A tudósok ma már természetesnek veszik, hogy minden mérés hibával jár, így a látszólag azonos kísérlet megismétlése különböző eredményeket ad. Galilei korának szellemi légkörében azonban, amikor a következtetések levezetésének elfogadott eszközei a logikai szillogizmusok voltak, amelyek nem engedtek szürke zónát a helyes és a helytelen között, újszerű eljárásai korántsem voltak meggyőzőek. Munkájának megítélésekor nem szabad elfelejtenünk, hogy a tudományos eredmények közlésének ma elfogadott konvencióit jóval Galilei kora után fogadták el. Ha tehát, mint mondják, tényként állította, hogy a pisai ferde toronyból ledobott két tárgy úgy érte el együtt a földet, hogy közöttük nem telt el egy tenyérnyi távolság, ebből nem kell arra következtetni, hogy ő maga végezte el a kísérletet, vagy hogy ha igen, akkor az eredmény ilyen tökéletes volt. Valamilyen ilyen kísérletet valóban végzett valamivel korábban (1586-ban) Simon Stevin flamand matematikus, de Galilei idealizálta az eredményt. Egy könnyű és egy nehéz golyó nem együtt éri el a földet, és a kettő közötti különbség sem mindig ugyanaz, mert lehetetlen reprodukálni azt az ideált, hogy pontosan ugyanabban a pillanatban ejtsük le őket. Mindazonáltal Galilei elégedett volt azzal, hogy közelebb áll az igazsághoz, ha azt mondjuk, hogy együtt esnek, mintha jelentős különbség lenne a sebességük között. A tökéletlen kísérleteknek ez az idealizálása továbbra is lényeges tudományos folyamat, bár manapság helyénvalónak tartják az elsődleges megfigyelések bemutatását (vagy legalábbis vizsgálatra rendelkezésre bocsátását), hogy mások függetlenül megítélhessék, hajlandóak-e elfogadni a szerző következtetését arra vonatkozóan, amit egy ideálisan elvégzett kísérletben megfigyeltek volna.
Az elveket szemléltethetjük, ha a modern műszerek előnyeivel megismétlünk egy olyan kísérletet, amelyet maga Galilei végzett – nevezetesen azt, hogy megmérjük, mennyi idő alatt gurul le egy labda különböző távolságokra egy enyhén lejtős csatornán. A következő beszámoló egy valódi kísérletről szól, amelynek célja, hogy egy nagyon egyszerű példán keresztül bemutassa, hogyan zajlik az idealizálás folyamata, és hogyan lehet az előzetes következtetéseket azután alaposabb vizsgálatnak alávetni.
Egy rézcsatornára 6 cm (2,4 hüvelyk) távolságra egyenlő távolságra lévő vonalakat karcoltak, és a golyót egy kártya segítségével a legmagasabb vonal mellett tartották nyugalomban. Egy elektronikus időzítőt indítottak el abban a pillanatban, amikor a kártyát eltávolították, és az időzítőt megállították, amikor a golyó áthaladt a többi vonal egyikén. Az egyes időmérések hét ismétlése azt mutatta, hogy a mérések jellemzően 1/20 másodperces tartományban szóródtak, feltehetően az emberi korlátok miatt. Ilyen esetben, amikor egy mérés véletlen hibának van kitéve, a sok ismétlés átlaga jobb becslést ad arra, hogy mi lenne az eredmény, ha a véletlen hiba forrását kiküszöbölnénk; a becslés javulásának tényezője nagyjából a mérések számának négyzetgyöke. Ezenkívül a Carl Friedrich Gauss német matematikusnak tulajdonított hibaelmélet lehetővé teszi az eredmény megbízhatóságának mennyiségi becslését, amelyet a táblázatban a hagyományos ± szimbólummal fejezünk ki. Ez nem azt jelenti, hogy a 2. oszlopban szereplő első eredmény garantáltan 0,671 és 0,685 között van, hanem azt, hogy ha ezt a hét mérés átlagának meghatározását sokszor megismételnénk, akkor a meghatározások körülbelül kétharmada ezeken a határokon belül lenne.
A mérések grafikonos ábrázolása, mint az 1. ábrán, nem állt Galilei rendelkezésére, hanem röviddel az ő kora után, René Descartes francia matematikus-filozófus munkássága nyomán alakult ki. A pontok látszólag egy parabola közelében helyezkednek el, és a kirajzolódó görbét az x = 12t2 egyenlet határozza meg. Az illeszkedés nem egészen tökéletes, és érdemes megpróbálni egy jobb képletet találni. Mivel az időmérő elindítása, amikor a kártyát eltávolítjuk, hogy a golyó gurulhasson, és az időmérő leállítása, amikor a golyó áthalad egy jelen, különböző műveletek, fennáll annak a lehetősége, hogy a véletlenszerű időzítési hibákon kívül egy szisztematikus hiba is megjelenik a t minden egyes mért értékében; vagyis minden egyes t mérés talán t + t0-ként értelmezhető, ahol t0 egy még ismeretlen konstans időzítési hiba. Ha ez így van, akkor megnézhetnénk, hogy a mért idők nem x = at2 – ahol a egy konstans -, hanem x = a(t + t0)2 -vel függnek-e össze a távolsággal. Ez grafikusan is vizsgálható, ha először átírjuk az egyenletet úgy, hogy√x négyzetgyöke =√a(t + t0) négyzetgyöke, ami azt mondja ki, hogy ha a√x négyzetgyökének értékeit a t mért értékekhez viszonyítjuk, akkor azoknak egy egyenes vonalra kell esniük. A 2. ábra elég pontosan igazolja ezt az előrejelzést; az egyenes nem az origón megy át, hanem a vízszintes tengelyt -0,09 másodpercnél metszi. Ebből arra következtetünk, hogy t0 = 0,09 másodperc, és hogy (t + 0,09)x-nek a mellékelt 
táblázatban megadott összes méréspár esetében azonosnak kell lennie. A harmadik oszlopból kiderül, hogy ez bizonyosan így van. Sőt, az állandóság jobb, mint amire a becsült hibák ismeretében számítani lehetett volna. Ezt statisztikai véletlennek kell tekinteni; nem jelent nagyobb bizonyosságot a képlet helyességében, mintha az utolsó oszlopban szereplő számok 0,311 és 0,315 között mozogtak volna, ami nagyon is lehetséges lett volna. Meglepődnénk, ha az egész kísérlet megismétlése ismét ilyen közel állandó eredményt adna.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Encyclopædia Britannica, Inc.
Egy lehetséges következtetés tehát az, hogy valamilyen okból – valószínűleg megfigyelési torzítás miatt – a mért idők 0,09 másodperccel alulbecsülik azt a valós t időt, amely alatt egy nyugalomból induló golyó megtesz egy x távolságot. Ha ez így van, akkor ideális körülmények között az x szigorúan arányos lenne t2-vel. További kísérletek, amelyek során a csatornát különböző, de még mindig enyhe meredekségűre állították be, azt sugallják, hogy az általános szabály az x = at2 alakot veszi fel, a meredekséggel arányos a-val. A kísérleti méréseknek ezt az előzetes idealizálását a további kísérletek fényében esetleg módosítani kell, vagy akár el is kell vetni. Most azonban, hogy matematikai formába öntöttük, matematikai elemzéssel feltárhatjuk, hogy milyen következményekkel jár. Ez egyben módot ad arra is, hogy keresőbben teszteljük.
Egy olyan grafikonból, mint az 1. ábra, amely azt mutatja, hogyan függ x a t-től, le lehet következtetni a golyó pillanatnyi sebességére bármelyik pillanatban. Ez a görbére húzott érintő meredeksége a t választott értékénél; t = 0,6 másodpercnél például a rajzolt érintő leírja, hogyan függne össze x a t-vel egy állandó, kb. 14 cm/másodperc sebességgel mozgó golyó esetében. Az alacsonyabb meredekség e pillanat előtt és a nagyobb meredekség után azt jelzi, hogy a golyó folyamatosan gyorsul. A t különböző értékeinél is rajzolhatnánk érintővonalakat, és arra a következtetésre juthatnánk, hogy a pillanatnyi sebesség nagyjából arányos a gurulás kezdete óta eltelt idővel. Ez az eljárás, elkerülhetetlen pontatlanságával együtt, szükségtelenné válik, ha a feltételezett képletre elemi számítást alkalmazunk. A v pillanatnyi sebesség az x deriváltja a t függvényében; ha
Az, hogy a sebesség szigorúan arányos az eltelt idővel, abból következik, hogy a v és a t grafikonja egy egyenes lenne az origón keresztül. E mennyiségek bármelyik grafikonján, akár egyenes, akár nem egyenes, az érintő meredeksége bármelyik pontban megmutatja, hogyan változik a sebesség az adott pillanatban az idővel; ez a pillanatnyi gyorsulás f. A v és t egyenes grafikonja esetén a meredekség és így a gyorsulás minden időpontban azonos. Matematikailag kifejezve f = dv/dt = d2x/dt2; jelen esetben f a 2a állandó értéket veszi fel.
Az előzetes következtetés tehát az, hogy az egyenes lejtőn leguruló golyó állandó gyorsulást tapasztal, és hogy a gyorsulás nagysága arányos a lejtéssel. Most a következtetés érvényességét ellenőrizhetjük azzal, hogy megállapítjuk, mit jósol az egy másik kísérleti elrendezés esetén. Ha lehetséges, olyan kísérletet állítunk fel, amely az előzetes következtetéshez vezető méréseknél pontosabb méréseket tesz lehetővé. Ilyen tesztet biztosít egy görbe csatornában guruló golyó, amelynek középpontja egy r sugarú körívet rajzol ki, mint a 3. ábrán. Feltéve, hogy az ív sekély, a lejtés a legalacsonyabb ponttól mért x távolságban nagyon közel van az x/r értékhez, így a golyó gyorsulása a legalacsonyabb pont felé az x/r értékkel arányos. Bevezetve c-t az arányossági állandó jelölésére, ez differenciálegyenletként írható fel
Encyclopædia Britannica, Inc.
Ez azt jelenti, hogy egy olyan grafikonon, amely azt mutatja, hogyan változik x a t-vel, a d2x/dt2 görbület arányos x-szel és ellentétes előjelű, amint azt a 4. ábra mutatja. Ahogy a grafikon keresztezi a tengelyt, x és így a görbület is nulla, és az egyenes lokálisan egyenes. Ez a grafikon a gömb ±A szélsőértékek közötti lengéseit ábrázolja, miután x = A-tól t = 0-nál elengedtük. Annak a differenciálegyenletnek a megoldása, amelynek a grafikon a grafikus ábrázolása
Encyclopædia Britannica, Inc.
ahol ω, az úgynevezett szögfrekvencia, a√(c/r) négyzetgyökének írható. A golyónak T = 2π/ω = 2π√(r/c) négyzetgyöke alatt tér vissza eredeti nyugalmi helyzetébe, ami után a rezgés a végtelenségig ismétlődik, vagy addig, amíg a súrlódás nyugalomba nem hozza a golyót.
Az elemzés szerint a periódus, T, független a rezgés amplitúdójától, és ez a meglehetősen váratlan előrejelzés szigorúan tesztelhető. Ahelyett, hogy a golyót egy görbe csatornán hagynánk gurulni, ugyanez az út könnyebben és pontosabban megvalósítható, ha egy egyszerű inga bóbitájává tesszük. Annak tesztelésére, hogy a periódus független az amplitúdótól, két ingát lehet a lehető legközelebb azonosra készíteni, hogy azonos amplitúdóval lengve lépést tartsanak. Ezután különböző amplitúdóval lengtetjük őket. Nagy körültekintést igényel a perióduskülönbség észlelése, kivéve, ha az egyik amplitúdó nagy, amikor a periódus kissé hosszabb. Egy olyan megfigyelés, amely nagyon közel megegyezik az előrejelzéssel, de nem egészen, nem feltétlenül mutatja, hogy a kezdeti feltételezés téves. Ebben az esetben a differenciálegyenlet, amely a periódus pontos állandóságát jósolta, maga is közelítés volt. Ha újrafogalmazzuk az x/r helyett a meredekség valódi kifejezésével, a megoldás (amely meglehetősen nehéz matematikát igényel) a periódus amplitúdóval való változását mutatja, amelyet szigorúan igazoltak. A próbaképpen felállított feltételezés távolról sem vált hiteltelenné, hanem megerősített támogatással került elő.
Galileo gyorsulási törvényét, a periódusra vonatkozó 2π√(r/c) négyzetgyöke kifejezés fizikai alapját tovább erősíti annak megállapítása, hogy a T közvetlenül az r négyzetgyökével változik – azaz, az inga hosszával.
Ezeken kívül az ilyen mérések lehetővé teszik a c állandó értékének nagy pontosságú meghatározását, és megállapítják, hogy az egybeesik egy szabadon eső test g gyorsulásával. Valójában az r hosszúságú egyszerű inga kis lengéseinek periódusára vonatkozó formula, T = 2π√(r/g) négyzetgyöke, áll a g mérésére szolgáló néhány legpontosabb módszer középpontjában. Ez nem történhetett volna meg, ha a tudományos közösség nem fogadta volna el Galilei leírását az ideális viselkedésről, és nem számított arra, hogy hitében megrendítik a kis eltérések, amennyiben azokat úgy lehetett értelmezni, mint az ideális és annak kísérleti megvalósulása közötti elkerülhetetlen véletlen eltéréseket. A kvantummechanika fejlődését a 20. század első negyedében az ösztönözte, hogy vonakodva fogadták el, hogy ez a leírás szisztematikusan kudarcot vallott, amikor atomi méretű objektumokra alkalmazták. Ebben az esetben nem arról volt szó, mint a periódusváltozatok esetében, hogy a fizikai elképzeléseket pontosabban lefordítsák matematikára; az egész fizikai alapot radikálisan felül kellett vizsgálni. A korábbi elképzeléseket azonban nem vetették el – túl sok alkalmazásban bizonyultak jól működőnek ahhoz, hogy elvethessék őket. Ami kialakult, az azoknak a körülményeknek a világosabb megértése volt, amelyek között abszolút érvényességük biztonsággal feltételezhető volt.