Was ist reine Mathematik? Was machen reine Mathematiker? Warum ist die reine Mathematik wichtig?

Das sind Fragen, mit denen ich oft konfrontiert werde, wenn Leute erfahren, dass ich reine Mathematik mache.

Ich schaffe es immer, eine Antwort zu geben, aber sie scheint nie ganz zu befriedigen.

Daher werde ich versuchen, eine ausgereiftere Antwort auf diese drei Fragen zu geben. Ich entschuldige mich im Voraus für die Vereinfachungen, die ich machen musste, um mich kurz zu fassen.

Grundsätzlich gibt es zwei verschiedene Arten von Mathematik (und ich höre schon Proteste) – reine und angewandte. Philosophen wie Bertrand Russell haben versucht, strenge Definitionen für diese Einteilung zu geben.

Ich fasse die Unterscheidung in der folgenden, etwas kryptischen Aussage zusammen: reine Mathematiker beweisen Theoreme und angewandte Mathematiker konstruieren Theorien.

Das bedeutet, dass das Paradigma, in dem Mathematik von den beiden Gruppen von Menschen betrieben wird, unterschiedlich ist.

Reine Mathematiker werden oft von abstrakten Problemen getrieben. Um das Abstrakte konkret zu machen, hier ein paar Beispiele: “Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge?” oder “Hat jede wahre mathematische Aussage einen Beweis?”

Genauer gesagt, baut die Mathematik auf Axiomen auf, und die Natur der mathematischen Wahrheit wird durch die Prädikatenlogik bestimmt.

Ein mathematisches Theorem ist eine wahre Aussage, die von einem Beweis begleitet wird, der ihre Wahrheit durch Deduktion mit Hilfe der Logik zweifelsfrei beweist.

Im Gegensatz zu einer empirischen Theorie reicht es nicht aus, einfach eine Erklärung zu konstruieren, die sich bei Auftreten von Ausnahmen ändern kann.

Was ein Mathematiker aufgrund von Beweisen vermutet, dass es wahr ist, ist einfach eine Vermutung.

Angewandte

Angewandte Mathematiker werden typischerweise durch Probleme aus der physikalischen Welt motiviert. Sie benutzen die Mathematik, um diese Probleme zu modellieren und zu lösen.

Diese Modelle sind eigentlich Theorien und unterliegen, wie jede Wissenschaft, der Überprüfbarkeit und Falsifizierbarkeit. Wenn die Menge der Informationen über das Problem zunimmt, werden sich diese Modelle möglicherweise ändern.

Reine und angewandte Mathematik schließen sich nicht unbedingt gegenseitig aus. Es gibt viele große Mathematiker, die beide Wege beschreiten.

Reine

Es gibt viele Probleme, die von reinen Mathematikern verfolgt werden, die ihre Wurzeln in konkreten physikalischen Problemen haben – insbesondere solche, die sich aus der Relativitätstheorie oder der Quantenmechanik ergeben.

Typischerweise ergeben sich beim tieferen Verständnis solcher Phänomene verschiedene “technische Einzelheiten” (glauben Sie mir, wenn ich Ihnen sage, dass diese technischen Einzelheiten sehr schwer zu erklären sind). Diese werden in rein mathematische Aussagen abstrahiert, die reine Mathematiker angreifen können.

Die Lösung dieser mathematischen Probleme kann dann wichtige Anwendungen haben.

Ok Computer

Lassen Sie mich ein konkretes Beispiel dafür geben, wie abstraktes Denken zur Entwicklung eines Geräts führte, das die Funktionen der modernen Gesellschaft unterstützt: der Computer.

Die frühesten Computer waren fest programmiert – d.h. sie wurden speziell dafür gebaut, nur eine Aufgabe zu erfüllen. Das Programm zu ändern, war eine sehr kostspielige und langwierige Angelegenheit.

Die modernen Überbleibsel eines solchen Dinosauriers wären Taschenrechner, die nur die Grundrechenarten ausführen können. Im Gegensatz dazu kann man bei einem modernen Computer ein Taschenrechnerprogramm oder ein Textverarbeitungsprogramm laden und muss dafür nicht den Rechner wechseln.

Dieser Paradigmenwechsel fand Mitte der 1940er Jahre statt und wird als Speicherprogramm- oder von-Neumann-Architektur bezeichnet.

Die weithin zugängliche, aber weniger bekannte Geschichte ist, dass dieses Konzept seine Wurzeln in der Untersuchung eines abstrakten mathematischen Problems namens Entscheidungsproblem hat.

Das Entscheidungsproblem wurde im Jahre 1928 von dem berühmten Mathematiker David Hilbert formuliert.

Es lautet ungefähr wie folgt: “Gibt es ein Verfahren, das die Wahrheit oder Falschheit einer mathematischen Aussage in einer endlichen Anzahl von Schritten entscheiden kann?”

Diese Frage wurde von Alonzo Church und Alan Turing unabhängig voneinander in den Jahren 1936 und 1937 mit Nein beantwortet. Turing formuliert in seiner Arbeit eine abstrakte Maschine, die wir heute als Turing-Maschine bezeichnen.

Die Maschine besitzt ein unendlich langes Band (Speicher), einen Kopf, der sich schrittweise bewegen, vom Band lesen und auf das Band schreiben kann, eine endliche Anweisungstabelle, die dem Kopf Anweisungen gibt, und eine endliche Menge von Zuständen (wie “annehmen” oder “ablehnen”). Man initiiert die Maschine mit Eingaben auf dem Band.

Eine solche Maschine kann außerhalb der Mathematik nicht existieren, da sie ein unendlich langes Band hat.

Aber sie ist das Werkzeug, mit dem man den Begriff der Berechenbarkeit definiert. Das heißt, wir sagen, ein Problem ist berechenbar, wenn wir es mit einer Turing-Maschine kodieren können.

Dann kann man die Parallelen zwischen einer Turing-Maschine und einer Festprogramm-Maschine sehen.

Angenommen, es gibt eine Turing-Maschine U, die die Anweisungstabelle und die Zustände einer beliebigen Turing-Maschine T (in geeigneter Weise kodiert) aufnehmen und auf demselben Band I in T eingeben kann, um die Turing-Maschine T auf der Eingabe I laufen zu lassen.

Eine solche Maschine nennt man eine Universelle Turing-Maschine.

In seiner Arbeit von 1937 beweist Turing ein wichtiges Existenztheorem: Es gibt eine universelle Turingmaschine. Dies ist nun die Parallele zum Speicherprogramm-Konzept, der Grundlage des modernen programmierbaren Computers.

Es ist bemerkenswert, dass ein abstraktes Problem, das die Grundlagen der Mathematik betrifft, den Grundstein zum Aufkommen des modernen Computers legte.

Es ist vielleicht ein Merkmal der reinen Mathematik, dass der Mathematiker nicht durch die Beschränkungen der physikalischen Welt eingeschränkt ist und an die Vorstellungskraft appellieren kann, um abstrakte Objekte zu schaffen und zu konstruieren.

Das heißt nicht, dass der reine Mathematiker nicht physikalische Konzepte wie Energie, Entropie usw. formalisiert, um abstrakte Mathematik zu betreiben.

Dieses Beispiel soll auf jeden Fall verdeutlichen, dass die Beschäftigung mit rein mathematischen Problemen eine lohnende Sache ist, die für die Gesellschaft von großem Wert sein kann.