入力の再フォーマット :
入力に加えた変更は解に影響しません:
(1)． “x2” は “x^2” に置き換えられました。
ステップバイステップの解答 :
中間項を分割して因数分解してみる
1.1 因数分解 x2-2x-1
最初の項は、x2 その係数は 1 .
中間項は、-2x その係数は -2 .である。
最後の項（定数）は-1
ステップ1：初項の係数に定数1 -1 = -1を掛ける
ステップ2：和が中項の係数-2に等しい-1の係数を2つ求める 。
| -1 | + | 1 | = | 0 |
Observation : そんな係数はない!!!
結論 : 三項式は因数分解できない
ステップ1終了時の式 :
x2 - 2x - 1 = 0
ステップ2 :
放物線、頂点を求める :
2.1 y = x2-2x-1 の頂点を求める
放物線には最高点と最低点という頂点が存在します。 我々の放物線は開き、それに伴って最低点（別名、絶対最小点）を持っている。 これはyをプロットする前からわかっていることで、第1項の係数1が正（0より大きい）であるからである。
各放物線には、その頂点を通る垂直な対称線がある。 この対称性から、例えば、放物線の2つのx切片（根または解）の中点を対称線が通ることになります。 つまり、放物線が実際に2つの実数解を持っている場合です。
放物線は、上方に投げられた物体の、ある時間後の地上からの高さなど、多くの実生活の状況をモデル化することができます。 放物線の頂点は、上に投げられた物体が到達できる最大高さなどの情報を与えてくれます。 このため、頂点の座標を求めることができるようにしたい。
任意の放物線Ax2+Bx+Cについて、頂点のx座標は-B/(2A)で与えられます。 この場合、x 座標は 1.0000 です。
放物線の公式 1.0000 に x を当てはめると、y 座標が計算できます。
y = 1.0 * 1.00 * 1.00 – 2.0 * 1.00 – 1.0
or y = -2.000
放物線、グラフの頂点とX切片：
二次方程式を平方完成で解く
二次式で解く
2.3 x2-2x-1 = 0 を二次式で解く .
二次式によると、x 、Ax2+Bx+C = 0 の解は、A、B、Cは係数と呼ばれることが多い数で、次式で与えられます。
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
この場合、A = 1
B = -2
C = -1
したがって、B2 – 4AC =
4 – (-4) =
8
2次の式を適用すると、 :
2 ± √ 8
x = —-
2
√ 8は簡略化できるか？
そうです! 8の素因数分解は
2-2-2
ラジカルの下から何かを取り除くには、そのインスタンスが2つ必要です（平方すなわち2根を取っているので）
√ 8 = √ 2-2-2 =
± 2 – √ 2
√ 2、10桁に丸めると1です。4142
ここで、
x = ( 2 ± 2 – 1.414 ) / 2
二つの実解：
x =(2+√8)/2=1+√ 2 = 2.414
または：
x =(2-√8)/2=1-√ 2 = -0.414
二つの解を見つけた：
……