Che cos’è la matematica pura? Cosa fanno i matematici puri? Perché la matematica pura è importante?

Sono domande che mi pongo spesso quando la gente scopre che faccio matematica pura.

Resisto sempre a fornire una risposta, ma non sembra mai soddisfare pienamente.

Tenterò quindi di dare una risposta più formulata e matura a queste tre domande. Mi scuso in anticipo per le semplificazioni che ho dovuto fare per essere conciso.

In generale, ci sono due diversi tipi di matematica (e sento già le proteste): pura e applicata. Filosofi come Bertrand Russell hanno cercato di dare definizioni rigorose di questa classificazione.

Capisco la distinzione nella seguente affermazione, un po’ criptica: i matematici puri dimostrano teoremi e i matematici applicati costruiscono teorie.

Questo significa che il paradigma in cui la matematica viene fatta dai due gruppi di persone è diverso.

I matematici puri sono spesso guidati da problemi astratti. Per rendere concreto l’astratto, ecco un paio di esempi: “esistono infiniti numeri primi gemelli” o “ogni affermazione matematica vera ha una prova?”.

Per essere più precisi, la matematica è costruita da assiomi, e la natura della verità matematica è governata dalla logica dei predicati.

Un teorema matematico è un’affermazione vera che è accompagnata da una prova che illustra la sua verità al di là di ogni dubbio per deduzione con la logica.

A differenza di una teoria empirica, non è sufficiente costruire semplicemente una spiegazione che può cambiare al sorgere delle eccezioni.

Qualcosa che un matematico sospetta essere vero a causa dell’evidenza, ma non della prova, è semplicemente una congettura.

Matematica applicata

I matematici applicati sono tipicamente motivati da problemi derivanti dal mondo fisico. Usano la matematica per modellare e risolvere questi problemi.

Questi modelli sono in realtà teorie e, come per ogni scienza, sono soggetti a verificabilità e falsificabilità. Man mano che la quantità di informazioni sul problema aumenta, questi modelli possono cambiare.

Puro e applicato non si escludono necessariamente a vicenda. Ci sono molti grandi matematici che percorrono entrambi i terreni.

Puro

Ci sono molti problemi perseguiti dai matematici puri che hanno le loro radici in problemi fisici concreti – in particolare quelli che nascono dalla relatività o dalla meccanica quantistica.

Tipo, in una comprensione più profonda di tali fenomeni, sorgono vari “tecnicismi” (credetemi quando vi dico che questi tecnicismi sono molto difficili da spiegare). Questi vengono astratti in affermazioni puramente matematiche che i matematici puri possono attaccare.

La soluzione di questi problemi matematici può poi avere importanti applicazioni.

Ok computer

Lasciatemi fare un esempio concreto di come il pensiero astratto abbia portato allo sviluppo di un dispositivo che è alla base delle funzioni della società moderna: il computer.

I primi computer erano a programma fisso – cioè erano costruiti appositamente per svolgere un solo compito. Cambiare il programma era un affare molto costoso e noioso.

I resti moderni di un tale dinosauro sarebbero una calcolatrice tascabile, che è costruita solo per eseguire l’aritmetica di base. Al contrario, un computer moderno permette di caricare un programma di calcolo, o un programma di elaborazione testi, e non è necessario cambiare macchina per farlo.

Questo cambio di paradigma è avvenuto a metà degli anni ’40 ed è chiamato programma memorizzato o architettura von Neumann.

La storia ampiamente accessibile, ma meno conosciuta, è che questo concetto ha le sue radici nello studio di un problema matematico astratto chiamato Entscheidungsproblem (problema di decisione).

L’Entscheidungsproblem fu formulato nel 1928 dal famoso matematico David Hilbert.

Si traduce approssimativamente così: “esiste una procedura che può decidere la verità o la falsità di un’affermazione matematica in un numero finito di passi?”

A questa domanda hanno risposto negativamente Alonzo Church e Alan Turing indipendentemente nel 1936 e nel 1937. Nel suo articolo, Turing formula una macchina astratta, che oggi chiamiamo macchina di Turing.

La macchina possiede un nastro infinitamente lungo (memoria), una testa che può muoversi un passo alla volta, leggere e scrivere sul nastro, una tabella di istruzioni finita che dà istruzioni alla testa, e un insieme finito di stati (come “accettare” o “negare”). Si avvia la macchina con un input sul nastro.

Una macchina del genere non può esistere al di fuori del regno della matematica perché ha un nastro infinitamente lungo.

Ma è lo strumento usato per definire la nozione di calcolabilità. Cioè, diciamo che un problema è calcolabile se possiamo codificarlo usando una macchina di Turing.

Si può quindi vedere il parallelo di una macchina di Turing con una macchina a programma fisso.

Ora, supponiamo che esista una macchina di Turing U che possa prendere la tabella delle istruzioni e gli stati di una macchina di Turing arbitraria T (opportunamente codificata), e sullo stesso nastro dare l’input I a T, ed eseguire la macchina di Turing T sull’input I.

Tale macchina è chiamata macchina di Turing universale.

Nel suo articolo del 1937, Turing dimostra un importante teorema di esistenza: esiste una macchina di Turing universale. Questo è ora il parallelo del concetto di store-program, la base del moderno computer programmabile.

È notevole che un problema astratto riguardante i fondamenti della matematica abbia posto le basi per l’avvento del computer moderno.

È forse una caratteristica della matematica pura che il matematico non è vincolato dalle limitazioni del mondo fisico e può fare appello all’immaginazione per creare e costruire oggetti astratti.

Questo non significa che il matematico puro non formalizzi concetti fisici come energia, entropia eccetera, per fare matematica astratta.

In ogni caso, questo esempio dovrebbe illustrare che la ricerca di problemi puramente matematici è una causa utile che può essere di enorme valore per la società.