Un vettore potrebbe essere rappresentato da una coppia ordinata (x,y) ma potrebbe anche essere rappresentato da una matrice di colonne:

$$$begin{bmatrix} x\ y \end{bmatrix}$$

I poligoni possono anche essere rappresentati in forma di matrice, semplicemente mettiamo tutte le coordinate dei vertici in una matrice. Questa è chiamata matrice di vertice.

Esempio

Un quadrato ha i suoi vertici nelle seguenti coordinate (1,1), (-1,1), (-1,-1) e (1,-1). Se vogliamo creare la nostra matrice dei vertici, inseriamo ogni coppia ordinata in ogni colonna di una matrice a 4 colonne:

$$begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \\ y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \Fine = inizio = inizio 1 &-1 & -1 & 1\ 1 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$

Possiamo usare le matrici per tradurre la nostra figura, se vogliamo tradurre la figura x+3 e y+2 semplicemente aggiungiamo 3 a ogni coordinata x e 2 a ogni coordinata y.

$$\matrix} x_{1}+3 & x_{2}+3 &x_{3}+3 &x_{4}+3 \matrice y_{1}+2 &y_{2}+2 &y_{2}+2 & y_{2}+2 \end{bmatrix}$$

Se vogliamo dilatare una figura dobbiamo semplicemente moltiplicare ogni coordinata x- e y con il fattore di scala con cui vogliamo dilatare.

$$3\cdot \fine matrice \fine matrice \fine matrice \fine matrice \fine matrice \fine matrice \fine x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \\ y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix}$$

Quando vogliamo creare un’immagine riflessa moltiplichiamo la matrice dei vertici della nostra figura con quella che viene chiamata matrice di riflessione. Le matrici di riflessione più comuni sono:

per una riflessione sull’asse delle ascisse

$$$begin{bmatrix} 1 & 0\ 0 & -1 \fine{bmatrice}$$

per una riflessione sull’asse y

$$begin{bmatrice} -1 & 0\ 0\ 0 & 1 \fine{bmatrice}$$

per una riflessione nell’origine

$$begin{bmatrice} -1 & 0{6900> 0{6900> -1 \fine{bmatrice}$$

per una riflessione nella retta y=x

$$begin{bmatrice} 0 & 1\1 & 0 \fine{bmatrice}$$

Esempio

Vogliamo creare una riflessione del vettore nell’asse x.

$$${freccia destra{A}===begin{bmatrice} -1 & 3\2 & -2 \fine{bmatrice}$$

Per creare la nostra riflessione dobbiamo moltiplicarla con la matrice di riflessione corretta

$$begin{bmatrice} -1 & 0\0\ 0 & 1 \fine{bmatrice}$$

Quindi la matrice dei vertici della nostra riflessione è

$$ \begin{bmatrice} -1 & 0\0 & 1 \fine della matrice \cdot \begin{bmatrix} -1 & 3\ 2 & -2 \fine matrice}=\\ \\\\\ inizio matrice (1\punto -1)+(0\punto2) & (1\punto3)+(0\punto-2)\(0\punto-1)+(-1\punto2) & (0\punto3)+(-1\punto-2) \end{bmatrice}= \begin{batrix} -1 & 3\ -2 & 2 \end{bmatrice}$$

Se vogliamo ruotare una figura operiamo in modo simile a quando creiamo una riflessione. Se vogliamo ruotare in senso antiorario una figura di 90° moltiplichiamo la matrice dei vertici con

$$$$begin{bmatrix} 0 & -1\\1 & 0 \fine{bmatrice}$$

Se vogliamo ruotare in senso antiorario una figura di 180° moltiplichiamo la matrice dei vertici con

$$begin{bmatrice} -1 & 0\0& -1 \fine{bmatrice}$$

Se vogliamo ruotare in senso antiorario una figura di 270°, o in senso orario una figura di 90°, moltiplichiamo la matrice dei vertici con

$$begin{bmatrice} 0& 1\\ -1& 0 \fine{bmatrice}$$

Lezione video

Rotare il vettore A di 90° in senso antiorario e disegnare entrambi i vettori nel piano delle coordinate

$$${underset{A}{fila destra}={begin{bmatrice} -1 & 2\\ -1 & 3 \fine{bmatrice}$$