Quando un’impresa produce beni o servizi, sostiene dei costi associati alla produzione di questi beni e servizi. Alcuni di questi costi sono variabili e cambiano al variare della produzione. Voci come le materie prime, il lavoro e il costo dei servizi variano al variare della produzione e sono chiamati costi variabili. Altri costi, come i pagamenti del leasing e dell’assicurazione, sono fissi. Quando la produzione cambia, questi costi fissi non variano.

Il costo totale è la somma dei costi variabili e fissi,

Costo totale = costo variabile + costo fisso

Un modello semplice per il costo totale è un modello lineare. In un modello lineare, il termine che contiene la variabile corrisponde al costo variabile e il termine costante corrisponde al costo fisso.

dove vengono prodotte Q unità. La costante a è il costo per unità e b è il costo fisso.

Un altro modello per il costo è un modello quadratico.

In questo modello, i termini con le variabili modellano il costo variabile e la costante c modella il costo fisso.

Le aziende spesso cercano di avere successo abbassando i loro costi. Tuttavia, questo non significa abbassare la funzione di costo totale. Il costo totale più basso si avrebbe non producendo alcuna unità. Generalmente le aziende cercano di abbassare il loro costo medio.

In altre parole, il costo medio di produrre Q unità è il costo totale di produrre Q unità diviso per il numero di unità prodotte Q.

Guardiamo un rapido esempio. Supponiamo che un’azienda produca un singolo prodotto chiamato tostapane solare. Costa 20 dollari per produrre ogni tostapane solare e l’azienda ha 5050 dollari di costi fissi giornalieri. Se l’azienda produce Q tostapane solari ogni giorno, possiamo scrivere il costo totale giornaliero come

TC (Q) = 20Q + 5050 dollari

Notare che questa funzione è stata definita su base giornaliera, poiché il costo fisso è dato su base giornaliera. Potremmo anche definire i costi annuali totali modificando opportunamente la descrizione variabile e i costi fissi. Finché il costo per unità è costante su base annuale, anche questo è ragionevole.

Se vogliamo conoscere il costo giornaliero totale della produzione di 100 tostapane al giorno, dovremmo calcolare

TC (100) = 20(100) + 5050 = 7050 dollari

Il costo medio giornaliero della produzione di 100 tostapane al giorno è

Questo ci dice che ogni tostapane solare costa 70,50 dollari anche se il costo dei materiali e del lavoro è solo 20 dollari per tostapane. Questo perché il costo medio tiene conto dell’alto costo fisso giornaliero. Tuttavia, il costo medio per produrre 200 tostapane è

Anche se il costo totale giornaliero per produrre tostapane è più alto quando 200 tostapane sono fatti ogni giorno, il costo medio è più basso.

Possiamo usare la funzione di costo medio

per trovare il costo medio a qualsiasi livello di produzione.

Questa funzione è usata per determinare il tasso di variazione della funzione di costo medio.

Esempio 5. Trovare la funzione di costo medio

I costi di beni e servizi di Verizon sono dati dalla funzione

TC(Q) = 490,268Q + 2367,072 milioni di dollari

dove Q è il numero di abbonati residenziali e wireless in milioni.

a. Trova la funzione di costo medio TC(Q).

Soluzione. La funzione di costo medio si forma dividendo il costo per la quantità. nel contesto di questa applicazione, la funzione di costo medio è

Posizionare l’espressione per il costo nel numeratore per ottenere

b. Trovare e interpretare TC(50).

Soluzione. Il valore della funzione si ottiene sostituendo Q = 50 nella funzione di costo medio

Il numeratore sulla funzione di costo medio ha unità di milioni di dollari e il denominatore ha unità di milioni di abbonati. Dividendo le unità si ottiene

Quindi TC(50) ≈ 537,61 significa che quando Verizon ha 50 milioni di abbonati, il loro costo medio per abbonato è di 537,61 dollari per abbonato.

c. Trova la derivata della funzione di costo medio TC'(Q).

Soluzione. Possiamo applicare la Regola del Quoziente per le derivate con

u = 490,268Q + 2367,072 e v = Q. Le derivate del numeratore e del denominatore sono

Utilizzando la Regola del Quoziente, otteniamo la derivata

d. Trova e interpreta il costo medio marginale TC ′(50).

Questo tasso indica quanto velocemente il costo medio cambia all’aumentare del numero di abbonati. Le unità di questo tasso sono

Il valore TC ′(50) ≈ -0,95 ci dice che a un livello di abbonati di 50 milioni, il costo medio diminuisce di 0,95 dollari per abbonato per ogni milione di abbonati aggiuntivi.