A bemenet újraformázása :

A bemeneten végrehajtott változtatások nem befolyásolhatják a megoldást:
(1): “x2” helyébe “x^2” lépett.

Lépésről lépésre történő megoldás :

A középső tag felosztásával próbálunk faktorálni

1.1 x2-2x-1 faktorálása
Az első tag, x2 az együtthatója 1 .
A középső tag, -2x az együtthatója -2 .
Az utolsó tag, “a konstans”, -1
1. lépés : Szorozzuk meg az első tag együtthatóját az 1 – -1 = -1 konstanssal
2. lépés : Keressük meg -1 két olyan tényezőjét, amelyek összege egyenlő a középső tag együtthatójával, ami -2 .

-1

+

1

=

0

Megfigyelés : Két ilyen tényező nem található !!!
Következtetés : A trinomiális nem faktorálható

Egyenlet az 1. lépés végén :

 x2 - 2x - 1 = 0 

2. lépés :

Parabola, a csúcspont megtalálása :

2.1 Az y = x2-2x-1 csúcspontjának megtalálása
A paraboláknak van egy legmagasabb vagy egy legalacsonyabb pontja, amit csúcspontnak neveznek . A mi parabolánk kinyílik, és ennek megfelelően van egy legalacsonyabb pontja (AKA abszolút minimum) . Ezt még az “y” ábrázolása előtt tudjuk, mert az első tag együtthatója, 1 , pozitív (nullánál nagyobb).
Minden parabolának van egy függőleges szimmetriavonala, amely áthalad a csúcsán. E szimmetria miatt a szimmetriavonal például a parabola két x -es metszéspontjának (gyökének vagy megoldásának) középpontján haladna keresztül. Azaz, ha a parabolának valóban két valós megoldása van.
A parabolák számos valós élethelyzetet modellezhetnek, például egy felfelé dobott tárgy föld feletti magasságát, bizonyos idő elteltével. A parabola csúcsa olyan információkkal szolgálhat számunkra, mint például az a maximális magasság, amelyet a felfelé dobott tárgy elérhet. Ezért szeretnénk, ha meg tudnánk találni a csúcs koordinátáit.
Minden parabolára,Ax2+Bx+C,a csúcs x -koordinátáját -B/(2A) adja meg. A mi esetünkben az x -koordináta 1,0000
A parabola képletébe az x-re 1,0000-t beillesztve kiszámíthatjuk az y -koordinátát :
y = 1,0 * 1,00 * 1,00 * 1,00 – 2,0 * 1,00 – 1,0
vagy y = -2,000

Parabola, grafikus csúcs és X-intervallumok :

Kvadratikus egyenlet megoldása a négyzet kitöltésével

Kvadratikus egyenlet megoldása a kvadratikus képlet segítségével

2.3 x2-2x-1 = 0 megoldása a kvadratikus képlet segítségével .
A kvadratikus képlet szerint x , az Ax2+Bx+C = 0 , ahol A, B és C számok, amelyeket gyakran együtthatóknak neveznek, megoldása a következő :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
A mi esetünkben A = 1
B = -2
C = -1
Ezeknek megfelelően B2 – 4AC =
4 – (-4) =
8
A négyzetes képletet alkalmazva :
2 ± √ 8
x = —-
2
Egyszerűsíthető √ 8 ?
Igen! A 8 prímtényezője
2-2-2
Hogy valamit ki tudjunk venni a gyök alól, ahhoz 2 példánynak kell lennie (mert négyzetet, azaz második gyökét vesszük).
√ 8 = √ 2-2-2-2 =
± 2 – √ 2
√ 2 , 4 tizedesjegyre kerekítve 1 .4142
Így tehát most:
x = ( 2 ± 2 – 1,414 ) / 2
Két valós megoldás:
x =(2+√8)/2=1+√ 2 = 2,414
vagy:
x =(2-√8)/2=1-√ 2 = -0,414

Két megoldást találtunk :

.