Wissenschaftler halten es heute für selbstverständlich, dass jede Messung mit Fehlern behaftet ist, so dass Wiederholungen desselben Experiments zu unterschiedlichen Ergebnissen führen. Im intellektuellen Klima von Galileis Zeit jedoch, als logische Syllogismen, die keine Grauzone zwischen richtig und falsch zuließen, das akzeptierte Mittel zur Ableitung von Schlussfolgerungen waren, waren seine neuartigen Verfahren alles andere als zwingend. Bei der Beurteilung seiner Arbeit muss man bedenken, dass die heute akzeptierten Konventionen bei der Berichterstattung über wissenschaftliche Ergebnisse erst lange nach Galileis Zeit eingeführt wurden. Wenn er also, wie es heißt, als Tatsache feststellte, dass zwei vom schiefen Turm von Pisa herabgefallene Gegenstände den Boden gemeinsam erreichten, ohne dass auch nur eine Handbreit zwischen ihnen lag, muss daraus nicht gefolgert werden, dass er das Experiment selbst durchgeführt hat oder dass, wenn er es getan hat, das Ergebnis so perfekt war. Ein solches Experiment hatte der flämische Mathematiker Simon Stevin zwar schon etwas früher (1586) durchgeführt, aber Galilei idealisierte das Ergebnis. Eine leichte und eine schwere Kugel erreichen nicht gleichzeitig den Boden, und auch der Unterschied zwischen ihnen ist nicht immer gleich groß, da es unmöglich ist, das Ideal des Fallenlassens der beiden Kugeln genau im selben Moment zu reproduzieren. Dennoch war Galilei davon überzeugt, dass es der Wahrheit näher kommt, wenn er sagt, dass sie zusammen fallen, als dass es einen signifikanten Unterschied zwischen ihren Geschwindigkeiten gibt. Diese Idealisierung unvollkommener Experimente ist nach wie vor ein wesentlicher wissenschaftlicher Prozess, obwohl es heutzutage als angemessen angesehen wird, die primären Beobachtungen zu präsentieren (oder zumindest zur Überprüfung bereitzuhalten), damit andere unabhängig beurteilen können, ob sie bereit sind, die Schlussfolgerung des Autors hinsichtlich dessen, was in einem ideal durchgeführten Experiment beobachtet worden wäre, zu akzeptieren.

Die Prinzipien können veranschaulicht werden, indem man mit den Vorteilen moderner Instrumente ein Experiment wiederholt, wie es Galileo selbst durchgeführt hat – nämlich die Messung der Zeit, die eine Kugel benötigt, um eine leicht geneigte Rinne über verschiedene Distanzen hinunterzurollen. Der folgende Bericht beschreibt ein reales Experiment, das an einem sehr einfachen Beispiel zeigen soll, wie der Prozess der Idealisierung abläuft und wie die vorläufigen Schlussfolgerungen dann einer gründlicheren Prüfung unterzogen werden können.

Auf einer Messingrinne wurden Linien in gleichmäßigen Abständen von 6 cm eingeritzt, und die Kugel wurde mit Hilfe einer Karte neben der höchsten Linie in Ruhe gehalten. Ein elektronischer Zeitmesser wurde in dem Moment gestartet, in dem die Karte entfernt wurde, und der Zeitmesser wurde angehalten, wenn die Kugel eine der anderen Linien passierte. Bei sieben Wiederholungen jeder Zeitmessung zeigte sich, dass die Messungen typischerweise in einem Bereich von 1/20 einer Sekunde lagen, vermutlich aufgrund menschlicher Einschränkungen. In einem solchen Fall, in dem eine Messung mit Zufallsfehlern behaftet ist, liefert der Durchschnitt vieler Wiederholungen eine bessere Schätzung dessen, was das Ergebnis wäre, wenn die Quelle des Zufallsfehlers beseitigt wäre; der Faktor, um den die Schätzung verbessert wird, ist ungefähr die Quadratwurzel aus der Anzahl der Messungen. Darüber hinaus ermöglicht die auf den deutschen Mathematiker Carl Friedrich Gauß zurückgehende Fehlertheorie eine quantitative Schätzung der Zuverlässigkeit des Ergebnisses, die in der Tabelle durch das herkömmliche Symbol ± ausgedrückt wird. Dies bedeutet nicht, dass das erste Ergebnis in Spalte 2 garantiert zwischen 0,671 und 0,685 liegt, sondern dass, wenn diese Bestimmung des Durchschnitts von sieben Messungen viele Male wiederholt würde, etwa zwei Drittel der Bestimmungen innerhalb dieser Grenzen liegen würden.

Die Darstellung von Messungen durch einen Graphen, wie in Abbildung 1, stand Galilei nicht zur Verfügung, sondern wurde kurz nach seiner Zeit als Folge der Arbeiten des französischen Mathematikers und Philosophen René Descartes entwickelt. Die Punkte scheinen nahe an einer Parabel zu liegen, und die gezeichnete Kurve wird durch die Gleichung x = 12t2 definiert. Die Anpassung ist nicht ganz perfekt, und es lohnt sich, eine bessere Formel zu finden. Da das Starten des Zeitmessers, wenn die Karte entfernt wird, um die Kugel rollen zu lassen, und das Stoppen des Zeitmessers, wenn die Kugel eine Markierung passiert, unterschiedlich sind, besteht die Möglichkeit, dass zusätzlich zu den zufälligen Zeitfehlern ein systematischer Fehler in jedem gemessenen Wert von t auftritt, d. h., jede Messung t ist vielleicht als t + t0 zu interpretieren, wobei t0 ein noch unbekannter konstanter Zeitfehler ist. Wenn dies der Fall ist, könnte man prüfen, ob die gemessenen Zeiten nicht durch x = at2, wobei a eine Konstante ist, sondern durch x = a(t + t0)2 mit der Entfernung in Beziehung stehen. Dies kann auch grafisch geprüft werden, indem man die Gleichung zunächst in Quadratwurzel aus√x = Quadratwurzel aus√a(t + t0) umschreibt, was besagt, dass die Werte der Quadratwurzel aus√x auf einer Geraden liegen sollten, wenn sie gegen die gemessenen Werte von t aufgetragen werden. Abbildung 2 verifiziert diese Vorhersage ziemlich genau; die Linie geht nicht durch den Ursprung, sondern schneidet die horizontale Achse bei -0,09 Sekunden. Daraus lässt sich ableiten, dass t0 = 0,09 Sekunden ist und dass (t + 0,09)x für alle in der Tabelle angegebenen Messpaare gleich sein muss. Die dritte Spalte zeigt, dass dies mit Sicherheit der Fall ist. Die Konstanz ist sogar besser, als angesichts der geschätzten Fehler zu erwarten gewesen wäre. Dies muss als statistischer Zufall betrachtet werden und bedeutet keine größere Sicherheit für die Richtigkeit der Formel, als wenn die Zahlen in der letzten Spalte zwischen 0,311 und 0,315 gelegen hätten, was sehr wohl möglich gewesen wäre. Man würde sich wundern, wenn eine Wiederholung des gesamten Experiments erneut ein so nahezu konstantes Ergebnis liefern würde.

Eine mögliche Schlussfolgerung ist also, dass die gemessenen Zeiten aus irgendeinem Grund – wahrscheinlich aufgrund von Beobachtungsfehlern – die tatsächliche Zeit t, die eine Kugel braucht, um aus der Ruhe heraus eine Strecke x zurückzulegen, um 0,09 Sekunden unterschätzen. Wenn das so ist, wäre x unter idealen Bedingungen streng proportional zu t2. Weitere Experimente, bei denen der Kanal mit unterschiedlichen, aber immer noch sanften Neigungen eingestellt wird, legen nahe, dass die allgemeine Regel die Form x = at2 annimmt, wobei a proportional zur Neigung ist. Diese vorläufige Idealisierung der experimentellen Messungen muss möglicherweise im Lichte weiterer Experimente geändert oder sogar verworfen werden. Da sie nun aber in eine mathematische Form gegossen wurde, kann sie mathematisch analysiert werden, um herauszufinden, welche Konsequenzen sie mit sich bringt. Außerdem werden dadurch Wege aufgezeigt, sie genauer zu überprüfen.

Aus einem Diagramm wie Abbildung 1, das zeigt, wie x von t abhängt, kann man die momentane Geschwindigkeit der Kugel in jedem Augenblick ableiten. Dies ist die Steigung der Tangente an die Kurve bei dem gewählten Wert von t; bei t = 0,6 Sekunden beschreibt die eingezeichnete Tangente beispielsweise, wie x mit t für eine Kugel zusammenhängt, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit von etwa 14 cm pro Sekunde bewegt. Die geringere Steigung vor diesem Zeitpunkt und die höhere Steigung danach zeigen an, dass die Kugel stetig beschleunigt wird. Man könnte die Tangenten bei verschiedenen Werten von t einzeichnen und zu dem Schluss kommen, dass die momentane Geschwindigkeit ungefähr proportional zu der Zeit ist, die seit dem Beginn des Rollens der Kugel verstrichen ist. Dieses Verfahren mit seinen unvermeidlichen Ungenauigkeiten erübrigt sich, wenn man die vermeintliche Formel mit elementarer Mathematik anwendet. Die Momentangeschwindigkeit v ist die Ableitung von x nach t; wenn

Die Implikation, dass die Geschwindigkeit streng proportional zur verstrichenen Zeit ist, ist, dass ein Graph von v gegen t eine gerade Linie durch den Ursprung wäre. In jedem Diagramm dieser Größen, ob gerade oder nicht, zeigt die Steigung der Tangente an jedem Punkt, wie sich die Geschwindigkeit in diesem Augenblick mit der Zeit verändert; dies ist die momentane Beschleunigung f. Bei einem geradlinigen Diagramm von v gegen t sind die Steigung und damit die Beschleunigung zu jedem Zeitpunkt gleich. Mathematisch ausgedrückt: f = dv/dt = d2x/dt2; im vorliegenden Fall hat f den konstanten Wert 2a.

Die vorläufige Schlussfolgerung lautet also, dass eine Kugel, die einen geraden Abhang hinunterrollt, eine konstante Beschleunigung erfährt und dass die Größe der Beschleunigung proportional zur Steigung ist. Es ist nun möglich, die Gültigkeit der Schlussfolgerung zu überprüfen, indem man herausfindet, was sie für eine andere Versuchsanordnung vorhersagt. Wenn möglich, wird ein Experiment eingerichtet, das genauere Messungen erlaubt als die, die zu der vorläufigen Schlussfolgerung führten. Ein solcher Test wird mit einer Kugel durchgeführt, die in einer gekrümmten Rinne rollt, so dass ihr Mittelpunkt einen Kreisbogen mit dem Radius r beschreibt, wie in Abbildung 3 dargestellt. Wenn der Bogen flach ist, ist die Steigung in einer Entfernung x von seinem tiefsten Punkt sehr nahe bei x/r, so dass die Beschleunigung der Kugel zum tiefsten Punkt hin proportional zu x/r ist. Wenn man c als Proportionalitätskonstante einführt, wird dies als Differentialgleichung geschrieben

Hier wird festgestellt, dass auf einem Graphen, der zeigt, wie sich x mit t verändert, die Krümmung d2x/dt2 proportional zu x ist und das entgegengesetzte Vorzeichen hat, wie in Abbildung 4 dargestellt. Wenn die Kurve die Achse kreuzt, ist x und damit die Krümmung gleich Null, und die Linie ist lokal gerade. Dieser Graph stellt die Schwingungen der Kugel zwischen den Extremen von ±A dar, nachdem sie von x = A bei t = 0 losgelassen wurde. Die Lösung der Differentialgleichung, deren graphische Darstellung das Diagramm ist, lautet

wobei ω, die sogenannte Kreisfrequenz, für die Quadratwurzel aus√(c/r) geschrieben wird. Die Kugel braucht die Zeit T = 2π/ω = 2πQuadratwurzel aus√(r/c), um in ihre ursprüngliche Ruhelage zurückzukehren, wonach sich die Schwingung unbegrenzt wiederholt oder bis die Kugel durch Reibung zur Ruhe kommt.

Nach dieser Analyse ist die Periode T unabhängig von der Amplitude der Schwingung, und diese eher unerwartete Vorhersage lässt sich genau überprüfen. Anstatt die Kugel auf einer gekrümmten Rinne rollen zu lassen, lässt sich derselbe Weg leichter und genauer verwirklichen, indem man sie zum Pendel eines einfachen Pendels macht. Um zu prüfen, ob die Periode unabhängig von der Amplitude ist, können zwei Pendel so weit wie möglich identisch gemacht werden, so dass sie im Gleichschritt bleiben, wenn sie mit der gleichen Amplitude schwingen. Sie werden dann mit unterschiedlichen Amplituden geschwungen. Es bedarf großer Sorgfalt, um einen Unterschied in der Periode festzustellen, es sei denn, eine Amplitude ist groß, dann ist die Periode etwas länger. Eine Beobachtung, die mit der Vorhersage fast übereinstimmt, aber nicht ganz, zeigt nicht unbedingt, dass die ursprüngliche Annahme falsch ist. In diesem Fall war die Differentialgleichung, die eine exakte Konstanz der Periode vorhersagte, selbst eine Näherung. Wenn die Gleichung neu formuliert wird und der wahre Ausdruck für die Steigung an die Stelle von x/r tritt, zeigt die Lösung (die ziemlich viel Mathematik erfordert) eine Variation der Periode mit der Amplitude, die genau überprüft wurde.

Galileos Beschleunigungsgesetz, die physikalische Grundlage des Ausdrucks 2πQuadratwurzel aus√(r/c) für die Periode, wird durch die Feststellung, dass T direkt mit der Quadratwurzel aus r – d.h. der Länge des Pendels – variiert, weiter gestärkt,

Außerdem lässt sich durch solche Messungen der Wert der Konstante c mit hoher Genauigkeit bestimmen, und es wird festgestellt, dass sie mit der Beschleunigung g eines frei fallenden Körpers übereinstimmt. Die Formel für die Periode kleiner Schwingungen eines einfachen Pendels der Länge r, T = 2πQuadratwurzel aus√(r/g), bildet den Kern einiger der präzisesten Methoden zur Messung von g. Dies wäre nicht möglich gewesen, wenn die wissenschaftliche Gemeinschaft nicht Galileis Beschreibung des idealen Verhaltens akzeptiert hätte und nicht erwartet hätte, durch kleine Abweichungen in ihrem Glauben erschüttert zu werden, solange diese als Ausdruck unvermeidlicher zufälliger Diskrepanzen zwischen dem Ideal und seiner experimentellen Umsetzung verstanden werden können. Die Entwicklung der Quantenmechanik im ersten Viertel des 20. Jahrhunderts wurde durch die widerwillige Akzeptanz angeregt, dass diese Beschreibung systematisch versagte, wenn sie auf Objekte von atomarer Größe angewandt wurde. In diesem Fall ging es nicht darum, wie bei den Periodenvariationen, die physikalischen Ideen präziser in die Mathematik zu übertragen, sondern die gesamte physikalische Grundlage musste radikal überarbeitet werden. Dennoch wurden die früheren Ideen nicht über Bord geworfen – sie hatten sich in viel zu vielen Anwendungen bewährt, um verworfen zu werden. Was entstand, war ein klareres Verständnis der Umstände, unter denen ihre absolute Gültigkeit sicher angenommen werden konnte.