Qu’est-ce que les mathématiques pures ? Que font les mathématiciens purs ? Pourquoi les mathématiques pures sont-elles importantes ?

Ce sont des questions auxquelles je suis souvent confronté lorsque les gens découvrent que je fais des mathématiques pures.

J’arrive toujours à fournir une réponse mais elle ne semble jamais pleinement satisfaire.

Je vais donc tenter de donner une réponse plus formulée et plus mature à ces trois questions. Je m’excuse d’avance pour les simplifications excessives que j’ai dû faire pour être concis.

En gros, il y a deux types de mathématiques différents (et j’entends déjà des protestations) – les mathématiques pures et les mathématiques appliquées. Des philosophes comme Bertrand Russell ont tenté de donner des définitions rigoureuses de cette classification.

Je capture la distinction dans la déclaration suivante, quelque peu cryptique : les mathématiciens purs prouvent des théorèmes et les mathématiciens appliqués construisent des théories.

Ce que cela signifie, c’est que le paradigme dans lequel les mathématiques sont faites par les deux groupes de personnes sont différents.

Les mathématiciens purs sont souvent animés par des problèmes abstraits. Pour rendre l’abstrait concret, voici quelques exemples : “existe-t-il une infinité de nombres premiers jumeaux” ou “toute affirmation mathématique vraie a-t-elle une preuve ?”.

Pour être plus précis, les mathématiques construites à partir d’axiomes, et la nature de la vérité mathématique est régie par la logique des prédicats.

Un théorème mathématique est un énoncé vrai qui est accompagné d’une preuve qui illustre sa vérité au-delà de tout doute par déduction en utilisant la logique.

Contrairement à une théorie empirique, il ne suffit pas de construire une explication qui peut changer en fonction des exceptions.

Quelque chose qu’un mathématicien soupçonne d’être vrai en raison de l’évidence, mais sans preuve, est simplement une conjecture.

Appliquée

Les mathématiciens appliqués sont généralement motivés par des problèmes provenant du monde physique. Ils utilisent les mathématiques pour modéliser et résoudre ces problèmes.

Ces modèles sont en réalité des théories et, comme pour toute science, ils sont sujets à la testifiabilité et à la falsifiabilité. Au fur et à mesure que la quantité d’informations concernant le problème augmente, ces modèles vont éventuellement changer.

Pure et appliquée ne sont pas nécessairement mutuellement exclusives. Il y a beaucoup de grands mathématiciens qui foulent les deux terrains.

Pure

Il y a beaucoup de problèmes poursuivis par les mathématiciens purs qui ont leurs racines dans des problèmes physiques concrets – en particulier ceux qui découlent de la relativité ou de la mécanique quantique.

Typiquement, dans une compréhension plus profonde de tels phénomènes, diverses “technicités” apparaissent (croyez-moi quand je vous dis que ces technicités sont très difficiles à expliquer). Celles-ci deviennent abstraites dans des déclarations purement mathématiques que les mathématiciens purs peuvent attaquer.

La résolution de ces problèmes mathématiques peut alors avoir des applications importantes.

Ok ordinateur

Donnons un exemple concret de la façon dont la pensée abstraite a conduit au développement d’un dispositif qui sous-tend les fonctions de la société moderne : l’ordinateur.

Les premiers ordinateurs étaient à programme fixe – c’est-à-dire qu’ils étaient construits spécialement pour effectuer une seule tâche. Changer le programme était une affaire très coûteuse et fastidieuse.

Les vestiges modernes d’un tel dinosaure seraient une calculatrice de poche, qui est construite pour n’effectuer que de l’arithmétique de base. En revanche, un ordinateur moderne permet de charger un programme de calculatrice, ou de traitement de texte, et il n’est pas nécessaire de changer de machine pour le faire.

Ce changement de paradigme s’est produit au milieu des années 1940 et est appelé le programme stocké ou l’architecture de von Neumann.

L’histoire largement accessible, mais moins connue, est que ce concept a ses racines dans l’investigation d’un problème mathématique abstrait appelé Entscheidungsproblem (problème de décision).

Le Entscheidungsproblem a été formulé en en 1928 par le célèbre mathématicien David Hilbert.

Il se traduit approximativement par : “existe-t-il une procédure permettant de décider de la vérité ou de la fausseté d’un énoncé mathématique en un nombre fini d’étapes ?”.

Cette question a reçu une réponse négative d’Alonzo Church et d’Alan Turing, indépendamment, en 1936 et 1937. Dans son article, Turing formule une machine abstraite, que nous appelons aujourd’hui la machine de Turing.

La machine possède une bande infiniment longue (mémoire), une tête qui peut se déplacer d’un pas à la fois, lire et écrire sur la bande, une table d’instructions finie qui donne des instructions à la tête, et un ensemble fini d’états (comme “accepter”, ou “refuser”). On initie la machine avec une entrée sur la bande.

Une telle machine ne peut pas exister en dehors du domaine des mathématiques puisqu’elle a une bande infiniment longue.

Mais c’est l’outil utilisé pour définir la notion de calculabilité. C’est-à-dire qu’on dit qu’un problème est calculable si on peut le coder à l’aide d’une machine de Turing.

On peut alors voir les parallèles d’une machine de Turing avec une machine à programme fixe.

Maintenant, supposons qu’il existe une machine de Turing U qui peut prendre la table d’instructions et les états d’une machine de Turing arbitraire T (codée de manière appropriée), et sur la même bande, entrer I dans T, et exécuter la machine de Turing T sur l’entrée I.

Une telle machine est appelée une machine de Turing universelle.

Dans son article de 1937, Turing prouve un important théorème d’existence : il existe une machine de Turing universelle. C’est désormais le parallèle du concept de magasin-programme, base de l’ordinateur programmable moderne.

Il est remarquable qu’un problème abstrait concernant les fondements des mathématiques ait posé les bases de l’avènement de l’ordinateur moderne.

C’est peut-être une caractéristique des mathématiques pures que le mathématicien n’est pas contraint par les limitations du monde physique et peut faire appel à l’imagination pour créer et construire des objets abstraits.

Cela ne veut pas dire que le mathématicien pur ne formalise pas des concepts physiques comme l’énergie, l’entropie etcetera, pour faire des mathématiques abstraites.

En tout cas, cet exemple devrait illustrer que la poursuite de problèmes purement mathématiques est une cause valable qui peut être d’une valeur énorme pour la société.