Viele Schüler stoßen in der High School auf die Geometriemauer und ihre mathematische Reise endet. Diese Mauer hindert sie oft daran, weiter an Mathematikkursen teilzunehmen und einen erfolgreichen Übergang zum College zu schaffen.
Es gibt eine Reihe von Gründen, warum diese Mauer so schwer zu überwinden ist. Zunächst einmal scheint es Belege dafür zu geben, dass Menschen von Natur aus dazu neigen, sich der Mathematik entweder auf arithmetische Weise oder auf visuelle und geometrische Weise zu nähern. Für die erste Gruppe ist die Fähigkeit, räumlich zu denken, nicht so einfach wie für die anderen. Als Lehrer können wir die natürlichen Fähigkeiten eines Menschen nicht kontrollieren. Manche Schüler lernen Fremdsprachen schneller als andere, manche sind von Natur aus besser koordiniert.
Die gute Nachricht für Pädagogen ist, dass diese Defizite nicht bedeuten, dass diese Fähigkeiten nicht entwickelt und gelernt werden können. Bei vielen Schülern ist ihr mangelndes Geometrieverständnis zum Teil darauf zurückzuführen, dass sie keine Gelegenheit hatten, Erfahrungen mit räumlichen Lehrplänen zu machen.
In vielen Lehrbüchern und in den Lehrplänen vieler Bezirke liegt der Schwerpunkt auf Rechnen, Arithmetik und algebraischem Denken. Geometrie (zusammen mit Daten und Statistik) wird oft in den letzten Kapiteln des Buches und in den letzten Wochen des Jahres nach den staatlichen Prüfungen untergebracht. Da wir Pädagogen unter Zeitdruck stehen und Konzepte wiederholen und wiederholen müssen, die nicht vollständig verstanden wurden, kommen wir oft nicht zu diesen Kapiteln. So kommen die Schüler mit den folgenden Fähigkeiten in die High School Geometrie: “Ich kenne die Namen der Formen und musste die Flächenformeln auswendig lernen, aber ich erinnere mich nicht mehr an sie.”
Es stellt sich heraus, dass die bahnbrechende Arbeit zum geometrischen Denken von einem niederländischen Ehepaar, den van Hieles, geleistet wurde. Sie machten zwei wichtige Entdeckungen darüber, wie wir Geometrie lernen. Erstens gibt es fünf aufeinander aufbauende Stufen des geometrischen Denkens. (Zweitens, und das ist die wirklich gute Nachricht, ist der Übergang von einer Stufe zur nächsthöheren nicht so sehr eine Frage der kognitiven Entwicklung, die vom Alter abhängt, sondern hängt vielmehr davon ab, dass man sich diesen geometrischen Erfahrungen aussetzt.
Hier sind die fünf Stufen des Erwerbs geometrischen Denkens. Schüler, die sich auf einer Stufe befinden, können nicht einfach zu einer anderen übergehen, sondern müssen sich nacheinander durch die Stufen bewegen. (Die van Hiele’s haben ihre fünf Stufen mit 0-4 nummeriert, während amerikanische Forscher sie als 1-5 neu klassifiziert haben, um eine Stufe Null zu ermöglichen, auf der ein Kind kein geometrisches Wissen hat)
1. Visualisierung – Kinder können Formen anhand ihres Aussehens und nicht anhand ihrer Eigenschaften identifizieren. Schüler auf dieser Stufe können ein Quadrat nicht als eine Art Rechteck erkennen und sehen es auch nicht als Quadrat, wenn es leicht gedreht ist.
2. Analyse – Auf dieser Stufe beginnen die Schüler, Eigenschaften mit ihren Formen zu assoziieren. Der Schüler, dem es schwerfiel, ein gedrehtes Quadrat zu identifizieren, wird nun erkennen, dass es vier kongruente Seiten und vier rechte Winkel hat und daher ein Quadrat ist. In ähnlicher Weise würde ein Schüler der Stufe 1 Schwierigkeiten haben, ein Dreieck zu erkennen, bei dem die Spitze nach unten und die Basis nach oben zeigt, während ein Schüler der Stufe 2 erkennt, dass es sich aufgrund der drei Seiten um ein Dreieck handelt.
3. Abstraktion – Jetzt können die Schüler anfangen, über die Eigenschaften nachzudenken und sie auf Argumente anzuwenden, die induktives Denken erfordern. Der Schüler, der sieht, dass vier verschiedene Dreiecke alle eine Innenwinkelsumme von 180° haben, würde dieses Muster benutzen, um zu folgern, dass alle Dreiecke die gleiche Innenwinkelsumme haben müssen.
4. Deduktion – Auf dieser Stufe benutzen die Schüler deduktive Logik, um ihre Vermutungen aus der vorherigen Stufe zu beweisen.
5. Rigorosität – Diese Stufe geht über die vorherige hinaus, um Beweise durch Negation und nicht-euklidische Geometrie zu erforschen.
Wie Sie sehen, arbeiten die meisten Schüler in der Grundschule auf Stufe eins; sie erkennen Formen. Allerdings tun sie dies nicht immer mit Geläufigkeit und Genauigkeit. Ich habe einmal einigen Schülern der 4. und 5. Klasse ein Quadrat gezeigt und sie gebeten, die Form zu benennen. Sie hatten kein Problem damit, mir zu sagen, dass es ein Quadrat ist. Als ich es jedoch so drehte, dass es wie eine Baseball-Raute aussah, sagten etwa neun von zehn, dass es jetzt eine Raute sei. Der Rest versicherte mir, dass es ein Rhombus sei. Nur einer von über 100 Schülern konnte mir richtig sagen, dass es immer noch ein Quadrat war, und ich es nur gedreht hatte.
Im Gegensatz dazu wird Algebra in der High School auf den Stufen vier und fünf unterrichtet. Da die Schüler diese Stufen nacheinander durchlaufen müssen, ist es so, als ob wir sie bitten würden, eine Leiter hinaufzusteigen, die nur die ersten und die letzten beiden Sprossen enthält, mit einer großen Lücke in der Mitte.
Dies veranschaulicht die Schwierigkeiten, mit denen wir im Geometrieunterricht konfrontiert sind. Die Identifizierung eines Quadrats gehört in den meisten Bundesstaaten zu den Kindergartenstandards. Dennoch wusste nur 1 % der von mir befragten Schüler fünf Jahre später, was ein Quadrat ist. Das liegt offensichtlich daran, dass ihre Texte oder Lehrer, wenn sie Quadrate zeigten, in der Regel eine Grundlinie parallel zum unteren Rand der Seite hatten. Die Schüler hatten sich nicht mit den Eigenschaften der Quadrate befasst.
Als ich jedoch Achtklässlern dieselbe Aufgabe stellte, waren fast alle in der Lage, die Form als Quadrat zu erkennen, selbst wenn sie gedreht wurde. Das zeigt uns, dass sie dieses Wissen nicht durch unseren Kindergartenunterricht erworben haben, sondern durch Erfahrungen, die sie in späteren Klassenstufen gemacht haben.
Auch das ist eine gute Nachricht, denn sie zeigt uns, dass wir dieses Wachstum beschleunigen können, indem wir den Schülern diese entscheidenden Erfahrungen in der Geometrie bieten. Da die meisten Lehrbücher diese Möglichkeiten jedoch nicht bieten, liegt es an uns, diese Lektionen zu entwickeln. Glücklicherweise gibt es sie bereits. In einem zukünftigen Blog werde ich Beispiele für Zwischenaktivitäten vorstellen, die den Schülern helfen, die Lücken in ihrer geometrischen Leiter zu schließen.