I matematici hanno sospettato per anni che in determinate circostanze, le equazioni di Eulero falliscono. Ma non sono stati in grado di identificare uno scenario esatto in cui questo fallimento si verifica. Fino ad ora.

Le equazioni sono una descrizione matematica idealizzata di come si muovono i fluidi. Entro i confini di alcune ipotesi, modellano il modo in cui le increspature si propagano su uno stagno o come la melassa trasuda da un barattolo. Dovrebbero essere in grado di descrivere il movimento di qualsiasi fluido in qualsiasi circostanza – e per più di due secoli, lo hanno fatto.

Ma una nuova prova trova che in determinate condizioni, le equazioni falliscono.

“Un anno e mezzo fa avrei detto che questo era qualcosa che forse non avrei visto nella mia vita”, ha detto Tarek Elgindi, un matematico dell’Università della California, San Diego e autore del nuovo lavoro.

Elgindi ha dimostrato l’esistenza del difetto nelle equazioni di Eulero in due articoli pubblicati online quest’anno – uno in aprile, che ha scritto da solo, e uno in ottobre, che ha scritto con Tej-eddine Ghoul e Nader Masmoudi. Insieme, i documenti hanno messo in discussione secoli di ipotesi su queste famose equazioni dei fluidi.

“Penso che sia un grande, meraviglioso risultato”, ha detto Peter Constantin, un matematico della Princeton University.

Il lavoro di Elgindi non è una campana a morto per le equazioni di Eulero. Piuttosto, dimostra che in una serie molto particolare di circostanze, le equazioni si surriscaldano, per così dire, e iniziano a produrre sciocchezze. In condizioni più realistiche, le equazioni sono ancora, per ora, invulnerabili.

Ma l’eccezione che Elgindi ha trovato è sorprendente per i matematici, perché si è verificata in condizioni in cui prima pensavano che le equazioni funzionassero sempre.

“In generale, penso che le persone siano abbastanza sorprese dall’esempio di Tarek”, ha detto Vlad Vicol, un matematico della New York University.

Euler’s Blowup

Leonhard Euler ha scoperto le equazioni dei fluidi che ora portano il suo nome nel 1757. Esse descrivono l’evoluzione di un fluido nel tempo, proprio come le equazioni di Newton descrivono il moto di una palla da biliardo su un tavolo.

Più esattamente, le equazioni specificano il movimento istantaneo di particelle infinitesimamente piccole in un fluido. Questa descrizione include la velocità di una particella (quanto velocemente si sta muovendo e in quale direzione) e la quantità correlata conosciuta come la sua vorticità (quanto velocemente sta girando, come una trottola, e in quale direzione).

Insieme, queste informazioni formano un “campo di velocità”, che è un’istantanea del movimento di un fluido in un dato momento nel tempo. Le equazioni di Eulero iniziano con un campo di velocità iniziale e predicono come cambierà in ogni momento nel futuro.

Le equazioni di Eulero non sono una descrizione letterale di un fluido del mondo reale. Esse includono diversi presupposti non fisici. Per esempio, le equazioni funzionano solo se le correnti interne di un fluido non generano attrito mentre si muovono l’una accanto all’altra. Assumono anche che i fluidi siano “incomprimibili”, il che significa che secondo le regole delle equazioni di Eulero, non si può comprimere un fluido in uno spazio più piccolo di quello che già occupa.

“Possiamo pensare al modello come a un certo mondo idealizzato e alle equazioni come alle regole del moto in questo mondo”, ha scritto Vladimir Sverak dell’Università del Minnesota in una e-mail.

Queste condizioni innaturali hanno portato il matematico e fisico John von Neumann a dire che le equazioni modellano “acqua secca”. Per modellare il movimento di un fluido più realistico con attrito interno (o viscosità), i ricercatori usano invece le equazioni di Navier-Stokes.

“Le equazioni di Eulero sono molto idealizzate. I fluidi reali hanno attrito”, ha detto Constantin.

Ma le equazioni di Eulero occupano ancora un posto venerabile nella scienza. I ricercatori vorrebbero sapere se le equazioni funzionano in modo inequivocabile all’interno di questo mondo idealizzato senza attrito, incomprimibile – cioè, se possono descrivere tutti gli stati futuri di ogni possibile campo di velocità iniziale. O, per dirla in un altro modo: Ci sono moti fluidi che queste equazioni presumibilmente universali non possono modellare?

“La domanda fondamentale è: le equazioni possono sempre fare il loro lavoro?” ha detto Sverak.

In teoria, una volta inseriti i valori dello stato attuale di un fluido, le equazioni produrranno valori esatti per uno stato futuro. Poi puoi inserire di nuovo quei nuovi valori nelle equazioni ed estendere la tua previsione. In genere, il processo funziona, apparentemente fino al futuro, per quanto si voglia guardare.

Ma è anche possibile che in circostanze molto rare, le equazioni si rompano. Potrebbero andare avanti, producendo output che funzionano come input futuri, quando le cose cominciano ad andare male e le equazioni alla fine producono un valore che non possono continuare a calcolare. In queste situazioni, i matematici dicono che le equazioni “esplodono”.

Se le equazioni di Eulero dovessero esplodere, sarebbe perché stanno amplificando la velocità o la vorticità di un punto in un modo molto innaturale. L’amplificazione sarebbe così estrema che in un tempo finito, la velocità o la vorticità in un punto diventerebbe infinita. E una volta che le equazioni producessero un valore infinito, si bloccherebbero e sarebbero incapaci di descrivere qualsiasi ulteriore stato futuro. Questo perché generalmente non si può calcolare con valori infiniti più di quanto si possa dividere per zero. (I valori supererebbero la velocità della luce lungo la strada, ma in questo mondo idealizzato questo va bene.)

Questi fatali valori infiniti sono chiamati “singolarità”. Quando i matematici chiedono: “Le equazioni di Eulero funzionano sempre?”, in realtà stanno chiedendo: “Ci sono scenari in cui le equazioni di Eulero producono singolarità?”

Molti matematici credono che la risposta sia sì, ma non sono mai stati in grado di trovare uno scenario specifico in cui le equazioni esplodano davvero.

“Tu senti che Eulero sta cercando di evitare . Finora ci è riuscito”, ha detto Constantin.

Il nuovo lavoro non mostra che le equazioni producono singolarità nelle condizioni esatte che i matematici si preoccupano di più. Ma è il risultato più vicino a quell’obiettivo. Per raggiungerlo, Elgindi ha considerato un modello semplificato di come si muovono i fluidi.

Riduzione della complessità

I matematici hanno molti modi diversi per ridurre la complessità del moto dei fluidi che chiedono alle equazioni di Eulero di modellare. Molti dei risultati più interessanti, come quello di Elgindi, riguardano la dimostrazione di quanto sia possibile semplificare il comportamento di un fluido – cioè quanto sia possibile semplificare i dati da inserire nelle equazioni – riuscendo comunque a dire qualcosa di significativo sulle equazioni stesse.

In un vero fluido tridimensionale, come l’acqua di uno stagno, ogni particella ha tre assi lungo i quali può muoversi: l’asse x (sinistra o destra), l’asse y (su o giù) e l’asse z (indietro o avanti). C’è molta libertà di movimento. Inoltre, non c’è necessariamente una forte relazione tra il movimento delle particelle in diverse parti del fluido.

“È troppo da tenere sotto controllo”, ha detto Elgindi.

Nel suo nuovo lavoro, Elgindi semplifica il lavoro che chiede alle equazioni di Eulero di gestire. Egli richiede che il fluido presenti una simmetria intorno all’asse z, qualcosa che non si trova generalmente in un fluido reale. Questa simmetria rende più facile calcolare il campo di velocità, perché si sa che i punti su entrambi i lati dell’asse z sono immagini speculari l’uno dell’altro. Quindi, se conosci la velocità o la vorticità in un punto, tutto quello che devi fare è invertire il segno dei valori e conoscerai i valori in un secondo punto.

Riduce anche la gamma di movimento disponibile per i punti nel fluido. Le particelle sono autorizzate a muoversi in due direzioni generali, o lungo l’asse z o verso o lontano dall’asse z. Non è permesso loro di girare intorno all’asse z. I matematici dicono che un tale fluido “non ha vortici”.

“Si riduce il problema fondamentalmente a uno bidimensionale”, ha detto Elgindi.

Infine, Elgindi pone alcune condizioni aggiuntive sui dati iniziali che alimenta nelle equazioni di Eulero. I dati sono più grezzi, in un certo senso, rispetto ai valori che descrivono i fluidi del mondo reale, e rendono più probabile la formazione di singolarità.

Nella vita reale, se si sposta una distanza molto piccola da un punto di un fluido ad un altro, la velocità nel secondo punto è molto simile alla velocità nel primo. Allo stesso modo, le velocità nei due punti dovrebbero essere molto simili. I matematici dicono che i campi di velocità con questa proprietà sono “lisci”, il che significa che i valori variano continuamente – dolcemente – mentre ci si sposta da un punto all’altro. Non ci sono cambiamenti rapidi.

Questo non è il caso nelle descrizioni di Elgindi di un fluido.

“La vorticità nei dati di Tarek può variare più drammaticamente”, ha detto Vicol. “Punti vicini hanno vorticità molto diverse”.

Le semplificazioni di Elgindi potrebbero sembrare troppo lontane dal comportamento reale del fluido per essere utili. Ma sono molto più blande di molti scenari semplificati sotto i quali i matematici hanno precedentemente ottenuto intuizioni sulle equazioni di Eulero.

In effetti, Elgindi ha mostrato che sotto queste condizioni semplificate – ma non troppo semplificate – le equazioni di Eulero iniziano a produrre risultati molto inaspettati.

Game Over

Per capire la scoperta di Elgindi, immaginate una vasca di acqua. Questo è leggermente fuorviante, perché il lavoro di Elgindi riguarda i fluidi che non hanno confini, cioè galleggiano come un blob nello spazio. Ma allo scopo di visualizzare lo scenario al centro del suo lavoro, è utile situare l’acqua in un serbatoio. Le più importanti congetture matematiche – e le più difficili da dimostrare – coinvolgono fluidi senza confini.

In seguito, immaginate due anelli spessi di acqua alle estremità opposte del serbatoio. Gli anelli si formano come gorghi o vortici – disturbi organizzati all’interno del corpo principale del fluido. Sono un tipo di fenomeno che si verifica realmente in natura, e assomigliano agli anelli che i fumatori esperti possono produrre.

Ora immaginate gli anelli opposti che si muovono l’uno verso l’altro.

Mentre avanzano, le equazioni di Eulero funzionano normalmente in background, calcolando i campi di velocità che descrivono il fluido in ogni momento nel tempo. Ma quando gli anelli si avvicinano l’uno all’altro, le equazioni cominciano a riportare alcuni valori selvaggi.

Mostrano che gli anelli si attraggono l’un l’altro con intensità sempre maggiore – e in particolare, mostrano che le parti più interne degli anelli si attraggono e si tirano con una forza ancora maggiore rispetto alle parti più esterne degli anelli. Come risultato, gli anelli si allungano, allungandosi fino ad assomigliare a una coppia di imbuti. Mentre i loro centri si avvicinano sempre di più, le loro velocità diventano sempre più elevate. Poi si scontrano.

E se in quel preciso momento guardate il campo di velocità che descrive la collisione, vedrete qualcosa che nessuno ha mai visto sotto questa serie di ipotesi nella storia delle equazioni di Eulero: una singolarità. Elgindi ha dimostrato che le equazioni di Eulero calcolano una vorticità infinita nel punto di collisione. Game over.

“La forma classica delle equazioni si rompe”, ha detto Elgindi. “Dopo di che non si sa cosa succede”.

Il risultato ha alcune limitazioni. Vale a dire, è impossibile estrapolare dalla sua prova al comportamento delle equazioni di Eulero nelle condizioni completamente “lisce”. Questo perché i matematici hanno dimostrato decenni fa che in condizioni lisce, lo scenario che Elgindi considera non produce una singolarità.

Ma in altri modi, il suo risultato cambia completamente il modo in cui i matematici guardano queste vecchie equazioni.

Prima del lavoro di Elgindi, i matematici non avevano mai dimostrato l’esistenza di qualsiasi situazione, senza un confine, in cui le equazioni di Eulero funzionassero per un breve periodo di tempo (quando gli anelli si avvicinano l’uno all’altro) ma non per sempre. In tutti i lavori precedenti, i matematici avevano trovato che se le equazioni funzionavano, funzionavano per sempre.

“È un risultato notevole perché dimostra che ci sono singolarità in uno scenario che è quello che chiamiamo “ben posto”. Ha senso, e tuttavia si ottiene questa singolarità a tempo finito”, ha detto Constantin.

Molte generazioni di scienziati hanno cercato un punto debole nelle equazioni di Eulero. Alla fine – con una qualifica – un matematico ne ha trovato uno.

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