De nos jours, les scientifiques considèrent comme acquis que toute mesure est sujette à erreur, de sorte que les répétitions d’une expérience apparemment identique donnent des résultats différents. Dans le climat intellectuel de l’époque de Galilée, cependant, où les syllogismes logiques qui n’admettaient aucune zone grise entre le bien et le mal étaient les moyens acceptés de déduire des conclusions, ses procédures novatrices étaient loin d’être convaincantes. Pour juger son travail, il faut se rappeler que les conventions aujourd’hui acceptées pour rendre compte des résultats scientifiques ont été adoptées bien après l’époque de Galilée. Ainsi, si, comme on l’a dit, il a déclaré comme un fait que deux objets tombés de la tour penchée de Pise ont atteint le sol ensemble sans qu’il y ait une largeur de main entre eux, il ne faut pas en déduire qu’il a réalisé l’expérience lui-même ou que, s’il l’a fait, le résultat était aussi parfait. Une telle expérience avait effectivement été réalisée un peu plus tôt (1586) par le mathématicien flamand Simon Stevin, mais Galilée avait idéalisé le résultat. Une balle légère et une balle lourde n’atteignent pas le sol en même temps, et la différence entre elles n’est pas toujours la même, car il est impossible de reproduire l’idéal de les laisser tomber exactement au même instant. Néanmoins, Galilée était convaincu qu’il était plus proche de la vérité de dire qu’elles tombaient ensemble que de dire qu’il y avait une différence significative entre leurs vitesses. Cette idéalisation d’expériences imparfaites reste un processus scientifique essentiel, bien que de nos jours, il soit considéré comme approprié de présenter (ou au moins d’avoir à disposition pour examen) les observations primaires, afin que d’autres puissent juger indépendamment s’ils sont prêts à accepter la conclusion de l’auteur quant à ce qui aurait été observé dans une expérience idéalement menée.

Les principes peuvent être illustrés en répétant, avec l’avantage des instruments modernes, une expérience telle que Galilée lui-même a effectuée – à savoir, celle de mesurer le temps pris par une balle pour rouler sur différentes distances le long d’un canal légèrement incliné. Le récit suivant est celui d’une expérience réelle destinée à montrer, dans un exemple très simple, comment se déroule le processus d’idéalisation, et comment les conclusions préliminaires peuvent ensuite être soumises à un test plus approfondi.

Des lignes également espacées de 6 cm (2,4 pouces) ont été tracées sur un canal en laiton, et la boule a été maintenue au repos à côté de la ligne la plus haute au moyen d’une carte. Un chronomètre électronique était déclenché au moment où la carte était retirée, et le chronomètre était arrêté lorsque la balle passait sur l’une des autres lignes. Sept répétitions de chaque chronométrage ont montré que les mesures s’étalaient généralement sur une plage de 1/20 de seconde, vraisemblablement en raison des limites humaines. Dans un tel cas, où une mesure est sujette à une erreur aléatoire, la moyenne de nombreuses répétitions donne une meilleure estimation de ce que serait le résultat si la source d’erreur aléatoire était éliminée ; le facteur par lequel l’estimation est améliorée est approximativement la racine carrée du nombre de mesures. En outre, la théorie des erreurs attribuable au mathématicien allemand Carl Friedrich Gauss permet d’effectuer une estimation quantitative de la fiabilité du résultat, exprimée dans le tableau par le symbole conventionnel ±. Cela ne signifie pas que le premier résultat de la colonne 2 est garanti compris entre 0,671 et 0,685 mais que, si cette détermination de la moyenne de sept mesures devait être répétée de nombreuses fois, environ deux tiers des déterminations se situeraient à l’intérieur de ces limites.

La représentation des mesures par un graphique, comme dans la figure 1, n’était pas à la disposition de Galilée mais a été développée peu après son époque comme conséquence des travaux du mathématicien-philosophe français René Descartes. Les points semblent être proches d’une parabole, et la courbe qui est tracée est définie par l’équation x = 12t2. L’ajustement n’est pas tout à fait parfait, et il vaut la peine d’essayer de trouver une meilleure formule. Puisque les opérations de démarrage du chronomètre lorsque la carte est retirée pour permettre à la balle de rouler et d’arrêt lorsque la balle passe une marque sont différentes, il est possible qu’en plus des erreurs de chronométrage aléatoires, une erreur systématique apparaisse dans chaque valeur mesurée de t ; c’est-à-dire que chaque mesure t doit peut-être être interprétée comme t + t0, où t0 est une erreur de chronométrage constante encore inconnue. Si tel est le cas, on peut chercher à savoir si les temps mesurés sont liés à la distance non pas par x = at2, où a est une constante, mais par x = a(t + t0)2. Cela peut également être testé graphiquement en réécrivant d’abord l’équation sous la forme racine carrée de√x = racine carrée de√a(t + t0), ce qui signifie que lorsque les valeurs de la racine carrée de√x sont tracées en fonction des valeurs mesurées de t, elles doivent se trouver sur une ligne droite. La figure 2 vérifie cette prédiction d’assez près ; la ligne ne passe pas par l’origine mais coupe l’axe horizontal à -0,09 seconde. On en déduit que t0 = 0,09 seconde et que (t + 0,09)x devrait être le même pour toutes les paires de mesures données dans le tableau d’accompagnement . La troisième colonne montre que c’est certainement le cas. En effet, la constance est meilleure que ce à quoi on aurait pu s’attendre compte tenu des erreurs estimées. Ceci doit être considéré comme un accident statistique ; il n’implique pas une plus grande assurance dans l’exactitude de la formule que si les chiffres de la dernière colonne avaient été compris, comme ils auraient très bien pu l’être, entre 0,311 et 0,315. On serait surpris si une répétition de toute l’expérience donnait à nouveau un résultat aussi presque constant.

Une conclusion possible, alors, est que pour une raison quelconque – probablement un biais d’observation – les temps mesurés sous-estiment de 0,09 seconde le temps réel t qu’il faut à une balle, partant du repos, pour parcourir une distance x. Si c’est le cas, dans des conditions idéales, x serait strictement proportionnel à t2. D’autres expériences, dans lesquelles le canal est placé à des pentes différentes mais toujours douces, suggèrent que la règle générale prend la forme x = at2, avec a proportionnel à la pente. Cette idéalisation provisoire des mesures expérimentales devra peut-être être modifiée, voire abandonnée, à la lumière d’autres expériences. Cependant, maintenant qu’elle a été exprimée sous forme mathématique, elle peut être analysée mathématiquement pour révéler les conséquences qu’elle implique. En outre, cela suggérera des moyens de la tester de manière plus approfondie.

À partir d’un graphique tel que la figure 1, qui montre comment x dépend de t, on peut déduire la vitesse instantanée de la balle à chaque instant. Il s’agit de la pente de la tangente tracée à la courbe à la valeur choisie de t ; à t = 0,6 seconde, par exemple, la tangente telle que tracée décrit comment x serait lié à t pour une balle se déplaçant à une vitesse constante d’environ 14 cm par seconde. La pente plus faible avant cet instant et la pente plus élevée après indiquent que la balle accélère de façon constante. On pourrait tracer des tangentes à différentes valeurs de t et arriver à la conclusion que la vitesse instantanée est à peu près proportionnelle au temps qui s’est écoulé depuis que la balle a commencé à rouler. Cette procédure, avec ses inévitables imprécisions, est rendue inutile par l’application du calcul élémentaire à la formule supposée. La vitesse instantanée v est la dérivée de x par rapport à t ; si

L’implication que la vitesse est strictement proportionnelle au temps écoulé est qu’un graphique de v en fonction de t serait une ligne droite passant par l’origine. Sur n’importe quel graphique de ces quantités, qu’il soit droit ou non, la pente de la tangente en un point quelconque montre comment la vitesse évolue avec le temps à cet instant ; c’est l’accélération instantanée f. Pour un graphique en ligne droite de v en fonction de t, la pente et donc l’accélération sont les mêmes à tout moment. Exprimé mathématiquement, f = dv/dt = d2x/dt2 ; dans le cas présent, f prend la valeur constante 2a.

La conclusion préliminaire, donc, est qu’une balle qui roule sur une pente droite subit une accélération constante et que la magnitude de l’accélération est proportionnelle à la pente. Il est maintenant possible de tester la validité de cette conclusion en trouvant ce qu’elle prédit pour une disposition expérimentale différente. Si possible, on met en place une expérience qui permet des mesures plus précises que celles qui ont conduit à la déduction préliminaire. Un tel test est fourni par une balle roulant dans un canal incurvé de sorte que son centre trace un arc de cercle de rayon r, comme dans la figure 3. Si l’arc est peu profond, la pente à une distance x de son point le plus bas est très proche de x/r, de sorte que l’accélération de la balle vers le point le plus bas est proportionnelle à x/r. En introduisant c pour représenter la constante de proportionnalité, cela s’écrit comme une équation différentielle

On affirme ici que, sur un graphique montrant comment x varie avec t, la courbure d2x/dt2 est proportionnelle à x et a le signe opposé, comme l’illustre la figure 4. Lorsque le graphique traverse l’axe, x et donc la courbure sont nuls, et la ligne est localement droite. Ce graphique représente les oscillations de la boule entre les extrêmes de ±A après qu’elle ait été libérée de x = A à t = 0. La solution de l’équation différentielle dont le diagramme est la représentation graphique est

où ω, appelée fréquence angulaire, s’écrit pour Racine carrée de√(c/r). La boule met du temps T = 2π/ω = 2πracine carrée de√(r/c) pour revenir à sa position initiale de repos, après quoi l’oscillation est répétée indéfiniment ou jusqu’à ce que la friction amène la boule au repos.

Selon cette analyse, la période, T, est indépendante de l’amplitude de l’oscillation, et cette prédiction plutôt inattendue peut être rigoureusement testée. Au lieu de laisser la balle rouler sur un canal courbe, on réalise plus facilement et plus exactement la même trajectoire en en faisant le mobile d’un pendule simple. Pour vérifier que la période est indépendante de l’amplitude, on peut rendre deux pendules aussi identiques que possible, de sorte qu’ils restent en phase lorsqu’ils se balancent avec la même amplitude. On les fait ensuite osciller avec des amplitudes différentes. Il faut être très prudent pour détecter toute différence de période, sauf si l’une des amplitudes est grande, auquel cas la période est légèrement plus longue. Une observation qui correspond presque à la prédiction, mais pas tout à fait, ne montre pas nécessairement que la supposition initiale est erronée. Dans ce cas, l’équation différentielle qui prédisait la constance exacte de la période était elle-même une approximation. Lorsqu’elle est reformulée avec la véritable expression de la pente remplaçant x/r, la solution (qui implique des mathématiques assez lourdes) montre une variation de la période avec l’amplitude qui a été rigoureusement vérifiée. Loin d’être discréditée, l’hypothèse provisoire est apparue avec un soutien renforcé.

La loi de l’accélération de Galilée, base physique de l’expression 2πRacine carrée de√(r/c) pour la période, est encore renforcée par la constatation que T varie directement comme la racine carrée de r – c’est-à-dire , la longueur du pendule.

En outre, de telles mesures permettent de déterminer la valeur de la constante c avec un haut degré de précision, et on constate qu’elle coïncide avec l’accélération g d’un corps en chute libre. En fait, la formule de la période des petites oscillations d’un pendule simple de longueur r, T = 2πracine carrée de√(r/g), est au cœur de certaines des méthodes les plus précises pour mesurer g. Cela ne serait pas arrivé si la communauté scientifique n’avait pas accepté la description du comportement idéal de Galilée et ne s’attendait pas à être ébranlée dans sa croyance par de petites déviations, tant qu’elles pouvaient être comprises comme reflétant des écarts aléatoires inévitables entre l’idéal et sa réalisation expérimentale. Le développement de la mécanique quantique dans le premier quart du 20e siècle a été stimulé par l’acceptation à contrecœur que cette description échouait systématiquement lorsqu’elle était appliquée à des objets de taille atomique. Dans ce cas, il ne s’agissait pas, comme pour les variations de période, de traduire plus précisément les idées physiques en mathématiques ; toute la base physique devait être radicalement révisée. Pourtant, les idées antérieures n’ont pas été rejetées – elles s’étaient avérées efficaces dans bien trop d’applications pour être abandonnées. Ce qui a émergé, c’est une compréhension plus claire des circonstances dans lesquelles leur validité absolue pouvait être assumée en toute sécurité.