Matematikere har i årevis haft mistanke om, at Euler-ligningerne under særlige omstændigheder svigter. Men de har ikke været i stand til at identificere et nøjagtigt scenarie, hvor dette svigt opstår. Indtil nu.

Ligningerne er en idealiseret matematisk beskrivelse af, hvordan væsker bevæger sig. Inden for rammerne af visse antagelser modellerer de den måde, hvorpå krusninger forplanter sig på en dam, eller hvordan melasse siver ud af en krukke. De burde kunne beskrive bevægelsen af enhver væske under alle omstændigheder – og det har de gjort i mere end to århundreder.

Men et nyt bevis viser, at ligningerne svigter under visse betingelser.

“For halvandet år siden ville jeg have sagt, at dette var noget, jeg måske ikke ville se i min levetid,” siger Tarek Elgindi, matematiker ved University of California, San Diego, og forfatter til det nye arbejde.

Elgindi beviste eksistensen af fejlen i Euler-ligningerne i to artikler, der blev offentliggjort online i år – en i april, som han skrev alene, og en i oktober, som han skrev sammen med Tej-eddine Ghoul og Nader Masmoudi. Tilsammen har de to papirer sat århundreders antagelser om disse berømte væskeligninger på hovedet.

“Jeg synes, det er en stor, vidunderlig præstation”, sagde Peter Constantin, matematiker ved Princeton University.

Elgindis arbejde er ikke en dødssejler for Euler-ligningerne. Han beviser snarere, at ligningerne under et meget specielt sæt af omstændigheder så at sige overophedes og begynder at producere nonsens. Under mere realistiske forhold er ligningerne indtil videre stadigvæk usårlige.

Men den undtagelse, som Elgindi fandt, er overraskende for matematikerne, fordi den opstod under forhold, hvor de tidligere troede, at ligningerne altid fungerede.

“Generelt tror jeg, at folk er ret overraskede over Tareks eksempel”, siger Vlad Vicol, matematiker ved New York University.

Eulers opblæsning

Leonhard Euler opdagede de væskeligninger, der nu bærer hans navn, i 1757. De beskriver udviklingen af en væske over tid, ligesom Newtons ligninger beskriver bevægelsen af en billardkugle på et bord.

Mere præcist angiver ligningerne den øjeblikkelige bevægelse af uendeligt små partikler i en væske. Denne beskrivelse omfatter en partikels hastighed (hvor hurtigt den bevæger sig og i hvilken retning) og den beslægtede størrelse, der er kendt som dens vorticitet (hvor hurtigt den drejer rundt, som en top, og i hvilken retning).

Samlet set danner disse oplysninger et “hastighedsfelt”, som er et øjebliksbillede af en væskes bevægelse på et givet tidspunkt. Euler-ligningerne starter med et indledende hastighedsfelt og forudsiger, hvordan det vil ændre sig på hvert øjeblik i fremtiden.

Euler-ligningerne er ikke en bogstavelig beskrivelse af en væske i den virkelige verden. De indeholder flere ikke-fysiske antagelser. For eksempel virker ligningerne kun, hvis interne strømme i en væske ikke skaber friktion, når de bevæger sig forbi hinanden. De antager også, at væsker er “inkompressible”, hvilket betyder, at man i henhold til Euler-ligningerne ikke kan presse en væske ind i et mindre rum end det, den allerede optager.

“Vi kan betragte modellen som en vis idealiseret verden og ligningerne som reglerne for bevægelse i denne verden”, skrev Vladimir Sverak fra University of Minnesota i en e-mail.

Disse unaturlige forbehold fik matematikeren og fysikeren John von Neumann til at sige, at ligningerne modellerer “tørt vand”. For at modellere bevægelsen af en mere realistisk væske med indre friktion (eller viskositet) bruger forskerne i stedet Navier-Stokes-ligningerne.

“Euler-ligningerne er meget idealiserede. Rigtige væsker har friktion,” siger Constantin.

Men Euler-ligningerne har stadig en ærværdig plads i videnskaben. Forskere vil gerne vide, om ligningerne fungerer entydigt inden for denne gnidningsløse, inkompressible, idealiserede verden – det vil sige, om de kan beskrive alle fremtidige tilstande i ethvert muligt indledende hastighedsfelt. Eller, for at sige det på en anden måde:

“Det grundlæggende spørgsmål er: Kan ligningerne altid gøre deres arbejde?”, siger Sverak.

I teorien vil ligningerne, når man indtaster værdier for den aktuelle tilstand af en væske, producere nøjagtige værdier for en fremtidig tilstand. Så kan du sætte disse nye værdier ind i ligningerne igen og udvide din prognose. Typisk fungerer processen, tilsyneladende så langt ud i fremtiden, som man gider at kigge.

Men det er også muligt, at ligningerne under meget sjældne omstændigheder bryder sammen. De kan være i gang og producere output, der fungerer som fremtidige input, når tingene begynder at gå skævt, og ligningerne til sidst producerer en værdi, som de ikke kan fortsætte med at beregne med. I disse situationer siger matematikere, at ligningerne “sprænger”.”

Hvis Euler-ligningerne sprænger, ville det være fordi de forstærker et punkts hastighed eller vorticitet på en meget unaturlig måde. Forstærkningen ville være så ekstrem, at hastigheden eller vorticiteten i et punkt på et begrænset tidsrum ville blive uendelig. Og når ligningerne først producerer en uendelig værdi, vil de bryde sammen og være ude af stand til at beskrive yderligere fremtidige tilstande. Det skyldes, at man generelt ikke kan beregne med uendelige værdier, lige så lidt som man kan dividere med nul. (Værdierne ville overskride lysets hastighed undervejs, men i denne idealiserede verden er det OK.)

Disse fatale uendelige værdier kaldes “singulariteter”. Når matematikere spørger: “Virker Eulers ligninger altid?”, spørger de i virkeligheden: “Er der scenarier, under hvilke Eulers ligninger producerer singulariteter?”

Mange matematikere mener, at svaret er ja, men de har aldrig kunnet finde et specifikt scenarie, hvor ligningerne faktisk sprænger i luften.”

“Du føler, at Euler forsøger at undgå . Indtil videre er det lykkedes,” siger Constantin.

Det nye arbejde viser ikke, at ligningerne producerer singulariteter under de præcise betingelser, som matematikere bekymrer sig mest om. Men det er det nærmeste resultat, der endnu er kommet dette mål nærmest. For at opnå det har Elgindi overvejet en forenklet model for, hvordan væsker bevæger sig.

Reduktion af kompleksiteten

Matematikere har mange forskellige måder at reducere kompleksiteten af den væskebevægelse, som de beder Euler-ligningerne om at modellere. Mange af de mest interessante resultater, som f.eks. Elgindis, går ud på at demonstrere, hvor langt man kan forenkle en væskes adfærd – dvs. hvor langt man kan forenkle de data, man indfører i ligningerne – samtidig med at det stadig lykkes at sige noget meningsfuldt om selve ligningerne.

I en rigtig tredimensionel væske, som vandet i en dam, har enhver partikel tre akser, langs hvilke den kan bevæge sig: x-aksen (venstre eller højre), y-aksen (op eller ned) og z-aksen (baglæns eller fremad). Det er en masse bevægelsesfrihed. Desuden er der ikke nødvendigvis nogen stærk sammenhæng mellem partiklernes bevægelse i forskellige dele af væsken.

“Det er for meget at holde styr på,” siger Elgindi.

I sit nye arbejde forenkler Elgindi den opgave, som han beder Euler-ligningerne om at klare. Han kræver, at væsken udviser symmetri omkring z-aksen, noget man normalt ikke ville finde i en rigtig væske. Denne symmetri gør det lettere at beregne hastighedsfeltet, fordi man ved, at punkterne på hver side af z-aksen er spejlbilleder af hinanden. Så hvis man kender hastigheden eller vorticiteten i ét punkt, skal man blot vende værdiernes fortegn om, og så kender man værdierne i et andet punkt.

Han begrænser også det bevægelsesområde, der er tilgængeligt for punkterne i væsken. Partikler har lov til at bevæge sig i to generelle retninger, enten langs z-aksen eller mod eller væk fra z-aksen. De har ikke lov til at dreje rundt om z-aksen. Matematikere siger, at en sådan væske ikke har “nogen hvirvel”.

“Det reducerer stort set problemet til et todimensionelt problem”, siger Elgindi.

Elgindi stiller endelig visse yderligere krav til de indledende data, som han indfører i Euler-ligningerne. Dataene er på en måde grovere end de værdier, der beskriver væsker i den virkelige verden, og det gør dannelsen af singulariteter mere sandsynlig.

I virkeligheden, hvis man bevæger sig en meget lille afstand fra et punkt i en væske til et andet, er hastigheden i det andet punkt meget lig hastigheden i det første punkt. På samme måde bør vortiderne i de to punkter være meget ens. Matematikere siger, at hastighedsfelter med denne egenskab er “glatte”, hvilket betyder, at værdierne varierer kontinuerligt – jævnt – mens man bevæger sig fra det ene punkt til det næste. Der er ingen hurtige ændringer.

Det er ikke tilfældet i Elgindis beskrivelser af en væske.

“Vorticiteten i Tareks data kan variere mere dramatisk,” sagde Vicol. “Tætte punkter har meget forskellige vorticiteter.”

Elgindis forenklinger kan synes at afvige for langt fra den virkelige væskeadfærd til at være brugbare. Men de er meget mildere end mange forenklede scenarier, under hvilke matematikere tidligere har fået indsigt i Euler-ligningerne.

I virkeligheden viste Elgindi, at under disse forenklede – men ikke for forenklede – betingelser begynder Euler-ligningerne at give meget uventede resultater.

Game Over

For at forstå Elgindis opdagelse skal man forestille sig en tank med vand. Dette er lidt misvisende, for Elgindis arbejde handler om væsker, der ikke har nogen grænse, hvilket betyder, at de svæver som en klat i rummet. Men med henblik på at visualisere det scenarie, der er kernen i hans arbejde, er det nyttigt at placere vandet i en tank. De vigtigste matematiske formodninger – og de sværeste at bevise – drejer sig om væsker uden grænser.

Næst skal du forestille dig to tykke ringe af vand i hver sin ende af tanken. Ringene danner sig som hvirvler eller hvirvelbassiner – organiserede forstyrrelser inden for væskens hovedmasse. De er en slags fænomen, der virkelig forekommer i naturen, og de ligner de ringe, som dygtige rygere kan frembringe.

Forestil dig nu de modsatte ringe, der bevæger sig mod hinanden.

Mens de bevæger sig fremad, fungerer Euler-ligningerne normalt i baggrunden, idet de beregner de hastighedsfelter, der beskriver væsken på hvert enkelt tidspunkt. Men når ringene kommer tæt på hinanden, begynder ligningerne at rapportere nogle vilde værdier.

De viser, at ringene tiltrækker hinanden med større og større intensitet – og i særdeleshed viser de, at de inderste dele af ringene tiltrækker og trækker hinanden med endnu større kraft end de yderste dele af ringene. Som følge heraf forlænges ringene og strækker sig ud, så de mere ligner et par tragte. Efterhånden som deres centre kommer tættere og tættere på hinanden, bliver deres hastigheder hurtigere og hurtigere. Så styrter de sammen.

Og hvis man i netop det øjeblik kigger på det hastighedsfelt, der beskriver kollisionen, vil man se noget, som ingen har set under dette sæt antagelser i Euler-ligningernes historie: en singularitet. Elgindi beviste, at Euler-ligningerne beregner uendelig vorticitet i kollisionspunktet. Game over.

“Den klassiske form af ligningerne bryder sammen,” sagde Elgindi. “Derefter ved man ikke, hvad der sker.”

Resultatet har dog nogle begrænsninger. Det er nemlig umuligt at ekstrapolere fra hans bevis til Euler-ligningernes opførsel under de helt “glatte” betingelser. Det skyldes, at matematikere for årtier siden beviste, at under glatte forhold giver det scenarie, som Elgindi overvejer, ikke en singularitet.

Men på andre måder ændrer hans resultat fuldstændig den måde, som matematikere ser på disse gamle ligninger.

Forinden Elgindis arbejde havde matematikere aldrig bevist eksistensen af en situation, uden en grænse, hvor Euler-ligningerne fungerede i en kort periode (når ringene nærmer sig hinanden), men ikke for evigt. I alt tidligere arbejde havde matematikerne fundet ud af, at hvis ligningerne overhovedet virkede, så virkede de for evigt.

“Det er et ganske bemærkelsesværdigt resultat, fordi det beviser, at der findes singulariteter under et scenarie, som er det, vi kalder ‘well posed’. Det giver mening, og alligevel får man denne finite tidssingularitet,” sagde Constantin.

Mange generationer af forskere har ledt efter et blødt punkt i Euler-ligningerne. Endelig – med forbehold – har en matematiker fundet en.