Un vecteur pourrait être représenté par une paire ordonnée (x,y) mais il pourrait aussi être représenté par une matrice à colonnes :

$$\begin{bmatrix} x\\\ y \end{bmatrix}$

Les polygones pourraient aussi être représentés sous forme de matrice, on place simplement toutes les coordonnées des sommets dans une matrice. Cela s’appelle une matrice de sommets.

Exemple

Un carré a ses sommets aux coordonnées suivantes (1,1), (-1,1), (-1,-1) et (1,-1). Si nous voulons créer notre matrice de sommets, nous branchons chaque paire ordonnée dans chaque colonne d’une matrice à 4 colonnes:

$$\begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \N- y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 &-1 & -1 & 1\\\\\N 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Nous pouvons utiliser des matrices pour traduire notre figure, si nous voulons traduire la figure x+3 et y+2 nous ajoutons simplement 3 à chaque coordonnée x et 2 à chaque coordonnée y.

$$\\\\\N-gin{bmatrix} x_{1}+3 & x_{2}+3 &x_{3}+3 &x_{4}+3 \\N y_{1}+2 &y_{2}+2 &y_{2}+2 &y_{2}+2 \end{bmatrix}$$

Si nous voulons dilater une figure, il suffit de multiplier chaque coordonnée x- et y-coordonnées avec le facteur d’échelle avec lequel nous voulons dilater.

$3\cdot \begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \N- y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix}$$

Lorsque nous voulons créer une image de réflexion, nous multiplions la matrice des sommets de notre figure avec ce que l’on appelle une matrice de réflexion. Les matrices de réflexion les plus courantes sont :

pour une réflexion dans l’axe des x

$$\begin{bmatrix}$. 1 & 0\\\\\N 0 & -1 \end{bmatrix}$$

pour une réflexion dans l’axe des y

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\\N 0 & 1 \end{bmatrix}$$

pour une réflexion sur l’origine

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\\\N 0 & -1 \end{bmatrix}$$

pour une réflexion sur la droite y=x

$$\begin{bmatrix} 0 & 1\\\\\N 1 & 0 \end{bmatrix}$

Exemple

Nous voulons créer une réflexion du vecteur dans l’axe des x.

$\overrightarrow{A}=\begin{bmatrix} -1 & 3\\\\\2 & -2 \end{bmatrix}$

Afin de créer notre réflexion, nous devons la multiplier avec une matrice de réflexion correcte

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\\\\N 0 & 1 \end{bmatrix}$$

Donc la matrice de sommet de notre réflexion est

$\N\N\N\N\N-begin{bmatrix} -1 & 0\\\\N 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 3\\\\\N 2 & -2 \end{bmatrix}=\\N \\\\\begin{bmatrix} (1\cdot -1)+(0\cdot2) & (1\cdot3)+(0\cdot-2)\\\N (0\cdot-1)+(-1\cdot2) & (0\cdot3)+(-1\cdot-2) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & 3\\\\N -2 & 2 \end{bmatrix}$$

Si nous voulons faire pivoter une figure, nous opérons de la même manière que lorsque nous créons une réflexion. Si nous voulons faire pivoter une figure de 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, nous multiplions la matrice des sommets par

$\begin{bmatrix}$. 0 & -1\\\\\N 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Si nous voulons faire tourner une figure de 180° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, nous multiplions la matrice des sommets par

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\\\N 0& -1 \end{bmatrix}$$

Si nous voulons faire tourner une figure de 270° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre, ou de 90° dans le sens des aiguilles d’une montre, nous multiplions la matrice des sommets par

$$\begin{bmatrix} 0& 1\\\\\N -1& 0 \end{bmatrix}$$

Lecture vidéo

Faites pivoter le vecteur A de 90° dans le sens inverse des aiguilles d’une montre et dessinez les deux vecteurs dans le plan de coordonnées

$$\underset{A}{\rightarrow}=\begin{bmatrix}. -1 & 2\\\\N -1 & 3 \end{bmatrix}$$