Lorsqu’une entreprise produit des biens ou des services, elle encourt des coûts associés à la production de ces biens et services. Certains de ces coûts sont variables et changent en fonction de l’évolution de la production. Des éléments comme les matières premières, la main-d’œuvre et le coût des services publics varient tous en fonction des changements de production et sont appelés coûts variables. D’autres coûts, tels que les loyers et les primes d’assurance, sont fixes. Lorsque la production change, ces coûts fixes ne varient pas.

Le coût total est la somme du coût variable et du coût fixe,

Coût total = coût variable + coût fixe

Un modèle simple pour le coût total est un modèle linéaire. Dans un modèle linéaire, le terme contenant la variable correspond au coût variable et le terme constant correspond au coût fixe.

où Q unités sont produites. La constante a correspond au coût unitaire et b aux coûts fixes.

Un autre modèle de coût est un modèle quadratique.

Dans ce modèle, les termes avec variables modélisent le coût variable et la constante c modélise le coût fixe.

Les entreprises cherchent souvent à réussir en diminuant leurs coûts. Cependant, cela ne signifie pas abaisser la fonction de coût total. Le coût total le plus bas serait obtenu en ne produisant aucune unité. En général, les entreprises cherchent à abaisser leur coût moyen.

En d’autres termes, le coût moyen de production de Q unités est le coût total de production de Q unités divisé par le nombre d’unités produites Q.

Regardons un exemple rapide. Supposons qu’une entreprise fabrique un seul produit appelé grille-pain solaire. Il coûte à l’entreprise 20 $ pour produire chaque grille-pain solaire et l’entreprise a 50 $ de coûts fixes quotidiens. Si l’entreprise produit Q grille-pain solaires chaque jour, nous pouvons écrire le coût total quotidien comme

TC (Q) = 20Q + 5050 dollars

Notez que cette fonction a été définie sur une base quotidienne, puisque le coût fixe est donné sur une base quotidienne. Nous pourrions également définir les coûts totaux annuels en modifiant la description variable et les coûts fixes de manière appropriée. Tant que le coût par unité est constant sur une base annuelle, cela est également raisonnable.

Si nous voulons connaître le coût quotidien total de la production de 100 grille-pain par jour, nous calculerions

TC (100) = 20(100) + 5050 = 7050 dollars

Le coût quotidien moyen de la production de 100 grille-pain par jour est

Cela nous indique que chaque grille-pain solaire coûte 70,50 $ même si le coût des matériaux et de la main-d’œuvre n’est que de 20 $ par grille-pain. Cela s’explique par le fait que le coût moyen prend en compte le coût fixe journalier élevé. Cependant, le coût moyen pour produire 200 grille-pain est

Même si le coût quotidien total pour produire des grille-pain est plus élevé lorsque 200 grille-pain sont fabriqués chaque jour, le coût moyen est plus faible.

Nous pouvons utiliser la fonction de coût moyen

pour trouver le coût moyen à n’importe quel niveau de production.

Cette fonction est utilisée pour déterminer le taux auquel la fonction de coût moyen change.

Exemple 5. Trouvez la fonction de coût moyen

Le coût des biens et services chez Verizon est donné par la fonction

TC(Q) = 490,268Q + 2367,072 millions de dollars

où Q est le nombre d’abonnés résidentiels et sans fil en millions.

a. Trouvez la fonction de coût moyen TC(Q) .

Solution. La fonction de coût moyen est formée en divisant le coût par la quantité. dans le contexte de cette application, la fonction de coût moyen est

Placez l’expression du coût au numérateur pour donner

b. Trouvez et interprétez TC(50).

Solution. La valeur de la fonction est obtenue en substituant Q = 50 dans la fonction de coût moyen

Le numérateur sur la fonction de coût moyen a des unités de millions de dollars et le dénominateur a des unités de millions d’abonnés. En divisant les unités, on obtient

Donc TC(50) ≈ 537,61 signifie que lorsque Verizon a 50 millions d’abonnés, son coût moyen par abonné est de 537,61 dollars par abonné.

c. Trouvez la dérivée de la fonction de coût moyen TC'(Q).

Solution. Nous pouvons appliquer la règle du quotient pour les dérivés avec

u = 490,268Q + 2367,072 et v = Q. Les dérivés du numérateur et du dénominateur sont

En utilisant la règle du quotient, nous obtenons la dérivée

d. Trouvez et interprétez le coût moyen marginal TC ′(50).

Ce taux indique à quelle vitesse le coût moyen évolue lorsque le nombre d’abonnés augmente. Les unités de ce taux sont

La valeur TC ′(50) ≈ -0,95 nous indique qu’à un niveau d’abonnés de 50 millions, le coût moyen diminue de 0,95 dollars par abonné pour chaque million d’abonnés supplémentaires.