možná neuvidím ani za svého života,” řekl Tarek Elgindi, matematik z Kalifornské univerzity v San Diegu a autor nové práce.

Elgindi prokázal existenci chyby v Eulerových rovnicích ve dvou článcích, které letos zveřejnil na internetu – jeden v dubnu, který napsal sám, a druhý v říjnu, který napsal společně s Tej-eddine Ghoulem a Naderem Masmoudim. Společně tyto práce převrátily staleté předpoklady o těchto slavných rovnicích pro tekutiny.

“Myslím, že je to velký, úžasný úspěch,” řekl Peter Constantin, matematik z Princetonské univerzity.

Elgindiho práce neznamená pro Eulerovy rovnice smrtelný ortel. Spíše dokazuje, že za velmi specifických okolností se rovnice takříkajíc přehřejí a začnou produkovat nesmysly. Za realističtějších podmínek jsou rovnice prozatím stále nezranitelné.

Výjimka, kterou Elgindi objevil, je však pro matematiky překvapivá, protože k ní došlo za podmínek, za kterých si dříve mysleli, že rovnice vždy fungují.

“Obecně si myslím, že Tarekův příklad lidi dost překvapil,” řekl Vlad Vicol, matematik z Newyorské univerzity.

Eulerův výbuch

Leonhard Euler objevil v roce 1757 rovnice tekutin, které dnes nesou jeho jméno. Popisují vývoj tekutiny v čase, podobně jako Newtonovy rovnice popisují pohyb kulečníkové koule na stole.

Přesněji řečeno, rovnice určují okamžitý pohyb nekonečně malých částic v tekutině. Tento popis zahrnuje rychlost částice (jak rychle se pohybuje a jakým směrem) a související veličinu známou jako vířivost (jak rychle se otáčí jako vrchol a jakým směrem).

Souhrnně tyto informace tvoří “rychlostní pole”, které je obrazem pohybu tekutiny v daném časovém okamžiku. Eulerovy rovnice vycházejí z počátečního rychlostního pole a předpovídají, jak se bude měnit v každém okamžiku v budoucnosti.

Eulerovy rovnice nejsou doslovným popisem reálné tekutiny. Obsahují několik nefyzikálních předpokladů. Například rovnice fungují pouze tehdy, pokud vnitřní proudy v tekutině nevytvářejí tření, když se pohybují kolem sebe. Předpokládají také, že tekutiny jsou “nestlačitelné”, což znamená, že podle pravidel Eulerových rovnic nelze tekutinu vtěsnat do menšího prostoru, než jaký již zaujímá.

“O modelu můžeme uvažovat jako o určitém idealizovaném světě a o rovnicích jako o pravidlech pohybu v tomto světě,” napsal v e-mailu Vladimir Sverak z Minnesotské univerzity.

Tyto nepřirozené výhrady vedly matematika a fyzika Johna von Neumanna k výroku, že rovnice modelují “suchou vodu”. Pro modelování pohybu realističtější tekutiny s vnitřním třením (nebo viskozitou) používají vědci místo toho Navierovy-Stokesovy rovnice.

“Eulerovy rovnice jsou velmi idealizované. Skutečné tekutiny mají tření,” řekl Constantin.

Eulerovy rovnice však stále zaujímají ve vědě úctyhodné místo. Vědci by rádi věděli, zda rovnice fungují jednoznačně v tomto idealizovaném světě bez tření a nestlačitelnosti – tedy zda dokáží popsat všechny budoucí stavy všech možných počátečních rychlostních polí. Nebo jinak řečeno:

“Základní otázka zní: Mohou rovnice vždy splnit svou úlohu?” řekl Sverak.

Teoreticky, jakmile dosadíte hodnoty pro současný stav tekutiny, rovnice poskytnou přesné hodnoty pro budoucí stav. Tyto nové hodnoty pak můžete do rovnic znovu zapojit a rozšířit svou předpověď. Obvykle tento proces funguje, zdánlivě tak daleko do budoucnosti, jak daleko se chcete podívat.

Je však také možné, že za velmi vzácných okolností rovnice selžou. Mohou se chrlit a produkovat výstupy, které fungují jako budoucí vstupy, když se věci začnou kazit a rovnice nakonec vyprodukují hodnotu, se kterou nemohou dále počítat. V těchto situacích matematici říkají, že rovnice “vybouchnou”.

Pokud by Eulerovy rovnice vybouchly, bylo by to proto, že zesilují rychlost nebo vířivost bodu velmi nepřirozeným způsobem. Zesílení by bylo tak extrémní, že v konečném čase by se rychlost nebo vířivost v bodě stala nekonečnou. A jakmile by rovnice vytvořily nekonečnou hodnotu, zhroutily by se a nebyly by schopny popsat žádné další budoucí stavy. Je to proto, že obecně nelze počítat s nekonečnými hodnotami stejně jako nelze dělit nulou. (Hodnoty by cestou překonaly rychlost světla, ale v tomto idealizovaném světě je to v pořádku.)

Těmto osudovým nekonečným hodnotám se říká “singularity”. Když se matematici ptají: “Fungují Eulerovy rovnice vždy?”, ve skutečnosti se ptají: “Existují scénáře, za kterých Eulerovy rovnice vytvářejí singularity?”

Mnozí matematici se domnívají, že odpověď zní ano, ale nikdy se jim nepodařilo najít konkrétní scénář, ve kterém rovnice skutečně vybuchnou.

“Máte pocit, že se Euler snaží vyhnout . Zatím se mu to daří,” řekl Constantin.

Nová práce neukazuje, že rovnice vytvářejí singularity právě za podmínek, které matematiky zajímají nejvíce. Je to však zatím nejbližší výsledek k tomuto cíli. Aby ho dosáhl, uvažoval Elgindi o zjednodušeném modelu pohybu tekutin.

Snížení složitosti

Matematikové mají mnoho různých způsobů, jak snížit složitost pohybu tekutin, který požadují modelovat Eulerovými rovnicemi. Mnohé z nejzajímavějších výsledků, jako je ten Elgindův, spočívají v demonstraci toho, jak dalece lze zjednodušit chování kapaliny – to znamená, jak dalece lze zjednodušit údaje, které do rovnic vložíme – a přitom ještě stihnout říci něco smysluplného o rovnicích samotných.

V reálné trojrozměrné kapalině, jako je voda v rybníku, má každá částice tři osy, podél kterých se může pohybovat: osu x (vlevo nebo vpravo), osu y (nahoru nebo dolů) a osu z (dozadu nebo dopředu). To je velká volnost pohybu. Navíc mezi pohybem částic v různých částech tekutiny nemusí nutně existovat žádný silný vztah.

“Je toho příliš mnoho na to, abychom to mohli sledovat,” řekl Elgindi.

Ve své nové práci Elgindi zjednodušuje úlohu, o kterou žádá Eulerovy rovnice. Požaduje, aby kapalina vykazovala symetrii kolem osy z, což se u skutečné kapaliny obvykle nevyskytuje. Tato symetrie usnadňuje výpočet rychlostního pole, protože víte, že body na obou stranách osy z jsou navzájem zrcadlovými obrazy. Pokud tedy znáte rychlost nebo vířivost v jednom bodě, stačí přehodit znaménka hodnot a budete znát hodnoty v druhém bodě.

Omezuje také rozsah pohybu, který mají body v tekutině k dispozici. Částice se mohou pohybovat dvěma obecnými směry, buď podél osy z, nebo směrem k ose z či od ní. Není jim dovoleno otáčet se kolem osy z. Matematici říkají, že taková tekutina nemá “žádné víření”.

“To v podstatě redukuje problém na dvourozměrný,” řekl Elgindi.

Nakonec Elgindi klade určité další podmínky na počáteční data, která vkládá do Eulerových rovnic. Tato data jsou v jistém smyslu drsnější než hodnoty, které popisují reálné tekutiny, a to zvyšuje pravděpodobnost vzniku singularit.

V reálném životě, pokud se přesunete z jednoho bodu tekutiny do druhého na velmi malou vzdálenost, je rychlost v druhém bodě velmi podobná rychlosti v prvním bodě. Podobně by měly být velmi podobné i vírové rychlosti v obou bodech. Matematici říkají, že rychlostní pole s touto vlastností jsou “hladká”, což znamená, že hodnoty se mění spojitě – plynule – při pohybu z jednoho bodu do druhého. Nedochází k žádným rychlým změnám.

To není případ Elgindiho popisu tekutiny.

“Vířivost v Tarekových datech se může měnit výrazněji,” řekl Vicol. “Blízké body mají značně rozdílné vířivosti.”

Může se zdát, že Elgindiho zjednodušení se příliš vzdalují skutečnému chování tekutin, než aby byla užitečná. Jsou však mnohem mírnější než mnohé zjednodušené scénáře, za kterých matematici dříve získali poznatky o Eulerových rovnicích.

Elgindi totiž ukázal, že za těchto zjednodušených – ale ne příliš zjednodušených – podmínek začínají Eulerovy rovnice přinášet velmi nečekané výsledky.

Konec hry

Chceme-li pochopit Elgindiho objev, představme si nádrž s vodou. To je poněkud zavádějící, protože Elgindiho práce se týká kapalin, které nemají žádnou hranici, což znamená, že se vznášejí v prostoru jako kapka. Ale pro účely vizualizace scénáře, který je jádrem jeho práce, je užitečné umístit vodu do nádrže. Nejdůležitější matematické domněnky – a ty nejobtížněji dokazatelné – se týkají tekutin bez hranic.

Dále si představte dva tlusté prstence vody na opačných koncích nádrže. Prstence tvoří něco jako víry nebo vířivky – organizované poruchy uvnitř hlavního tělesa tekutiny. Jsou druhem jevu, který se v přírodě skutečně vyskytuje, a vypadají jako prstence, které dokáží vytvořit zkušení kuřáci.

Nyní si představte, že se protilehlé prstence pohybují směrem k sobě.

Při jejich postupu pracují na pozadí normálně Eulerovy rovnice, které počítají rychlostní pole popisující tekutinu v každém časovém okamžiku. Když se však prstence k sobě přiblíží, začnou rovnice vykazovat poněkud divoké hodnoty.

Ukazují, že prstence se vzájemně přitahují se stále větší intenzitou – a zejména ukazují, že nejvnitřnější části prstenců se přitahují a táhnou ještě větší silou než vnější části prstenců. V důsledku toho se prstence prodlužují a roztahují, takže vypadají spíše jako dvojice trychtýřů. Jak se jejich středy stále více přibližují, jejich rychlost se zvyšuje. Pak se srazí.

A pokud se přesně v tomto okamžiku podíváte na rychlostní pole popisující srážku, uvidíte něco, co za tohoto souboru předpokladů v historii Eulerových rovnic ještě nikdo neviděl: singularitu. Elgindi dokázal, že Eulerovy rovnice počítají s nekonečnou vířivostí v místě srážky. Hra skončila.

“Klasická forma rovnic se rozpadá,” řekl Elgindi. “Potom už nevíte, co se stane.”

Výsledek má jistá omezení. Konkrétně nelze z jeho důkazu extrapolovat chování Eulerových rovnic za zcela “hladkých” podmínek. Je to proto, že matematici již před desítkami let dokázali, že za hladkých podmínek scénář, který Elgindi uvažuje, singularitu nevytváří.

Jinak ale jeho výsledek zcela mění pohled matematiků na tyto staré rovnice.

Před Elgindiho prací matematici nikdy nedokázali existenci žádné situace bez hranice, v níž by Eulerovy rovnice fungovaly po krátkou dobu (když se k sobě prstence přibližují), ale ne navždy. Ve všech předchozích pracích matematici zjistili, že pokud rovnice vůbec fungují, fungují navždy.

“Je to docela pozoruhodný výsledek, protože dokazuje, že existují singularity při scénáři, kterému říkáme ‘dobře položený’. Dává to smysl, a přesto dostanete tuto singularitu v konečném čase,” řekl Constantin.

Mnoho generací vědců hledalo v Eulerových rovnicích měkké místo. Konečně ho – s výhradami – našel jeden matematik.