Mi a tiszta matematika? Mit csinálnak a tiszta matematikusok? Miért fontos a tiszta matematika?

Ezekkel a kérdésekkel gyakran szembesülök, amikor az emberek megtudják, hogy tiszta matematikával foglalkozom.

Mindig sikerül választ adnom, de úgy tűnik, ez sosem elégít ki teljesen.

Megpróbálok tehát egy jobban megfogalmazott és kiforrottabb választ adni erre a három kérdésre. Előre is elnézést kérek a túlzott leegyszerűsítésekért, amelyeket a tömörség kedvéért kénytelen voltam megtenni.

Nagyjából véve kétféle matematika létezik (és már hallom is a tiltakozást) – a tiszta és az alkalmazott matematika. Olyan filozófusok, mint Bertrand Russell, megpróbáltak szigorú definíciókat adni erre az osztályozásra.

A megkülönböztetést a következő, kissé rejtélyes kijelentésben ragadom meg: a tiszta matematikusok tételeket bizonyítanak, az alkalmazott matematikusok pedig elméleteket konstruálnak.

Ez azt jelenti, hogy az a paradigma, amelyben a matematikát a két embercsoport végzi, különböző.

A tiszta matematikusokat gyakran absztrakt problémák vezetik. Hogy az absztraktot konkretizáljuk, íme néhány példa: “van-e végtelen sok ikerprímszám” vagy “van-e minden igaz matematikai állításnak bizonyítéka?”.

Pontosabban, a matematika axiómákból épül fel, és a matematikai igazság természetét a predikátumlogika szabályozza.

A matematikai tétel olyan igaz állítás, amelyet olyan bizonyítás kísér, amely minden kétséget kizáróan igazát a logika segítségével történő levezetéssel szemlélteti.

Az empirikus elmélettel ellentétben nem elegendő egyszerűen egy magyarázatot konstruálni, amely a kivételek felmerülésekor változhat.

Ami, amiről a matematikus bizonyítékok, de nem bizonyítékok alapján feltételezi, hogy igaz, az egyszerűen csak feltételezés.

Alkalmazott

Az alkalmazott matematikusokat jellemzően a fizikai világból eredő problémák motiválják. A matematikát e problémák modellezésére és megoldására használják.

Ezek a modellek valójában elméletek, és mint minden tudomány esetében, ezek is ellenőrizhetők és hamisíthatók. Ahogy a problémával kapcsolatos információk mennyisége növekszik, ezek a modellek esetleg változni fognak.

A tiszta és az alkalmazott nem feltétlenül zárja ki egymást. Sok nagy matematikus van, aki mindkét területen jár.

Tiszta

A tiszta matematikusok által követett számos olyan probléma van, amely konkrét fizikai problémákban gyökerezik – különösen azokban, amelyek a relativitáselméletből vagy a kvantummechanikából erednek.

Az ilyen jelenségek mélyebb megértése során tipikusan különböző “technikai részletek” merülnek fel (higgyék el nekem, ha azt mondom, hogy ezeket a technikai részleteket nagyon nehéz megmagyarázni). Ezek absztrahálódnak tisztán matematikai állításokká, amelyeket a tiszta matematikusok megtámadhatnak.

Ezeknek a matematikai problémáknak a megoldása aztán fontos alkalmazásokhoz vezethet.

Ok számítógép

Hadd mondjak egy konkrét példát arra, hogyan vezetett az elvont gondolkodás egy olyan eszköz kifejlesztéséhez, amely a modern társadalom funkcióit alapozza meg: a számítógép.

A legkorábbi számítógépek fix programúak voltak – azaz célzottan csak egy feladat elvégzésére építették őket. A program megváltoztatása nagyon költséges és fáradságos dolog volt.

Egy ilyen dinoszaurusz modernkori maradványa lenne a zsebszámológép, amelyet csak alapvető számítások elvégzésére építettek. Ezzel szemben egy modern számítógép lehetővé teszi, hogy betöltsünk egy számológépprogramot, vagy szövegszerkesztő programot, és ehhez nem kell gépet váltani.

Ez a paradigmaváltás az 1940-es évek közepén következett be, és tárolt programnak vagy von Neumann-architektúrának nevezik.

A széles körben hozzáférhető, de kevésbé ismert történet szerint ez a koncepció a Entscheidungsproblem (döntési probléma) nevű absztrakt matematikai probléma vizsgálatában gyökerezik.

A Entscheidungsproblemet 1928-ban fogalmazta meg a híres matematikus, David Hilbert.

Ez megközelítőleg így hangzik: “létezik-e olyan eljárás, amely véges számú lépésben eldönti egy matematikai állítás igazságát vagy hamisságát?”.

Ezt Alonzo Church és Alan Turing egymástól függetlenül 1936-ban és 1937-ben nemlegesen válaszolta meg. Turing dolgozatában megfogalmaz egy absztrakt gépet, amelyet ma Turing-gépnek nevezünk.

A gép rendelkezik egy végtelen hosszú szalaggal (memória), egy fejjel, amely egyszerre egy lépést tud mozogni, olvasni és írni tud a szalagról, egy véges utasítástáblával, amely utasításokat ad a fejnek, és véges számú állapottal (például “elfogad”, vagy “megtagad”). A gépet a szalagon lévő bemenettel indítjuk el.

Egy ilyen gép nem létezhet a matematikán kívül, mivel végtelen hosszú szalaggal rendelkezik.

De ez az eszköz a kiszámíthatóság fogalmának meghatározására szolgál. Vagyis azt mondjuk, hogy egy probléma kiszámítható, ha azt egy Turing-gép segítségével kódolni tudjuk.

Ezután láthatjuk a Turing-gép és a rögzített programú gép párhuzamát.

Tegyük fel, hogy létezik egy olyan U Turing-gép, amely képes egy tetszőleges Turing-gép (megfelelően kódolt) utasítástábláját és állapotait átvenni, és ugyanazon a szalagon a T-hez I bemenetet adni, és a Turing-gépet az I bemeneten lefuttatni.

Egy ilyen gépet univerzális Turing-gépnek nevezünk.

1937-es dolgozatában Turing egy fontos létezési tételt bizonyít: létezik univerzális Turing-gép. Ez immár a tárolóprogram-fogalom párhuzama, a modern programozható számítógép alapja.

Figyelemreméltó, hogy egy, a matematika alapjait érintő absztrakt probléma megalapozta a modern számítógép megjelenését.

A tiszta matematikának talán az a sajátossága, hogy a matematikust nem korlátozzák a fizikai világ korlátai, és a képzeletére apellálhat, hogy absztrakt objektumokat hozzon létre és konstruáljon.

Ez nem jelenti azt, hogy a tiszta matematikus nem formalizál olyan fizikai fogalmakat, mint az energia, entrópia stb. az absztrakt matematika érdekében.

Ez a példa mindenesetre azt hivatott szemléltetni, hogy a tisztán matematikai problémákkal való foglalkozás olyan értékes dolog, amely óriási értéket képviselhet a társadalom számára

.