sok diák a középiskolában a geometria falába ütközik, és matematikai útjuk véget ér. Ez a fal gyakran megakadályozza őket abban, hogy folytassák a matematikaórákat és sikeresen lépjenek át a főiskolára.
Számos oka van annak, hogy ezt a falat miért olyan nehéz legyőzni. Először is, úgy tűnik, bizonyíték van arra, hogy az emberek hajlamosak arra, hogy vagy aritmetikai, vagy vizuális és geometriai módon közelítsék meg a matematikát. Az előbbi csoport számára a térbeli gondolkodás képessége nem olyan könnyű, mint a többieknek. Tanárként nem tudjuk befolyásolni az ember természetes képességeit. Egyes diákok gyorsabban tanulnak meg idegen nyelveket, mint mások; egyesek természetesebb koordinációval rendelkeznek.
A jó hír a pedagógusok számára, hogy ezek a hiányosságok nem jelentik azt, hogy ezek a képességek nem fejleszthetők és nem tanulhatók. Sok tanuló esetében a geometria megértésének hiánya részben abból fakad, hogy nincs lehetőségük a térbeli tananyag megtapasztalására.
Sok tankönyv és sok kerületi ütemezési útmutató hangsúlyozza a számolási, aritmetikai és algebrai gondolkodást. A geometria (az adatokkal és a statisztikával együtt) gyakran a könyv utolsó fejezeteibe és az év utolsó heteibe kerül, az állami tesztek után. Mivel minket, pedagógusokat szorít az idő, és újra kell tanítani és át kell ismételni a nem teljesen megértett fogalmakat, gyakran nem jutunk el ezekhez a fejezetekhez. Így a diákok a következő készségekkel lépnek be a középiskolába geometriából: “Tudom az alakzatok nevét, és meg kellett jegyeznem a területképleteket, de nem emlékszem rájuk.”
Kiderült, hogy a geometriai gondolkodással kapcsolatos alapvető munkát egy holland házaspár, a van Hiele házaspár végezte. Két jelentős felfedezést tettek azzal kapcsolatban, hogyan tanuljuk a geometriát. Először is, a geometriai gondolkodásnak öt egymást követő szintje van. (Bővebben róluk egy pillanat múlva.) Másodszor, és ez az igazán jó hír, az egyik szintről a következő magasabb szintre való átmenet nem annyira az életkortól függő kognitív fejlődés kérdése, hanem sokkal inkább az ezeknek a geometriai tapasztalatoknak való kitettségen múlik.
Itt van a geometriai gondolkodás elsajátításának öt szintje. Az egyik szinten lévő tanulók nem ugorhatnak át egy másikra, hanem egymás után kell haladniuk a szinteken. (Van Hiele-ék az öt szintet 0-4-ig számozták, míg az amerikai kutatók 1-5-ig sorolták át őket, hogy legyen egy nulladik szint is, amikor a gyermek még nem rendelkezik geometriai ismeretekkel.)
1. Vizualizáció – A gyermekek az alakzatokat nem a tulajdonságaik, hanem a megjelenésük alapján tudják azonosítani. Ezen a szinten a tanulók a négyzetet nem látják a téglalap egy fajtájának, és még akkor sem látják négyzetnek, ha kissé elforgatják.
2. Elemzés – Ezen a szinten a tanulók elkezdenek tulajdonságokat társítani az alakzatokhoz. Az a tanuló, aki eddig nehezen tudott azonosítani egy elforgatott négyzetet, most már látja, hogy négy egybeeső oldala és négy derékszöge van, tehát négyzet. Hasonlóképpen az első szintű tanuló nehezen ismerne fel egy olyan háromszöget, amelynek csúcsa lefelé mutat, az alapja pedig felül van, míg a második szintű tanuló látja, hogy a három oldal miatt háromszög.
3. Absztrakció – Most már a tanulók elkezdhetnek gondolkodni a tulajdonságokon, és alkalmazni azokat olyan érvekre, amelyek induktív érvelést igényelnek. Az a tanuló, aki látja, hogy négy különböző háromszög mindegyike 180°-os belső szögösszeggel rendelkezik, ezt a mintát arra fogja használni, hogy arra következtetjen, hogy minden háromszögnek ugyanolyan belső szögösszeggel kell rendelkeznie.
4. Dedukció – Ezen a szinten a tanulók deduktív logikát használnak az előző szinten felállított sejtéseik bizonyítására.
5. Dedukció – Ezen a szinten a tanulók deduktív logikát alkalmaznak az előző szinten felállított sejtéseik bizonyítására. Szigorúság – Ez a szint túlmutat az előző szinten, és a tagadással történő bizonyítás és a nem euklideszi geometria felfedezésével foglalkozik.
Mint láthatjuk, az általános iskolai osztályokban a legtöbb diák az első szinten működik; felismeri az alakzatokat. Ezt azonban nem mindig teszik folyékonyan és pontosan. Egyszer megmutattam egy négyzetet néhány 4. és 5. osztályos diáknak, és megkértem őket, hogy nevezzék meg az alakzatot. Nekik nem okozott gondot megmondani, hogy ez egy négyzet. Amikor azonban elforgattam, hogy úgy nézzen ki, mint egy baseball gyémánt, tízből kilenc azt mondta, hogy ez most egy gyémánt. A többiek biztosították, hogy ez egy rombusz. Több mint 100 diák közül csak egy volt képes helyesen megmondani, hogy még mindig négyzet, pedig csak elforgattam.
Ezzel szemben a középiskolai algebrát négyes és ötös szinten tanítják. Mivel a tanulóknak egymás után kell végigmenniük ezeken a szinteken, olyan, mintha arra kértük volna őket, hogy másszanak fel egy létrán, amely csak az első és az utolsó két lépcsőfokot tartalmazza, középen pedig egy nagy rés tátong.
Ez jól mutatja, milyen nehézségekbe ütközünk a geometria tanítása során. A négyzet azonosítása a legtöbb állam óvodai standardjaiban szerepel. Az általam megkérdezett diákoknak azonban csak 1%-a tudta öt évvel később, hogy mi az a négyzet. Ez nyilvánvalóan azért van így, mert amikor a szövegük vagy a tanáraik négyzeteket mutattak, azok jellemzően az oldal aljával párhuzamos alapvonalat mutattak. A tanulók nem foglalkoztak a négyzetek tulajdonságaival.
Amikor azonban ugyanezt a feladatot a nyolcadikosoknak is feltettem, szinte mindegyikük képes volt azonosítani az alakzatot négyzetként, még elforgatva is. Ez azt mutatja, hogy ennek a tudásnak az elsajátítása nem az óvodai oktatásunk eredményeként történt, hanem inkább a későbbi évfolyamokon szerzett tapasztalatoknak köszönhető.
Ez ismét jó hír, mert azt mutatja, hogy felgyorsíthatjuk ezt a növekedést, ha a tanulóknak felajánljuk ezeket a döntő fontosságú geometriai tapasztalatokat. Mivel azonban a legtöbb tankönyv nem nyújt ilyen lehetőségeket, a mi feladatunk, hogy megteremtsük ezeket a leckéket. Szerencsére ezek már léteznek. Egy következő blogban olyan középszintű tevékenységekre fogok példákat kínálni, amelyek segítenek a tanulóknak áthidalni a geometriai létrán keletkezett hiányosságokat.