Wenn ein Unternehmen Waren oder Dienstleistungen herstellt, fallen Kosten an, die mit der Produktion dieser Waren und Dienstleistungen verbunden sind. Einige dieser Kosten sind variabel und ändern sich mit den Produktionsveränderungen. Posten wie Rohstoffe, Arbeit und die Kosten für Versorgungsleistungen variieren mit der Produktion und werden als variable Kosten bezeichnet. Andere Kosten, wie z. B. Leasingraten und Versicherungszahlungen, sind fix. Wenn sich die Produktion ändert, ändern sich diese Fixkosten nicht.
Die Gesamtkosten sind die Summe der variablen und fixen Kosten,
Gesamtkosten = Variable Kosten + Fixkosten
Ein einfaches Modell für die Gesamtkosten ist ein lineares Modell. In einem linearen Modell entspricht der Term, der die Variable enthält, den variablen Kosten und der konstante Term den fixen Kosten,
wobei Q Einheiten produziert werden. Die Konstante a entspricht den Kosten pro Einheit und b den Fixkosten.
Ein anderes Kostenmodell ist ein quadratisches Modell.
In diesem Modell modellieren die Terme mit den Variablen die variablen Kosten und die Konstante c die Fixkosten.
Unternehmen versuchen oft, durch Senkung ihrer Kosten erfolgreich zu sein. Dies bedeutet jedoch nicht, dass die Gesamtkostenfunktion gesenkt wird. Die niedrigsten Gesamtkosten würden entstehen, wenn überhaupt keine Einheiten produziert würden. Im Allgemeinen versuchen Unternehmen, ihre Durchschnittskosten zu senken.
Mit anderen Worten, die Durchschnittskosten für die Produktion von Q Einheiten sind die Gesamtkosten für die Produktion von Q Einheiten geteilt durch die Anzahl der produzierten Einheiten Q.
Lassen Sie uns ein kurzes Beispiel betrachten. Angenommen, ein Unternehmen stellt ein einziges Produkt her, einen Solartoaster. Die Herstellung eines jeden Solartoasters kostet das Unternehmen 20 $, und das Unternehmen hat 5050 $ an täglichen Fixkosten. Wenn das Unternehmen jeden Tag Q Solartoaster herstellt, können wir die täglichen Gesamtkosten wie folgt berechnen:
TC (Q) = 20Q + 5050 Dollar
Man beachte, dass diese Funktion auf Tagesbasis definiert wurde, da die Fixkosten auf Tagesbasis angegeben sind. Wir könnten auch die jährlichen Gesamtkosten definieren, indem wir die variable Beschreibung und die Fixkosten entsprechend ändern. Solange die Kosten pro Einheit auf Jahresbasis konstant sind, ist dies auch sinnvoll.
Wenn wir die täglichen Gesamtkosten für die Herstellung von 100 Toastern pro Tag wissen wollen, würden wir berechnen
TC (100) = 20(100) + 5050 = 7050 Dollar
Die durchschnittlichen täglichen Kosten für die Herstellung von 100 Toastern pro Tag sind
Das sagt uns, dass jeder Solar-Toaster 70,50 Dollar kostet, obwohl die Material- und Arbeitskosten nur 20 Dollar pro Toaster betragen. Das liegt daran, dass die Durchschnittskosten die hohen täglichen Fixkosten berücksichtigen. Die durchschnittlichen Kosten für die Herstellung von 200 Toastern betragen jedoch
Auch wenn die täglichen Gesamtkosten für die Herstellung von Toastern höher sind, wenn jeden Tag 200 Toaster hergestellt werden, sind die durchschnittlichen Kosten niedriger.
Wir können die Durchschnittskostenfunktion
verwenden, um die Durchschnittskosten auf jedem Produktionsniveau zu ermitteln.
Diese Funktion wird verwendet, um die Rate zu bestimmen, mit der sich die Durchschnittskostenfunktion ändert.
Beispiel 5. Ermitteln Sie die Durchschnittskostenfunktion
Die Kosten für Güter und Dienstleistungen bei Verizon sind durch die Funktion
TC(Q) = 490,268Q + 2367,072 Millionen Dollar
gegeben, wobei Q die Anzahl der Privat- und Mobilfunkteilnehmer in Millionen ist.
a. Finden Sie die durchschnittliche Kostenfunktion TC(Q).
Lösung. Die Durchschnittskostenfunktion wird gebildet, indem die Kosten durch die Menge geteilt werden. Im Zusammenhang mit dieser Anwendung lautet die Durchschnittskostenfunktion
Setzen Sie den Ausdruck für die Kosten in den Zähler, um
b. Finde und interpretiere TC(50).
Lösung. Der Funktionswert ergibt sich durch Einsetzen von Q = 50 in die Durchschnittskostenfunktion
Der Zähler der Durchschnittskostenfunktion hat die Einheit von Millionen von Dollar und der Nenner die Einheit von Millionen von Abonnenten. Die Division der Einheiten ergibt
So TC(50) ≈ 537,61 bedeutet, dass, wenn Verizon 50 Millionen Abonnenten hat, die durchschnittlichen Kosten pro Abonnent 537,61 Dollar pro Abonnent betragen.
c. Finden Sie die Ableitung der Durchschnittskostenfunktion TC'(Q).
Lösung. Wir können die Quotientenregel für Ableitungen anwenden mit
u = 490.268Q + 2367.072 und v = Q. Die Ableitungen des Zählers und des Nenners sind
Mit Hilfe der Quotientenregel erhalten wir die Ableitung
d. Ermitteln und interpretieren Sie die durchschnittlichen Grenzkosten TC ′(50).
Dieser Satz gibt an, wie schnell sich die durchschnittlichen Kosten ändern, wenn die Zahl der Abonnenten steigt. Die Einheiten dieser Rate sind
Der Wert TC ′(50) ≈ -0,95 besagt, dass bei einer Teilnehmerzahl von 50 Millionen die durchschnittlichen Kosten pro Teilnehmer um 0,95 Dollar für jede 1 Million zusätzlicher Teilnehmer sinken.