Ein Vektor kann durch ein geordnetes Paar (x,y) dargestellt werden, aber auch durch eine Spaltenmatrix:

$$$begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$

Polygone können auch in Matrixform dargestellt werden, wir setzen einfach alle Koordinaten der Scheitelpunkte in eine Matrix. Dies nennt man eine Scheitelpunktmatrix.

Beispiel

Ein Quadrat hat seine Scheitelpunkte an den folgenden Koordinaten (1,1), (-1,1), (-1,-1) und (1,-1). Wenn wir unsere Scheitelpunktmatrix erstellen wollen, stecken wir jedes geordnete Paar in jede Spalte einer 4-Spalten-Matrix:

$$$\begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \ y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 &-1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$

Wir können Matrizen verwenden, um unsere Figur zu übersetzen. Wenn wir die Figur x+3 und y+2 übersetzen wollen, addieren wir einfach 3 zu jeder x-Koordinate und 2 zu jeder y-Koordinate.

$$$\\begin{bmatrix} x_{1}+3 & x_{2}+3 &x_{3}+3 &x_{4}+3 \\\ y_{1}+2 &y_{2}+2 &y_{2}+2 & y_{2}+2 \end{bmatrix}$$

Wenn wir eine Figur dilatieren wollen, multiplizieren wir einfach jede x- und y-Koordinate mit dem Skalierungsfaktor, mit dem wir dilatieren wollen.

$$3\cdot \begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \\ y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix}$$

Wenn wir ein Reflexionsbild erstellen wollen, multiplizieren wir die Scheitelpunktmatrix unserer Figur mit einer so genannten Reflexionsmatrix. Die gebräuchlichsten Reflexionsmatrizen sind:

für eine Reflexion an der x-Achse

$$\begin{bmatrix} 1 & 0\\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

für eine Spiegelung an der y-Achse

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

für eine Spiegelung am Ursprung

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

für eine Spiegelung an der Linie y=x

$$\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Beispiel

Wir wollen eine Spiegelung des Vektors an der x-Achse erzeugen.

$$\overrightarrow{A}=\begin{bmatrix} -1 & 3\\\ 2 & -2 \end{bmatrix}$$

Um unsere Spiegelung zu erzeugen, müssen wir sie mit der korrekten Spiegelungsmatrix multiplizieren

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Die Scheitelpunktmatrix unserer Spiegelung ist also

$$\\ \begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 3\\\ 2 & -2 \end{bmatrix}=\\\ \\\\\begin{bmatrix} (1\cdot -1)+(0\cdot2) & (1\cdot3)+(0\cdot-2)\\\ (0\cdot-1)+(-1\cdot2) & (0\cdot3)+(-1\cdot-2) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & 3\\ -2 & 2 \end{bmatrix}$$

Wenn wir eine Figur drehen wollen, gehen wir ähnlich vor, wie wenn wir eine Spiegelung erzeugen. Wenn wir eine Figur um 90° gegen den Uhrzeigersinn drehen wollen, multiplizieren wir die Scheitelpunktmatrix mit

$$\begin{bmatrix} 0 & -1\\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Wenn wir eine Figur gegen den Uhrzeigersinn um 180° drehen wollen, multiplizieren wir die Scheitelpunktmatrix mit

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0& -1 \end{bmatrix}$$

Wenn wir eine Figur gegen den Uhrzeigersinn um 270° oder im Uhrzeigersinn um 90° drehen wollen, multiplizieren wir die Scheitelpunktmatrix mit

$$\begin{bmatrix} 0& 1\\ -1& 0 \end{bmatrix}$$

Videolektion

Drehen Sie den Vektor A um 90° gegen den Uhrzeigersinn und zeichnen Sie beide Vektoren in die Koordinatenebene

$$\underset{A}{\rightarrow}=\begin{bmatrix} -1 & 2\\ -1 & 3 \end{bmatrix}$$