Co je to čistá matematika? Co dělají čistí matematici? Proč je čistá matematika důležitá?

Těmto otázkám často čelím, když lidé zjistí, že se zabývám čistou matematikou.

Vždy se mi podaří poskytnout odpověď, ale zdá se, že mě nikdy plně neuspokojí.

Pokusím se tedy na tyto tři otázky odpovědět formulovaněji a vyzráleji. Předem se omlouvám za přílišná zjednodušení, kterých jsem se musel dopustit, abych byl stručný.

Všeobecně řečeno, existují dva různé druhy matematiky (a už slyším protesty) – čistá a aplikovaná. Filozofové jako Bertrand Russell se pokoušeli podat rigorózní definice této klasifikace.

Já toto rozlišení zachytil v následujícím, poněkud kryptickém výroku: “Čistí matematici dokazují věty a aplikovaní matematici konstruují teorie.”

To znamená, že paradigma, v němž obě skupiny lidí matematiku provádějí, se liší.

Čistí matematici se často řídí abstraktními problémy. Abychom abstrakci konkretizovali, uvedeme několik příkladů: “Existuje nekonečně mnoho dvojčat prvočísel” nebo “Má každé pravdivé matematické tvrzení důkaz?”.

Přesněji řečeno, matematika vybudovaná z axiomů a povaha matematické pravdy se řídí predikátovou logikou.

Matematická věta je pravdivé tvrzení, které je doprovázeno důkazem, jenž ilustruje jeho pravdivost nade vší pochybnost dedukcí pomocí logiky.

Na rozdíl od empirické teorie nestačí pouhá konstrukce vysvětlení, které se může měnit podle toho, jak se objevují výjimky.

Něco, o čem má matematik podezření, že je pravdivé, díky důkazům, ale bez důkazů, je prostě domněnka.

Aplikovaná

Aplikovaní matematici jsou obvykle motivováni problémy vyplývajícími z fyzikálního světa. K modelování a řešení těchto problémů používají matematiku.

Tyto modely jsou ve skutečnosti teorie a jako v každé vědě podléhají testovatelnosti a falzifikovatelnosti. S přibývajícím množstvím informací týkajících se daného problému se tyto modely budou případně měnit.

Čisté a aplikované se nutně nevylučují. Existuje mnoho skvělých matematiků, kteří se pohybují na obou půdách.

Čistá

Existuje mnoho problémů, kterými se zabývají čistí matematici a které mají kořeny v konkrétních fyzikálních problémech – zejména těch, které vyplývají z teorie relativity nebo kvantové mechaniky.

Typicky při hlubším pochopení takových jevů vznikají různé “technikálie” (věřte mi, když vám řeknu, že tyto technikálie je velmi obtížné vysvětlit). Ty se abstrahují do čistě matematických tvrzení, která mohou napadnout čisté matematiky.

Řešení těchto matematických problémů pak může mít důležité aplikace.

Ok počítač

Uvedu konkrétní příklad toho, jak abstraktní myšlení vedlo k vývoji zařízení, které je základem funkcí moderní společnosti: počítače.

První počítače měly pevný program – tj. byly účelově sestrojeny k plnění pouze jedné úlohy. Změna programu byla velmi nákladnou a zdlouhavou záležitostí.

Moderním pozůstatkem takového dinosaura by byla kapesní kalkulačka, která je konstruována pouze k provádění základních aritmetických úkonů. Naproti tomu moderní počítač umožňuje načíst program pro kalkulačku nebo program pro zpracování textu a nemusíte kvůli tomu přepínat stroje.

Tato změna paradigmatu nastala v polovině 40. let 20. století a nazývá se architektura s uloženým programem nebo von Neumannova architektura.

Široce dostupná, ale méně známá historie říká, že tato koncepce má kořeny ve zkoumání abstraktního matematického problému zvaného Entscheidungsproblem (rozhodovací problém).

Problém Entscheidungsproblem formuloval v roce 1928 slavný matematik David Hilbert.

Přibližně se dá přeložit takto: “Existuje postup, kterým lze rozhodnout o pravdivosti nebo nepravdivosti matematického tvrzení v konečném počtu kroků?”.

Na tuto otázku odpověděli záporně nezávisle na sobě Alonzo Church a Alan Turing v letech 1936 a 1937. Turing ve svém článku formuluje abstraktní stroj, který dnes nazýváme Turingův stroj.

Stroj má nekonečně dlouhou pásku (paměť), hlavu, která se může pohybovat po krocích, číst z pásky a zapisovat na ni, konečnou instrukční tabulku, která dává hlavě instrukce, a konečnou množinu stavů (například “přijmout”, nebo “odmítnout”). Stroj se spouští vstupem na pásce.

Takový stroj nemůže existovat mimo oblast matematiky, protože má nekonečně dlouhou pásku.

Je to však nástroj, který se používá k definování pojmu vypočitatelnosti. To znamená, že říkáme, že problém je vypočitatelný, pokud jej můžeme zakódovat pomocí Turingova stroje.

Můžeme pak vidět paralely Turingova stroje se strojem s pevným programem.

Předpokládejme nyní, že existuje Turingův stroj U, který může přijmout instrukční tabulku a stavy libovolného Turingova stroje T (vhodně zakódované) a na téže pásce vstup I do T a spustit Turingův stroj T na vstupu I.

Takový stroj se nazývá univerzální Turingův stroj.

Turing ve svém článku z roku 1937 dokazuje důležitou větu o existenci: existuje univerzální Turingův stroj. Ten je nyní paralelou konceptu store-program, základu moderního programovatelného počítače.

Je pozoruhodné, že abstraktní problém týkající se základů matematiky položil základy k nástupu moderního počítače.

Je možná vlastností čisté matematiky, že matematik není omezen omezeními fyzikálního světa a může se odvolávat na představivost a vytvářet a konstruovat abstraktní objekty.

To neznamená, že čistý matematik neformalizuje fyzikální pojmy, jako je energie, entropie atd., aby mohl provádět abstraktní matematiku.

V každém případě by tento příklad měl ilustrovat, že snaha o řešení čistě matematických problémů je smysluplnou záležitostí, která může mít pro společnost obrovskou hodnotu.