A matematikusok évek óta gyanítják, hogy bizonyos körülmények között az Euler-egyenletek nem működnek. De nem tudták pontosan meghatározni azt a forgatókönyvet, amelyben ez a hiba bekövetkezik. Egészen mostanáig.

Az egyenletek a folyadékok mozgásának idealizált matematikai leírása. Bizonyos feltételezések keretein belül modellezik azt, ahogyan a hullámok terjednek egy tavon, vagy ahogyan a melasz szivárog egy üvegből. Bármilyen körülmények között képesnek kellene lenniük bármilyen folyadék mozgásának leírására – és több mint két évszázadon keresztül ez így is volt.

De egy új bizonyítás szerint bizonyos körülmények között az egyenletek megbuknak.

“Másfél évvel ezelőtt még azt mondtam volna, hogy ezt talán nem fogom látni az életemben” – mondta Tarek Elgindi, a San Diegó-i Kaliforniai Egyetem matematikusa és az új munka szerzője.

Elgindi az Euler-egyenletekben lévő hiba létezését két, idén online közzétett tanulmányban bizonyította be – az egyiket áprilisban, amelyet egyedül írt, a másikat pedig októberben, amelyet Tej-eddine Ghoul-lal és Nader Masmoudival közösen írt. A tanulmányok együttesen megdöntötték a híres folyadékegyenletekkel kapcsolatos évszázados feltételezéseket.

“Szerintem ez egy nagyszerű, csodálatos eredmény” – mondta Peter Constantin, a Princeton Egyetem matematikusa.

Elgindi munkája nem jelenti az Euler-egyenletek halálos ítéletét. Inkább azt bizonyítja, hogy egy nagyon sajátos körülmények között az egyenletek úgymond túlmelegednek, és értelmetlenséget kezdenek kiadni. Reálisabb körülmények között az egyenletek egyelőre még mindig sebezhetetlenek.

Az Elgindi által talált kivétel azonban megdöbbentő a matematikusok számára, mert olyan körülmények között következett be, ahol korábban azt hitték, hogy az egyenletek mindig működnek.

“Általában azt hiszem, az embereket eléggé meglepte Tarek példája” – mondta Vlad Vicol, a New York-i Egyetem matematikusa.

Euler’s Blowup

Leonhard Euler 1757-ben fedezte fel a ma a nevét viselő folyadékegyenleteket. Ezek egy folyadék időbeli fejlődését írják le, ahogyan Newton egyenletei egy biliárdgolyó mozgását írják le egy asztalon.

Pontosabban, az egyenletek a folyadékban lévő végtelenül apró részecskék pillanatnyi mozgását határozzák meg. Ez a leírás tartalmazza a részecske sebességét (milyen gyorsan és milyen irányban mozog) és a hozzá kapcsolódó, örvényességnek nevezett mennyiséget (milyen gyorsan forog, mint egy csúcs, és milyen irányban).

Ezek az információk együttesen egy “sebességmezőt” alkotnak, amely egy pillanatfelvétel a folyadék mozgásáról egy adott időpontban. Az Euler-egyenletek egy kezdeti sebességmezőből indulnak ki, és megjósolják, hogyan fog ez a jövőben minden pillanatban változni.

Az Euler-egyenletek nem egy valós folyadék szó szerinti leírása. Számos nem fizikai feltételezést tartalmaznak. Például az egyenletek csak akkor működnek, ha a folyadékon belüli belső áramlások nem hoznak létre súrlódást, miközben elmozdulnak egymás mellett. Feltételezik továbbá, hogy a folyadékok “összenyomhatatlanok”, ami azt jelenti, hogy az Euler-egyenletek szabályai szerint nem lehet egy folyadékot kisebb térbe préselni, mint amit már elfoglal.

“A modellre úgy is gondolhatunk, mint egy bizonyos idealizált világra, az egyenletekre pedig úgy, mint a mozgás szabályaira ebben a világban” – írta Vladimir Sverak a Minnesotai Egyetemről egy e-mailben.

Ezek a természetellenes kikötések vezettek John von Neumann matematikus és fizikus azon megjegyzéséhez, hogy az egyenletek “száraz vizet” modelleznek. Egy valósághűbb, belső súrlódással (vagy viszkozitással) rendelkező folyadék mozgásának modellezésére a kutatók ehelyett a Navier-Stokes-egyenleteket használják.

“Az Euler-egyenletek nagyon idealizáltak. A valódi folyadékokban van súrlódás” – mondta Constantin.

Az Euler-egyenletek azonban még mindig tiszteletreméltó helyet foglalnak el a tudományban. A kutatók szeretnék tudni, hogy az egyenletek egyértelműen működnek-e ebben a súrlódásmentes, összenyomhatatlan, idealizált világban – vagyis képesek-e leírni minden lehetséges kezdeti sebességmező minden jövőbeli állapotát. Vagy másképp fogalmazva:

“Az alapvető kérdés az: képesek-e az egyenletek mindig elvégezni a feladatukat?” – mondta Sverak.

Egy folyadék aktuális állapotára vonatkozó értékek beillesztése után az egyenletek elméletileg pontos értékeket adnak egy jövőbeli állapotra. Aztán ezeket az új értékeket visszatöltheted az egyenletekbe, és kibővítheted az előrejelzésedet. Általában ez a folyamat működik, látszólag olyan messzire a jövőbe, amennyire csak akarod.

De az is lehetséges, hogy nagyon ritka körülmények között az egyenletek meghibásodnak. Lehet, hogy zötykölődnek, olyan kimeneteket produkálnak, amelyek a jövőbeni bemenetként működnek, amikor a dolgok kezdenek elromlani, és az egyenletek végül olyan értéket produkálnak, amellyel nem tudják folytatni a számítást. Ilyenkor a matematikusok azt mondják, hogy az egyenletek “felrobbannak.”

Ha az Euler-egyenletek felrobbannának, az azért lenne, mert egy pont sebességét vagy örvényességét nagyon természetellenes módon felerősítik. Az erősítés olyan szélsőséges lenne, hogy véges idő alatt egy pont sebessége vagy örvényessége végtelenné válna. És amint az egyenletek végtelen értéket produkálnának, összeomlanának, és képtelenek lennének további jövőbeli állapotokat leírni. Ennek az az oka, hogy általában nem lehet végtelen értékekkel számolni, mint ahogy nem lehet nullával osztani sem. (Az értékek útközben meghaladnák a fénysebességet, de ebben az idealizált világban ez rendben van.)

Ezeket a végzetes végtelen értékeket “szingularitásoknak” nevezik. Amikor a matematikusok azt kérdezik: “Az Euler-egyenletek mindig működnek?”, akkor valójában azt kérdezik: “Vannak olyan forgatókönyvek, amelyekben az Euler-egyenletek szingularitásokat produkálnak?”

Sok matematikus úgy véli, hogy a válasz igen, de soha nem tudtak olyan konkrét forgatókönyvet találni, amelyben az egyenletek valóban felrobbannak.”

“Úgy érzi, hogy Euler megpróbálja elkerülni . Eddig sikerült neki” – mondta Constantin.

Az új munka nem mutatja ki, hogy az egyenletek szingularitásokat produkálnak a matematikusokat leginkább érdeklő pontos feltételek mellett. De ez az eddigi legközelebbi eredmény ehhez a célhoz. Ennek eléréséhez Elgindi a folyadékok mozgásának egyszerűsített modelljét vette figyelembe.

A komplexitás csökkentése

A matematikusok sokféle módon csökkenthetik a folyadékok mozgásának komplexitását, amelyet az Euler-egyenletekkel kérnek modellezni. A legérdekesebb eredmények közül sok, például Elgindié, annak bemutatására irányul, hogy mennyire lehet egyszerűsíteni egy folyadék viselkedését – vagyis mennyire lehet egyszerűsíteni az egyenletekbe táplált adatokat -, miközben még mindig sikerül valami értelmeset mondani magukról az egyenletekről.

Egy valódi háromdimenziós folyadékban, például egy tó vizében, minden részecskének három tengelye van, amelyek mentén mozoghat: az x-tengely (balra vagy jobbra), az y-tengely (fel vagy le) és a z-tengely (hátra vagy előre). Ez rengeteg mozgási szabadságot jelent. Ráadásul nem feltétlenül van szoros kapcsolat a részecskék mozgása között a folyadék különböző részeiben.”

“Túl sok mindent kell számon tartani” – mondta Elgindi.”

Új munkájában Elgindi leegyszerűsíti a feladatot, amit az Euler-egyenletektől kér. Megköveteli, hogy a folyadék szimmetriát mutasson a z tengely körül, amit általában nem találunk meg egy valódi folyadékban. Ez a szimmetria megkönnyíti a sebességmező kiszámítását, mert tudjuk, hogy a z tengely mindkét oldalán lévő pontok egymás tükörképei. Tehát ha ismerjük a sebességet vagy az örvényességet egy ponton, csak meg kell fordítanunk az értékek előjelét, és máris ismerjük az értékeket egy másik ponton.

A folyadék pontjai számára elérhető mozgástartományt is korlátozza. A részecskék két általános irányban mozoghatnak, vagy a z tengely mentén, vagy a z tengely felé, vagy attól távolodva. A z tengely körül nem foroghatnak. A matematikusok azt mondják, hogy egy ilyen folyadéknak “nincs örvénylése.”

“Ez a problémát alapvetően kétdimenziósra csökkenti” – mondta Elgindi.

Végül Elgindi bizonyos további feltételeket támaszt az Euler-egyenletekbe táplált kezdeti adatokkal szemben. Az adatok bizonyos értelemben durvábbak, mint a valóságos folyadékokat leíró értékek, és ez valószínűbbé teszi a szingularitások kialakulását.

A valóságban, ha egy folyadék egyik pontjából egy másikba nagyon kis távolságot teszünk, a második pontban a sebesség nagyon hasonlít az első pont sebességéhez. Hasonlóképpen, a két ponton lévő örvényességeknek is nagyon hasonlónak kell lenniük. A matematikusok azt mondják, hogy az ilyen tulajdonsággal rendelkező sebességmezők “simák”, vagyis az értékek folyamatosan – simán – változnak, ahogy az egyik pontból a másikba haladunk. Nincsenek gyors változások.

Ez nem így van Elgindi folyadékleírásaiban.

“Tarek adataiban az örvényesség sokkal drámaibb mértékben változhat” – mondta Vicol. “A közeli pontoknak nagyon eltérő örvényességük van.”

Elgindi egyszerűsítései látszólag túlságosan távol állnak a valós folyadékviselkedéstől ahhoz, hogy hasznosak legyenek. De ezek sokkal enyhébbek, mint sok egyszerűsített forgatókönyv, amelyek mellett a matematikusok korábban betekintést nyertek az Euler-egyenletekbe.

Sőt, Elgindi megmutatta, hogy ezekben az egyszerűsített – de nem túlságosan egyszerűsített – körülmények között az Euler-egyenletek nagyon váratlan eredményeket kezdenek produkálni.

Game Over

Elgindi felfedezésének megértéséhez képzeljünk el egy tartály vizet. Ez kissé félrevezető, mert Elgindi munkája olyan folyadékokról szól, amelyeknek nincs határuk, vagyis pacaként lebegnek a térben. De a munkája középpontjában álló forgatókönyv szemléltetéséhez hasznos, ha a vizet egy tartályban helyezzük el. A legfontosabb matematikai feltevések – és a legnehezebben bizonyíthatóak – a határok nélküli folyadékokkal kapcsolatosak.

A következőkben képzeljünk el két vastag vízgyűrűt a tartály ellentétes végein. A gyűrűk olyanok, mint az örvények vagy örvényfürdők – szervezett zavarok a folyadék főtestén belül. Olyan jelenségről van szó, amely valóban előfordul a természetben, és úgy néznek ki, mint azok a gyűrűk, amelyeket gyakorlott dohányosok képesek létrehozni.

Most képzeljük el, hogy az egymással szemben lévő gyűrűk egymás felé mozognak.

Az előrehaladás során a háttérben normálisan működnek az Euler-egyenletek, amelyek kiszámítják a folyadékot minden egyes időpontban leíró sebességmezőket. De amikor a gyűrűk közelednek egymáshoz, az egyenletek vad értékeket kezdenek jelenteni.

Az egyenletek azt mutatják, hogy a gyűrűk egyre nagyobb intenzitással vonzzák egymást – és különösen azt, hogy a gyűrűk legbelső részei még nagyobb erővel vonzzák és húzzák egymást, mint a gyűrűk legkülső részei. Ennek eredményeként a gyűrűk megnyúlnak, kinyúlnak, és inkább tölcsérekhez hasonlítanak. Ahogy a középpontjaik egyre közelebb kerülnek egymáshoz, a sebességük is egyre gyorsul. Aztán összeütköznek.

És ha pontosan ebben a pillanatban megnézzük az ütközést leíró sebességmezőt, olyasmit fogunk látni, amit ilyen feltételezések mellett még senki sem látott az Euler-egyenletek történetében: egy szingularitást. Elgindi bebizonyította, hogy az Euler-egyenletek végtelen örvényességgel számolnak az ütközési pontban. Game over.

“Az egyenletek klasszikus formája összeomlik” – mondta Elgindi. “Ezután nem tudhatjuk, mi történik.”

Az eredménynek vannak bizonyos korlátai. Nevezetesen, lehetetlen a bizonyításából extrapolálni az Euler-egyenletek viselkedésére a teljesen “sima” feltételek mellett. Ennek az az oka, hogy matematikusok már évtizedekkel ezelőtt bebizonyították, hogy sima körülmények között az Elgindi által vizsgált forgatókönyv nem eredményez szingularitást.

De más szempontból az eredménye teljesen megváltoztatja a matematikusok szemléletét ezekkel a régi egyenletekkel kapcsolatban.

Elgindi munkája előtt a matematikusok soha nem bizonyították, hogy létezik olyan határ nélküli helyzet, amelyben az Euler-egyenletek egy rövid ideig (amikor a gyűrűk közelednek egymáshoz) működnek, de nem örökké. Minden korábbi munkájukban a matematikusok azt találták, hogy ha az egyenletek egyáltalán működnek, akkor örökké működnek.”

“Ez egy elég figyelemre méltó eredmény, mert bizonyítja, hogy léteznek szingularitások egy olyan forgatókönyv szerint, amit mi “jól felállítottnak” nevezünk. Ennek van értelme, és mégis megkapjuk ezt a véges idejű szingularitást” – mondta Constantin.

Tudósok sok generációja kereste az Euler-egyenletek gyenge pontját. Végre egy matematikus – minősítéssel – talált egyet.