Mathematiker vermuten schon seit Jahren, dass die Euler-Gleichungen unter bestimmten Umständen versagen. Aber sie waren nicht in der Lage, ein genaues Szenario zu identifizieren, in dem dieses Versagen auftritt. Bis jetzt.

Die Gleichungen sind eine idealisierte mathematische Beschreibung, wie sich Flüssigkeiten bewegen. Im Rahmen bestimmter Annahmen modellieren sie die Art und Weise, wie sich Wellen auf einem Teich ausbreiten oder wie Melasse aus einem Gefäß sickert. Sie sollten in der Lage sein, die Bewegung jeder Flüssigkeit unter allen Umständen zu beschreiben – und seit mehr als zwei Jahrhunderten tun sie das auch.

Aber ein neuer Beweis zeigt, dass die Gleichungen unter bestimmten Bedingungen versagen.

“Vor anderthalb Jahren hätte ich gesagt, dass ich so etwas zu meinen Lebzeiten vielleicht nicht sehen würde”, sagte Tarek Elgindi, ein Mathematiker an der University of California, San Diego und Autor der neuen Arbeit.

Elgindi wies die Existenz des Fehlers in den Euler-Gleichungen in zwei Arbeiten nach, die dieses Jahr online veröffentlicht wurden – eine im April, die er allein schrieb, und eine im Oktober, die er zusammen mit Tej-eddine Ghoul und Nader Masmoudi verfasste. Zusammen haben die Arbeiten jahrhundertealte Annahmen über die berühmten Strömungsgleichungen auf den Kopf gestellt.

“Ich denke, das ist eine großartige, wunderbare Leistung”, sagte Peter Constantin, ein Mathematiker an der Princeton University.

Elgindis Arbeit ist nicht das Todesurteil für die Euler-Gleichungen. Vielmehr beweist er, dass die Gleichungen unter ganz bestimmten Umständen sozusagen überhitzen und anfangen, Unsinn zu produzieren. Unter realistischeren Bedingungen sind die Gleichungen vorerst noch unverwundbar.

Aber die von Elgindi gefundene Ausnahme ist für Mathematiker verblüffend, weil sie unter Bedingungen auftrat, von denen sie bisher dachten, die Gleichungen würden immer funktionieren.

“Ich denke, dass die Leute im Allgemeinen von Tareks Beispiel ziemlich überrascht sind”, sagte Vlad Vicol, ein Mathematiker an der New York University.

Euler’s Blowup

Leonhard Euler entdeckte 1757 die Flüssigkeitsgleichungen, die heute seinen Namen tragen. Sie beschreiben die zeitliche Entwicklung einer Flüssigkeit, so wie die Newtonschen Gleichungen die Bewegung einer Billardkugel auf einem Tisch beschreiben.

Genauer gesagt, beschreiben die Gleichungen die momentane Bewegung von winzig kleinen Teilchen in einer Flüssigkeit. Diese Beschreibung umfasst die Geschwindigkeit eines Teilchens (wie schnell es sich bewegt und in welche Richtung) und die damit zusammenhängende Wirbelstärke (wie schnell es sich dreht, wie ein Kreisel, und in welche Richtung).

Zusammengenommen bilden diese Informationen ein “Geschwindigkeitsfeld”, das eine Momentaufnahme der Bewegung eines Fluids zu einem bestimmten Zeitpunkt darstellt. Die Euler-Gleichungen gehen von einem anfänglichen Geschwindigkeitsfeld aus und sagen voraus, wie es sich zu jedem Zeitpunkt in der Zukunft ändern wird.

Die Euler-Gleichungen sind keine wörtliche Beschreibung einer realen Flüssigkeit. Sie enthalten mehrere unphysikalische Annahmen. Zum Beispiel funktionieren die Gleichungen nur, wenn die internen Strömungen innerhalb einer Flüssigkeit keine Reibung erzeugen, wenn sie sich aneinander vorbeibewegen. Sie gehen auch davon aus, dass Flüssigkeiten “inkompressibel” sind, was bedeutet, dass man nach den Regeln der Euler-Gleichungen eine Flüssigkeit nicht in einen kleineren Raum quetschen kann als den, den sie bereits einnimmt.

“Wir können uns das Modell als eine bestimmte idealisierte Welt und die Gleichungen als die Bewegungsregeln in dieser Welt vorstellen”, schrieb Vladimir Sverak von der University of Minnesota in einer E-Mail.

Diese unnatürlichen Voraussetzungen veranlassten den Mathematiker und Physiker John von Neumann zu der Bemerkung, dass die Gleichungen “trockenes Wasser” modellieren. Um die Bewegung einer realistischeren Flüssigkeit mit innerer Reibung (oder Viskosität) zu modellieren, verwenden Forscher stattdessen die Navier-Stokes-Gleichungen.

“Die Euler-Gleichungen sind sehr idealisiert. Echte Flüssigkeiten haben Reibung”, sagt Constantin.

Aber die Euler-Gleichungen haben immer noch einen ehrwürdigen Platz in der Wissenschaft. Die Forscher würden gerne wissen, ob die Gleichungen in dieser reibungsfreien, inkompressiblen, idealisierten Welt eindeutig funktionieren – das heißt, ob sie alle zukünftigen Zustände jedes möglichen anfänglichen Geschwindigkeitsfeldes beschreiben können. Oder, anders ausgedrückt: Gibt es Fluidbewegungen, die diese vermeintlich universellen Gleichungen nicht modellieren können?

“Die grundlegende Frage ist: Können die Gleichungen ihre Aufgabe immer erfüllen?”, so Sverak.

In der Theorie werden die Gleichungen, sobald man Werte für den aktuellen Zustand eines Fluids einsetzt, exakte Werte für einen zukünftigen Zustand liefern. Dann kann man diese neuen Werte wieder in die Gleichungen einsetzen und seine Vorhersage erweitern. In der Regel funktioniert dieser Prozess, und zwar scheinbar so weit in die Zukunft, wie Sie es wünschen.

Aber es ist auch möglich, dass die Gleichungen unter sehr seltenen Umständen versagen. Sie könnten mit der Zeit immer besser werden und Ausgaben produzieren, die als zukünftige Eingaben funktionieren, wenn die Dinge anfangen, schief zu laufen und die Gleichungen schließlich einen Wert produzieren, mit dem sie nicht weiterrechnen können. In solchen Situationen sagen Mathematiker, dass die Gleichungen “explodieren”

Wenn die Euler-Gleichungen explodieren würden, dann deshalb, weil sie die Geschwindigkeit oder Wirbelstärke eines Punktes auf sehr unnatürliche Weise verstärken. Die Verstärkung wäre so extrem, dass die Geschwindigkeit oder die Wirbelstärke an einem Punkt in einer endlichen Zeitspanne unendlich werden würde. Und sobald die Gleichungen einen unendlichen Wert erreicht hätten, würden sie zusammenbrechen und könnten keine weiteren zukünftigen Zustände mehr beschreiben. Das liegt daran, dass man im Allgemeinen nicht mit unendlichen Werten rechnen kann, genauso wenig wie man durch Null dividieren kann. (Die Werte würden dabei die Lichtgeschwindigkeit überschreiten, aber in dieser idealisierten Welt ist das in Ordnung.)

Diese fatalen unendlichen Werte werden “Singularitäten” genannt. Wenn Mathematiker fragen: “Funktionieren die Euler-Gleichungen immer?”, dann fragen sie in Wirklichkeit: “Gibt es Szenarien, in denen die Euler-Gleichungen Singularitäten erzeugen?”

Viele Mathematiker glauben, dass die Antwort “Ja” lautet, aber sie waren nie in der Lage, ein bestimmtes Szenario zu finden, in dem die Gleichungen tatsächlich explodieren.

“Sie haben das Gefühl, dass Euler versucht zu vermeiden. Bisher ist das gelungen”, sagt Constantin.

Die neue Arbeit zeigt nicht, dass die Gleichungen unter den genauen Bedingungen, die Mathematiker am meisten interessieren, Singularitäten erzeugen. Aber es ist das bisher beste Ergebnis, das diesem Ziel am nächsten kommt. Um es zu erreichen, betrachtete Elgindi ein vereinfachtes Modell der Flüssigkeitsbewegung.

Komplexität reduzieren

Mathematiker haben viele verschiedene Möglichkeiten, die Komplexität der Flüssigkeitsbewegung zu reduzieren, die sie mit den Euler-Gleichungen modellieren wollen. Viele der interessantesten Ergebnisse, wie das von Elgindi, zeigen, wie weit man das Verhalten eines Fluids vereinfachen kann – das heißt, wie weit man die Daten, die man in die Gleichungen einspeist, vereinfachen kann – und es trotzdem schafft, etwas Sinnvolles über die Gleichungen selbst zu sagen.

In einem echten dreidimensionalen Fluid, wie dem Wasser in einem Teich, hat jedes Teilchen drei Achsen, entlang derer es sich bewegen kann: die x-Achse (links oder rechts), die y-Achse (aufwärts oder abwärts) und die z-Achse (vorwärts oder rückwärts). Das ist eine Menge an Bewegungsfreiheit. Außerdem gibt es nicht unbedingt eine enge Beziehung zwischen der Bewegung von Teilchen in verschiedenen Teilen der Flüssigkeit.

“Es ist zu viel, um den Überblick zu behalten”, sagte Elgindi.

In seiner neuen Arbeit vereinfacht Elgindi die Aufgabe, die er den Euler-Gleichungen stellt. Er setzt voraus, dass die Flüssigkeit eine Symmetrie um die z-Achse aufweist, was bei einer realen Flüssigkeit im Allgemeinen nicht der Fall ist. Diese Symmetrie erleichtert die Berechnung des Geschwindigkeitsfeldes, da man weiß, dass die Punkte auf beiden Seiten der z-Achse spiegelbildlich zueinander sind. Wenn man also die Geschwindigkeit oder die Wirbelstärke an einem Punkt kennt, braucht man nur das Vorzeichen der Werte umzudrehen, und schon kennt man die Werte an einem zweiten Punkt.

Er schränkt auch den Bewegungsbereich der Punkte in der Flüssigkeit ein. Die Partikel dürfen sich in zwei Richtungen bewegen, entweder entlang der z-Achse oder auf die z-Achse zu oder von ihr weg. Sie dürfen sich nicht um die z-Achse drehen. Mathematiker sagen, dass eine solche Flüssigkeit “keinen Wirbel” hat.

“Das Problem wird dadurch im Grunde auf ein zweidimensionales reduziert”, sagte Elgindi.

Schließlich stellt Elgindi bestimmte zusätzliche Anforderungen an die Anfangsdaten, die er in die Euler-Gleichungen einspeist. Die Daten sind in gewisser Weise gröber als die Werte, die reale Flüssigkeiten beschreiben, und das macht die Bildung von Singularitäten wahrscheinlicher.

Wenn man sich im wirklichen Leben eine sehr kleine Strecke von einem Punkt in einer Flüssigkeit zu einem anderen bewegt, ist die Geschwindigkeit am zweiten Punkt der Geschwindigkeit am ersten sehr ähnlich. Entsprechend sollten auch die Geschwindigkeiten an den beiden Punkten sehr ähnlich sein. Mathematiker sagen, dass Geschwindigkeitsfelder mit dieser Eigenschaft “glatt” sind, was bedeutet, dass die Werte kontinuierlich – gleichmäßig – variieren, während man sich von einem Punkt zum nächsten bewegt. Es gibt keine schnellen Änderungen.

Das ist bei Elgindis Beschreibungen einer Flüssigkeit nicht der Fall.

“Die Wirbelstärke in Tareks Daten kann dramatischer variieren”, sagte Vicol. “Nahe beieinander liegende Punkte haben sehr unterschiedliche Wirbelstärken.”

Elgindis Vereinfachungen scheinen zu weit vom realen Flüssigkeitsverhalten abzuweichen, um nützlich zu sein. Aber sie sind viel milder als viele vereinfachte Szenarien, unter denen Mathematiker zuvor Einblicke in die Euler-Gleichungen gewonnen haben.

Elgindi hat gezeigt, dass die Euler-Gleichungen unter diesen vereinfachten – aber nicht zu vereinfachten – Bedingungen zu sehr unerwarteten Ergebnissen führen.

Game Over

Um Elgindis Entdeckung zu verstehen, stellen Sie sich einen Wassertank vor. Das ist etwas irreführend, denn in Elgindis Arbeit geht es um Flüssigkeiten, die keine Begrenzung haben, d.h. sie schwimmen wie ein Klecks im Raum. Aber um das Szenario, das seiner Arbeit zugrunde liegt, zu veranschaulichen, ist es nützlich, sich das Wasser in einem Tank vorzustellen. Die wichtigsten mathematischen Vermutungen – und die am schwierigsten zu beweisenden – beziehen sich auf Flüssigkeiten ohne Grenzen.

Stellen Sie sich nun zwei dicke Ringe aus Wasser an den gegenüberliegenden Enden des Tanks vor. Die Ringe bilden sich wie Wirbel oder Strudel – organisierte Störungen innerhalb des Hauptkörpers der Flüssigkeit. Sie sind ein Phänomen, das wirklich in der Natur vorkommt, und sie sehen aus wie die Ringe, die geübte Raucher erzeugen können.

Stellen Sie sich nun vor, dass sich die gegenüberliegenden Ringe aufeinander zu bewegen.

Während sie sich vorwärts bewegen, arbeiten die Euler-Gleichungen ganz normal im Hintergrund und berechnen die Geschwindigkeitsfelder, die die Flüssigkeit zu jedem Zeitpunkt beschreiben. Aber wenn sich die Ringe einander nähern, beginnen die Gleichungen einige wilde Werte zu melden.

Sie zeigen, dass die Ringe sich gegenseitig mit immer größerer Intensität anziehen – und insbesondere zeigen sie, dass die innersten Teile der Ringe sich gegenseitig mit noch größerer Kraft anziehen und ziehen als die äußersten Teile der Ringe. Infolgedessen dehnen sich die Ringe aus und sehen dann eher wie ein Paar Trichter aus. Während sich ihre Zentren immer mehr annähern, wird ihre Geschwindigkeit immer höher. Dann kollidieren sie.

Und wenn man sich genau in diesem Moment das Geschwindigkeitsfeld anschaut, das die Kollision beschreibt, sieht man etwas, was man unter diesen Annahmen in der Geschichte der Euler-Gleichungen noch nie gesehen hat: eine Singularität. Elgindi hat bewiesen, dass die Euler-Gleichungen am Kollisionspunkt eine unendliche Wirbelstärke berechnen. Game over.

“Die klassische Form der Gleichungen bricht zusammen”, sagte Elgindi. “Danach weiß man nicht, was passiert.”

Das Ergebnis hat einige Einschränkungen. Es ist nämlich unmöglich, von seinem Beweis auf das Verhalten der Euler-Gleichungen unter völlig “glatten” Bedingungen zu schließen. Das liegt daran, dass Mathematiker schon vor Jahrzehnten bewiesen haben, dass das von Elgindi betrachtete Szenario unter glatten Bedingungen keine Singularität hervorruft.

Aber in anderer Hinsicht verändert sein Ergebnis die Art und Weise, wie Mathematiker diese alten Gleichungen betrachten, völlig.

Vor Elgindis Arbeit hatten Mathematiker noch nie die Existenz einer Situation ohne eine Grenze bewiesen, in der die Euler-Gleichungen für eine kurze Zeitspanne (wenn sich die Ringe einander nähern), aber nicht für immer funktionieren. In allen früheren Arbeiten hatten die Mathematiker festgestellt, dass die Gleichungen, wenn sie überhaupt funktionierten, für immer funktionierten.

“Das ist ein bemerkenswertes Ergebnis, weil es beweist, dass es Singularitäten in einem Szenario gibt, das wir ‘gut gestellt’ nennen. Es macht Sinn, und trotzdem erhält man diese zeitlich begrenzte Singularität”, sagte Constantin.

Viele Generationen von Wissenschaftlern haben nach einem weichen Punkt in den Euler-Gleichungen gesucht. Endlich hat ein Mathematiker – mit Einschränkungen – eine gefunden.