Oggi gli scienziati danno per scontato che ogni misurazione sia soggetta a errori, così che le ripetizioni dello stesso esperimento danno risultati diversi. Nel clima intellettuale del tempo di Galileo, tuttavia, quando i sillogismi logici che non ammettevano alcuna zona grigia tra giusto e sbagliato erano i mezzi accettati per dedurre le conclusioni, le sue nuove procedure erano tutt’altro che convincenti. Nel giudicare il suo lavoro bisogna ricordare che le convenzioni ora accettate nel riportare i risultati scientifici furono adottate molto tempo dopo il tempo di Galileo. Così, se, come si dice, egli affermò come un fatto che due oggetti lasciati cadere dalla torre pendente di Pisa raggiunsero il suolo insieme con non più di una mano di distanza tra loro, non si deve dedurre che egli stesso eseguì l’esperimento o che, se lo fece, il risultato fu così perfetto. Un esperimento simile era stato fatto poco prima (1586) dal matematico fiammingo Simon Stevin, ma Galileo idealizzò il risultato. Una palla leggera e una pesante non arrivano a terra insieme, né la differenza tra loro è sempre la stessa, perché è impossibile riprodurre l’ideale di farle cadere esattamente nello stesso istante. Ciononostante, Galileo era soddisfatto che si avvicinava di più alla verità dire che cadevano insieme che non che c’era una differenza significativa tra le loro velocità. Questa idealizzazione di esperimenti imperfetti rimane un processo scientifico essenziale, anche se al giorno d’oggi è considerato appropriato presentare (o almeno avere a disposizione per il controllo) le osservazioni primarie, in modo che altri possano giudicare indipendentemente se sono pronti ad accettare la conclusione dell’autore su ciò che sarebbe stato osservato in un esperimento idealmente condotto.

I principi possono essere illustrati ripetendo, con il vantaggio di strumenti moderni, un esperimento come quello che Galileo stesso ha eseguito – vale a dire, quello di misurare il tempo impiegato da una palla per rotolare diverse distanze lungo un canale leggermente inclinato. Il seguente resoconto è un esperimento reale progettato per mostrare in un esempio molto semplice come il processo di idealizzazione procede, e come le conclusioni preliminari possono poi essere sottoposte a prove più approfondite.

Su un canale di ottone sono state tracciate linee equamente distanziate a 6 cm (2,4 pollici), e la palla è stata tenuta a riposo accanto alla linea più alta per mezzo di una scheda. Un timer elettronico è stato avviato nell’istante in cui la carta è stata rimossa, e il timer è stato fermato quando la palla ha superato una delle altre linee. Sette ripetizioni di ogni cronometraggio hanno mostrato che le misurazioni si diffondevano tipicamente in un intervallo di 1/20 di secondo, presumibilmente a causa delle limitazioni umane. In un caso simile, in cui una misurazione è soggetta a un errore casuale, la media di molte ripetizioni fornisce una stima migliore di quello che sarebbe il risultato se la fonte di errore casuale fosse eliminata; il fattore per cui la stima è migliorata è approssimativamente la radice quadrata del numero di misurazioni. Inoltre, la teoria degli errori attribuibile al matematico tedesco Carl Friedrich Gauss permette di fare una stima quantitativa dell’affidabilità del risultato, espressa nella tabella con il simbolo convenzionale ±. Ciò non significa che il primo risultato della colonna 2 sia garantito tra 0,671 e 0,685, ma che, se questa determinazione della media di sette misure venisse ripetuta molte volte, circa i due terzi delle determinazioni si troverebbero entro questi limiti.

La rappresentazione delle misure mediante un grafico, come nella figura 1, non era disponibile per Galileo, ma fu sviluppata poco dopo il suo tempo come conseguenza del lavoro del matematico-filosofo francese René Descartes. I punti sembrano giacere vicino a una parabola, e la curva che viene disegnata è definita dall’equazione x = 12t2. L’adattamento non è del tutto perfetto, e vale la pena provare a trovare una formula migliore. Poiché le operazioni di avviare il timer quando la scheda viene rimossa per permettere alla palla di rotolare e di fermarlo quando la palla passa un segno sono diverse, c’è la possibilità che, oltre agli errori casuali di temporizzazione, appaia un errore sistematico in ogni valore misurato di t; cioè, ogni misurazione t deve forse essere interpretata come t + t0, dove t0 è un errore di temporizzazione costante non ancora noto. Se è così, si potrebbe cercare di vedere se i tempi misurati sono legati alla distanza non da x = at2, dove a è una costante, ma da x = a(t + t0)2. Questo può anche essere verificato graficamente riscrivendo prima l’equazione come radice quadrata di√x = radice quadrata di√a(t + t0), che afferma che quando i valori della radice quadrata di√x sono tracciati contro i valori misurati di t dovrebbero trovarsi su una linea retta. La figura 2 verifica questa predizione piuttosto da vicino; la linea non passa attraverso l’origine, ma taglia l’asse orizzontale a -0,09 secondi. Da questo, si deduce che t0 = 0,09 secondi e che (t + 0,09)x dovrebbe essere lo stesso per tutte le coppie di misure date nella tabella di accompagnamento . La terza colonna mostra che questo è certamente il caso. Infatti, la costanza è migliore di quanto ci si potesse aspettare in considerazione degli errori stimati. Questo deve essere considerato come un incidente statistico; non implica una maggiore sicurezza nella correttezza della formula che se le cifre dell’ultima colonna avessero oscillato, come avrebbero potuto benissimo fare, tra 0,311 e 0,315. Si sarebbe sorpresi se una ripetizione dell’intero esperimento desse di nuovo un risultato così quasi costante.

Una possibile conclusione, quindi, è che per qualche motivo – probabilmente una distorsione osservativa – i tempi misurati sottostimano di 0,09 secondi il tempo reale t che una palla, partendo da ferma, impiega a percorrere una distanza x. Se così fosse, in condizioni ideali x sarebbe strettamente proporzionale a t2. Ulteriori esperimenti, in cui il canale è impostato su pendenze diverse ma sempre dolci, suggeriscono che la regola generale assume la forma x = at2, con a proporzionale alla pendenza. Questa provvisoria idealizzazione delle misure sperimentali potrebbe dover essere modificata, o addirittura scartata, alla luce di ulteriori esperimenti. Ora che è stata messa in forma matematica, tuttavia, può essere analizzata matematicamente per rivelare quali conseguenze implica. Inoltre, questo suggerirà modi per testarla in modo più ricercato.

Da un grafico come la figura 1, che mostra come x dipende da t, si può dedurre la velocità istantanea della palla in qualsiasi istante. Questa è la pendenza della tangente disegnata alla curva al valore scelto di t; a t = 0,6 secondi, per esempio, la tangente disegnata descrive come x sarebbe legata a t per una palla che si muove a una velocità costante di circa 14 cm al secondo. La minore pendenza prima di questo istante e la maggiore pendenza dopo indicano che la palla sta accelerando costantemente. Si potrebbero disegnare le tangenti a vari valori di t e giungere alla conclusione che la velocità istantanea è approssimativamente proporzionale al tempo trascorso da quando la palla ha iniziato a rotolare. Questo procedimento, con le sue inevitabili imprecisioni, è reso superfluo dall’applicazione del calcolo elementare alla formula supposta. La velocità istantanea v è la derivata di x rispetto a t; se

L’implicazione che la velocità è strettamente proporzionale al tempo trascorso è che un grafico di v contro t sarebbe una linea retta attraverso l’origine. Su qualsiasi grafico di queste quantità, che sia rettilineo o meno, la pendenza della tangente in qualsiasi punto mostra come la velocità sta cambiando con il tempo in quell’istante; questa è l’accelerazione istantanea f. Per un grafico a linea retta di v contro t, la pendenza e quindi l’accelerazione sono le stesse in ogni momento. Espresso matematicamente, f = dv/dt = d2x/dt2; nel presente caso, f assume il valore costante 2a.

La conclusione preliminare, quindi, è che una palla che rotola lungo un pendio rettilineo sperimenta un’accelerazione costante e che la grandezza dell’accelerazione è proporzionale alla pendenza. È ora possibile verificare la validità della conclusione trovando ciò che essa predice per una diversa disposizione sperimentale. Se possibile, si allestisce un esperimento che permette misurazioni più accurate di quelle che hanno portato all’inferenza preliminare. Un tale test è fornito da una palla che rotola in un canale curvo in modo che il suo centro tracci un arco circolare di raggio r, come nella figura 3. A condizione che l’arco sia poco profondo, la pendenza ad una distanza x dal suo punto più basso è molto vicina a x/r, così che l’accelerazione della palla verso il punto più basso è proporzionale a x/r. Introducendo c per rappresentare la costante di proporzionalità, questo è scritto come un’equazione differenziale

Si afferma che, su un grafico che mostra come varia x con t, la curvatura d2x/dt2 è proporzionale a x e ha segno opposto, come illustrato nella figura 4. Quando il grafico attraversa l’asse, x e quindi la curvatura sono zero, e la linea è localmente diritta. Questo grafico rappresenta le oscillazioni della sfera tra gli estremi di ±A dopo che è stata rilasciata da x = A a t = 0. La soluzione dell’equazione differenziale di cui il diagramma è la rappresentazione grafica è

dove ω, chiamata frequenza angolare, si scrive per radice quadrata di√(c/r). La palla impiega il tempo T = 2π/ω = 2πRadice quadrata di√(r/c) per tornare alla sua posizione originale di riposo, dopo di che l’oscillazione si ripete indefinitamente o fino a quando l’attrito porta la palla a riposo.

Secondo questa analisi, il periodo, T, è indipendente dall’ampiezza dell’oscillazione, e questa previsione piuttosto inaspettata è una che può essere rigorosamente testata. Invece di far rotolare la palla su un canale curvo, lo stesso percorso si realizza più facilmente ed esattamente facendola diventare il bob di un semplice pendolo. Per provare che il periodo è indipendente dall’ampiezza, si possono fare due pendoli il più possibile identici, in modo che si mantengano al passo quando oscillano con la stessa ampiezza. Vengono poi fatti oscillare con ampiezze diverse. Ci vuole molta attenzione per rilevare qualsiasi differenza nel periodo, a meno che un’ampiezza sia grande, quando il periodo è leggermente più lungo. Un’osservazione che è molto vicina alla previsione, ma non del tutto, non mostra necessariamente che la supposizione iniziale sia sbagliata. In questo caso, l’equazione differenziale che prevedeva l’esatta costanza del periodo era essa stessa un’approssimazione. Quando viene riformulata con la vera espressione per la pendenza che sostituisce x/r, la soluzione (che implica una matematica piuttosto pesante) mostra una variazione del periodo con l’ampiezza che è stata rigorosamente verificata. Lungi dall’essere screditata, l’ipotesi provvisoria è emersa con un maggiore sostegno.

La legge di accelerazione di Galileo, la base fisica dell’espressione 2πRadice quadrata di√(r/c) per il periodo, è ulteriormente rafforzata dalla scoperta che T varia direttamente come la radice quadrata di r-cioè, la lunghezza del pendolo.

Inoltre, tali misure permettono di determinare il valore della costante c con un alto grado di precisione, e si trova che coincide con l’accelerazione g di un corpo in caduta libera. Infatti, la formula per il periodo delle piccole oscillazioni di un semplice pendolo di lunghezza r, T = 2πRadice quadrata di√(r/g), è alla base di alcuni dei metodi più precisi per misurare g. Questo non sarebbe successo se la comunità scientifica non avesse accettato la descrizione di Galileo del comportamento ideale e non si aspettasse di essere scossa nelle sue convinzioni da piccole deviazioni, purché potessero essere comprese come riflesso di inevitabili discrepanze casuali tra l’ideale e la sua realizzazione sperimentale. Lo sviluppo della meccanica quantistica nel primo quarto del XX secolo fu stimolato dalla riluttante accettazione del fatto che questa descrizione fallisse sistematicamente quando applicata a oggetti di dimensioni atomiche. In questo caso, non si trattava, come per le variazioni di periodo, di tradurre le idee fisiche in matematica in modo più preciso; l’intera base fisica aveva bisogno di una revisione radicale. Tuttavia, le idee precedenti non furono buttate via – si era scoperto che funzionavano bene in troppe applicazioni per essere scartate. Ciò che emerse fu una comprensione più chiara delle circostanze in cui la loro validità assoluta poteva essere assunta con sicurezza.