Les mathématiciens soupçonnent depuis des années que dans des circonstances spécifiques, les équations d’Euler échouent. Mais ils ont été incapables d’identifier un scénario exact dans lequel cette défaillance se produit. Jusqu’à présent.

Les équations sont une description mathématique idéalisée du mouvement des fluides. Dans les limites de certaines hypothèses, elles modélisent la façon dont les ondulations se propagent sur un étang ou comment la mélasse suinte d’un bocal. Elles devraient être capables de décrire le mouvement de n’importe quel fluide dans n’importe quelles circonstances – et pendant plus de deux siècles, elles l’ont fait.

Mais une nouvelle preuve constate que dans certaines conditions, les équations échouent.

“Il y a un an et demi, j’aurais dit que c’était quelque chose que je ne verrais peut-être pas de mon vivant”, a déclaré Tarek Elgindi, un mathématicien de l’Université de Californie à San Diego et auteur du nouveau travail.

Elgindi a prouvé l’existence de la faille dans les équations d’Euler dans deux articles mis en ligne cette année – un en avril, qu’il a écrit seul, et un en octobre, qu’il a écrit avec Tej-eddine Ghoul et Nader Masmoudi. Ensemble, les articles ont bouleversé des siècles d’hypothèses sur ces célèbres équations fluides.

“Je pense que c’est une grande, merveilleuse réussite”, a déclaré Peter Constantin, un mathématicien de l’Université de Princeton.

Le travail d’Elgindi ne sonne pas le glas des équations d’Euler. Il prouve plutôt que dans un ensemble très particulier de circonstances, les équations surchauffent, pour ainsi dire, et commencent à produire des absurdités. Dans des conditions plus réalistes, les équations sont encore, pour l’instant, invulnérables.

Mais l’exception trouvée par Elgindi est surprenante pour les mathématiciens, car elle se produit dans des conditions où ils pensaient auparavant que les équations fonctionnaient toujours.

“En général, je pense que les gens sont assez surpris par l’exemple de Tarek”, a déclaré Vlad Vicol, un mathématicien de l’Université de New York.

L’explosion d’Euler

Leonhard Euler a découvert les équations fluides qui portent maintenant son nom en 1757. Elles décrivent l’évolution d’un fluide au cours du temps, tout comme les équations de Newton décrivent le mouvement d’une boule de billard sur une table.

Plus exactement, les équations spécifient le mouvement instantané de particules infiniment petites dans un fluide. Cette description comprend la vitesse d’une particule (à quelle vitesse elle se déplace et dans quelle direction) et la quantité connexe connue sous le nom de vorticité (à quelle vitesse elle tourne, comme une toupie, et dans quelle direction).

Collectivement, ces informations forment un “champ de vitesse”, qui est un instantané du mouvement d’un fluide à un moment donné dans le temps. Les équations d’Euler partent d’un champ de vitesse initial et prédisent comment il va changer à chaque instant dans le futur.

Les équations d’Euler ne sont pas une description littérale d’un fluide du monde réel. Elles incluent plusieurs hypothèses non-physiques. Par exemple, les équations ne fonctionnent que si les courants internes d’un fluide ne génèrent pas de friction lorsqu’ils se déplacent les uns devant les autres. Elles supposent également que les fluides sont “incompressibles”, ce qui signifie que selon les règles des équations d’Euler, vous ne pouvez pas comprimer un fluide dans un espace plus petit que celui qu’il occupe déjà.

“Nous pouvons considérer le modèle comme un certain monde idéalisé et les équations comme les règles de mouvement dans ce monde”, a écrit Vladimir Sverak de l’Université du Minnesota dans un courriel.

Ces réserves contre nature ont conduit le mathématicien et physicien John von Neumann à plaisanter en disant que les équations modélisent “l’eau sèche”. Pour modéliser le mouvement d’un fluide plus réaliste avec une friction interne (ou viscosité), les chercheurs utilisent plutôt les équations de Navier-Stokes.

“Les équations d’Euler sont très idéalisées. Les vrais fluides ont de la friction”, a déclaré Constantin.

Mais les équations d’Euler occupent toujours une place vénérable dans la science. Les chercheurs aimeraient savoir si les équations fonctionnent sans équivoque dans ce monde sans friction, incompressible et idéalisé – c’est-à-dire si elles peuvent décrire tous les états futurs de chaque champ de vitesse initiale possible. Ou, pour le dire autrement : Y a-t-il des mouvements de fluides que ces équations prétendument universelles ne peuvent pas modéliser ?

“La question fondamentale est : les équations peuvent-elles toujours faire leur travail ?” a déclaré Sverak.

En théorie, une fois que vous avez branché des valeurs pour l’état actuel d’un fluide, les équations produiront des valeurs exactes pour un état futur. Ensuite, vous pouvez rebrancher ces nouvelles valeurs dans les équations et étendre votre prévision. Typiquement, le processus fonctionne, apparemment aussi loin dans le futur que vous voulez bien regarder.

Mais il est également possible que dans de très rares circonstances, les équations tombent en panne. Elles pourraient être chugging le long, produisant des sorties qui fonctionnent comme des entrées futures, quand les choses commencent à aller mal et les équations produisent finalement une valeur qu’ils ne peuvent pas continuer à calculer avec. Dans ces situations, les mathématiciens disent que les équations “explosent”.

Si les équations d’Euler devaient exploser, ce serait parce qu’elles amplifient la vélocité ou la vorticité d’un point d’une manière très peu naturelle. L’amplification serait si extrême qu’en un temps fini, la vitesse ou la vorticité d’un point deviendrait infinie. Et une fois que les équations ont produit une valeur infinie, elles s’effondrent et sont incapables de décrire tout autre état futur. En effet, on ne peut généralement pas calculer avec des valeurs infinies, pas plus qu’on ne peut diviser par zéro. (Les valeurs dépasseraient la vitesse de la lumière en cours de route, mais dans ce monde idéalisé, c’est OK.)

Ces valeurs infinies fatales sont appelées “singularités”. Lorsque les mathématiciens demandent “Les équations d’Euler fonctionnent-elles toujours ?”, ils demandent en réalité : “Existe-t-il des scénarios dans lesquels les équations d’Euler produisent des singularités ?”

De nombreux mathématiciens pensent que la réponse est oui, mais ils n’ont jamais été capables de trouver un scénario spécifique dans lequel les équations explosent réellement.

“Vous avez l’impression qu’Euler essaie d’éviter . Jusqu’à présent, il a réussi à le faire”, a déclaré Constantin.

Le nouveau travail ne montre pas que les équations produisent des singularités dans les conditions exactes qui préoccupent le plus les mathématiciens. Mais c’est le résultat le plus proche à ce jour de cet objectif. Pour l’atteindre, Elgindi a considéré un modèle simplifié de la façon dont les fluides se déplacent.

Réduire la complexité

Les mathématiciens ont de nombreuses façons différentes de réduire la complexité du mouvement des fluides qu’ils demandent aux équations d’Euler de modéliser. Beaucoup des résultats les plus intéressants, comme celui d’Elgindi, consistent à démontrer jusqu’à quel point on peut simplifier le comportement d’un fluide – c’est-à-dire jusqu’à quel point on peut simplifier les données que l’on introduit dans les équations – tout en réussissant à dire quelque chose de significatif sur les équations elles-mêmes.

Dans un vrai fluide tridimensionnel, comme l’eau d’un étang, toute particule a trois axes le long desquels elle peut se déplacer : l’axe x (gauche ou droite), l’axe y (haut ou bas) et l’axe z (arrière ou avant). C’est une grande liberté de mouvement. De plus, il n’y a pas nécessairement de relation forte entre le mouvement des particules dans les différentes parties du fluide.

“C’est trop à suivre”, a déclaré Elgindi.

Dans son nouveau travail, Elgindi simplifie le travail qu’il demande aux équations d’Euler de gérer. Il exige que le fluide présente une symétrie autour de l’axe z, ce que vous ne trouveriez généralement pas dans un fluide réel. Cette symétrie facilite le calcul du champ de vitesse, car vous savez que les points situés de part et d’autre de l’axe z sont des images miroir les uns des autres. Ainsi, si vous connaissez la vitesse ou la vorticité en un point, il vous suffit de retourner le signe des valeurs et vous connaîtrez les valeurs en un second point.

Il restreint également la gamme de mouvements disponibles pour les points du fluide. Les particules sont autorisées à se déplacer dans deux directions générales, soit le long de l’axe z, soit vers ou loin de l’axe z. Elles ne sont pas autorisées à tourner autour de l’axe z. Les mathématiciens disent qu’un tel fluide n’a “aucun tourbillon”.

“Cela réduit le problème fondamentalement à un problème bidimensionnel”, a déclaré Elgindi.

Enfin, Elgindi met certaines stipulations supplémentaires sur les données initiales qu’il alimente dans les équations d’Euler. Les données sont plus rugueuses, en un sens, que les valeurs qui décrivent les fluides du monde réel, et cela rend la formation de singularités plus probable.

Dans la vie réelle, si vous vous déplacez d’une très petite distance d’un point à un autre dans un fluide, la vitesse au second point est très similaire à la vitesse au premier. De même, les vorticités aux deux points devraient être très similaires. Les mathématiciens disent que les champs de vitesse ayant cette propriété sont ” lisses “, ce qui signifie que les valeurs varient de façon continue – sans à-coups – lorsque vous vous déplacez d’un point à l’autre. Il n’y a pas de changements rapides.

Ce n’est pas le cas dans les descriptions d’Elgindi d’un fluide.

“La vorticité dans les données de Tarek peut varier de façon plus spectaculaire”, a déclaré Vicol. “Des points proches ont des vorticités très différentes.”

Les simplifications d’Elgindi pourraient sembler s’éloigner trop du comportement réel des fluides pour être utiles. Mais elles sont beaucoup plus douces que de nombreux scénarios simplifiés dans lesquels les mathématiciens ont précédemment acquis des connaissances sur les équations d’Euler.

En fait, Elgindi a montré que dans ces conditions simplifiées – mais pas trop – les équations d’Euler commencent à produire des résultats très inattendus.

Game Over

Pour comprendre la découverte d’Elgindi, imaginez un réservoir d’eau. C’est légèrement trompeur, car les travaux d’Elgindi portent sur des fluides qui n’ont pas de limite, ce qui signifie qu’ils flottent comme une tache dans l’espace. Mais pour visualiser le scénario au cœur de ses travaux, il est utile de situer l’eau dans un réservoir. Les conjectures mathématiques les plus importantes – et les plus difficiles à prouver – impliquent des fluides sans frontières.

Puis, imaginez deux anneaux épais d’eau aux extrémités opposées du réservoir. Les anneaux forment comme des tourbillons ou des remous – des perturbations organisées dans le corps principal du fluide. C’est un type de phénomène qui se produit réellement dans la nature, et ils ressemblent aux anneaux que les fumeurs expérimentés peuvent produire.

Maintenant, imaginez les anneaux opposés se déplaçant l’un vers l’autre.

Alors qu’ils avancent, les équations d’Euler fonctionnent normalement en arrière-plan, calculant les champs de vitesse qui décrivent le fluide à chaque instant. Mais lorsque les anneaux se rapprochent les uns des autres, les équations commencent à rapporter des valeurs farfelues.

Elles montrent que les anneaux s’attirent mutuellement avec une intensité de plus en plus grande – et en particulier, elles montrent que les parties les plus internes des anneaux s’attirent et se tirent mutuellement avec une force encore plus grande que les parties les plus externes des anneaux. En conséquence, les anneaux s’allongent, s’étirent et ressemblent davantage à une paire d’entonnoirs. Comme leurs centres se rapprochent de plus en plus, leurs vitesses deviennent de plus en plus rapides. Puis ils s’écrasent.

Et si à ce moment précis vous regardez le champ de vitesse décrivant la collision, vous verrez quelque chose que personne n’a vu sous cet ensemble d’hypothèses dans l’histoire des équations d’Euler : une singularité. Elgindi a prouvé que les équations d’Euler calculent une vorticité infinie au point de collision. Game over.

“La forme classique des équations se décompose”, a déclaré Elgindi. “Après cela, vous ne savez pas ce qui se passe.”

Le résultat a quelques limites. A savoir, il est impossible d’extrapoler de sa preuve au comportement des équations d’Euler dans les conditions complètement “lisses”. C’est parce que les mathématiciens ont prouvé il y a des décennies que dans des conditions lisses, le scénario qu’Elgindi considère ne produit pas de singularité.

Mais à d’autres égards, son résultat change complètement la façon dont les mathématiciens regardent ces anciennes équations.

Avant les travaux d’Elgindi, les mathématiciens n’avaient jamais prouvé l’existence d’une situation, sans frontière, dans laquelle les équations d’Euler fonctionnaient pendant une courte période de temps (lorsque les anneaux se rapprochent les uns des autres) mais pas pour toujours. Dans tous les travaux précédents, les mathématiciens avaient trouvé que si les équations fonctionnaient tout court, elles fonctionnaient pour toujours.

“C’est un résultat assez remarquable parce qu’il prouve qu’il existe des singularités dans le cadre d’un scénario qui est ce que nous appelons “bien posé”. C’est logique, et néanmoins vous obtenez cette singularité en temps fini”, a déclaré Constantin.

De nombreuses générations de scientifiques ont cherché un point faible dans les équations d’Euler. Enfin – avec des réserves – un mathématicien en a trouvé un.