6.3 Belief Networks

条件付き独立性の概念は、多くの領域の簡潔な表現を与えるために使用することができます。 この考え方は、ランダムな変数Xが与えられたとき、Xが直接影響する変数の値を与えられた他の変数から条件付きで独立であるという意味で、その変数の値に直接影響する変数の小さな集合が存在する可能性があるということである。 このような局所的に影響を与える変数の集合をマルコフブランケットと呼ぶ。 この局所性を利用したのが、ビリーフネットワークである。 信念ネットワークは、一組の確率変数間の条件付き依存性の有向モデルである。 信念ネットワーク(Belief Network)における条件付き独立性の正確な記述は、この方向性を考慮したものである。 次に、変数の総順序X1,…,Xnを選択する。

連鎖法則（命題6.3）は、条件付き確率に接続詞を分解する方法を示している。

∏i=1n P(Xi=vi|X1=v1∧—∧Xi-1=vi-1)=X1).

P(X1=v1∧X2=v2∧—∧Xn=vn)
	=

あるいは、確率変数と確率分布の観点から、

∏P(Xi|X1, —, Xi-1)⊖。

P(X1, X2,—, Xn)

=

確率変数Xiの親(parents(Xi))を、Xiの他の先行者がparents(Xi)を与えられたXiから条件付き独立である、全順序におけるXiの先行者の最小集合と定義する。 すなわち、parents(Xi) ⊆{X1,…,Xi-1} that

P(Xi|Xi-1…X1) = P(Xi|parents(Xi)).

複数の最小集合がある場合、任意の最小集合を親として選択することが可能である。

連鎖法則と親の定義を合わせて、

P(X1, X2,—, Xn)

=

∏i=1n P(Xi|parents(Xi)) とするとよい。

すべての変数に対する確率、P（X1，X2，—，Xn）を合同確率分布と呼ぶ。 ベイズネットワークとも呼ばれる信念ネットワークはacyclicdirected graph (DAG)であり、そのノードが確率変数である。 信念ネットワークに関連するのは、条件付き確率分布のセット、すなわち、その親を与えられた各変数の条件付き確率（これは親を持たないそれらの変数の事前確率を含む）である。

従って、belief network は

• a DAG, where each node is labeled by a random variable;
• a domain for each random variable; and
• a set of conditional probability distributions giving P(X|parents(X)) for each variable X.

a belief network is acyclic by construction.から構成される。 連鎖法則が接続詞を分解する方法によって順序が決定される。 異なる分解は異なる信念ネットワークになることがある。

このネットワークは因数分解

P(Tampering) ×P(Fire) ×P(Alarm|Tampering,Fire)

P(Tampering,Fire,Alarm,Smoke,Leaving.P) を表現している。Report)
	=
	×P(Smoke|Fire) ×P(Leave|Alarm) ×P(Report|Leaving)。

また、各変数の領域を定義しなければならない。 変数がブール値であると仮定する。すなわち、それらはドメイン{true,false}を持つ。 我々は、真の値を表すために変数の小文字の変数を使用し、偽の値には否定を使用する。 したがって、例えば、Tampering=trueはtamperingと書かれ、Tampering=falseは¬tamperingと書かれる。

この後の例では、以下の条件付き確率を仮定している：

• 各電線wiについて、電線wiに電力があるかどうかを示す領域{live,dead}の確率変数Wiが存在する。 Wi=liveはwire wiに電力があることを意味します。 Wi=deadはwire wiに電力がないことを意味する。
• Outside_powerはドメイン{live,dead}で、建物に入ってくる電力があるかどうかを示す。
• それぞれのスイッチsiに対して、変数Si_posはsiの位置を示す。 ドメインは{up,down}である。
• 各スイッチsiについて、変数Si_stはスイッチsiの状態を示す。 ドメインは｛ok,upside_down,short,intermittent,broken｝である。 Si_st=okはスイッチsiが正常に動作していることを意味する。 Si_st=upside_downは、スイッチsiが上下逆に設置されていることを意味する。 Si_st=shortは、スイッチsiが短絡しており、電線として動作していることを意味します。 Si_st=brokenは、スイッチsiが壊れており、電気が流れないことを意味する。
• 各回路遮断器cbiについて、変数Cbi_stはドメイン{on,off}を持つ。 Cbi_st=onはcbiに電気を流すことができることを意味し、Cbi_st=offはcbiに電気を流すことができないことを意味する。
• 各ライトliについて、ドメイン{ok,mittittro,broken}を持つ変数Li_stがライトの状態を表す。 Li_st=okは電源が入れば点灯する、Li_st=intermittentは電源が入れば断続的に点灯する、Li_st=brokenは点灯しないことを意味する。

信念ネットワークは条件付き独立性のグラフ表現であり、独立性によってグラフ内に直接効果を描くことができ、どの確率を指定しなければならないかが規定されている。 信念ネットワークに埋め込まれた独立性の仮定は以下の通りである：各確率変数はその親を与えられた非子孫に対して条件付き独立である。 すなわち、Xが親Y1,…, Ynを持つ確率変数である場合、Xの子孫でないすべての確率変数は、Y1 ,…, Ynを与えられたXから条件付きで独立する：

P(X|Y1,…, Yn,R)=P(X|Y1,…, Yn),

もしRにXの子孫が含まれていないなら、この定義のために、X自身を子孫として含む。 この式の右辺は、信念ネットワークの一部として指定される確率の形式である。Rは、Xの子孫でない限り、Xの祖先や他のノードを含むことができる。

しばしば、ラベル付きDAGだけを信念ネットワークと呼ぶことがある。

各変数について指定しなければならない確率の数は、その変数の親の数に対して指数関数的であり、独立性の仮定は別の変数に直接影響する変数の数が少ない限りにおいて有用である。

Belief Networks and Causality

ビリーフ・ネットワークはしばしば因果関係ネットワークと呼ばれ，因果関係の良い表現であると主張されてきた． 各確率変数X1 とX2 の組について、X1 からX2 への直接的な因果関係が存在する場合（すなわち、他の変数の文脈でX1 を変更するために介入するとX2 に影響し、これは何らかの介入変数を持っていてはモデル化できない）、X1 からX2 へ弧を追加する。 この因果モデルは、信念ネットワークの独立性の仮定に従うと予想される。 したがって、信念ネットワークの結論はすべて有効である。

また、このようなグラフが非周期的であることを期待することになる。 この仮定は、確率変数がイベントの種類ではなく、特定のイベントを表すと考えるなら、合理的である。 例えば、「ストレスを感じる」ことが「仕事の効率が悪い」ことを引き起こし、それが「ストレスを感じる」ことを引き起こすという因果関係の連鎖を考えてみよう。 この連鎖を断ち切るために、異なる段階での “ストレスを感じること “を異なる時間を参照する異なる確率変数として表現することができる。 過去にストレスを感じたことで、今現在の仕事がうまくいかず、それが原因で未来にストレスを感じるようになる。 変数は、明確性の原則と明確に定義された意味を持つshouldsatisfy。

Belief Network自体は因果関係については何も語っておらず、非因果的な独立性を表すことができるが、ドメインに因果関係がある場合に特に適しているようである。 局所的な因果関係を表す弧を追加すると、小さな信念ネットワークができあがる傾向がある。 図6.2の信念ネットワークは、これが単純なドメインでどのように行われるかを示している

Acausal Network models interventions. 誰かが人為的に特定の値を持つように変数を強制すると、その変数の子孫（他のノードには影響しない）は影響を受けるだろう。 最後に、信念ネットワークの因果関係が、5.7節で説明した因果的推論と証拠的推論にどのように関連しているかがわかるでしょう。 因果的な信念ネットワークは、因果的な方向で公理化したものと見なすことができる。 信念ネットワークにおける推論は、原因を推測し、それから予測することに相当する。 5.7節で述べた論理に基づく帰納的な見方と信念ネットワークとの間には直接的な対応関係が存在する。 信念ネットワークは、可能な仮説に対する確率を持つ論理プログラムとしてモデル化することができる。 これについては、セクション14.3で説明する。

ビリーフネットワークの独立性の定義で、「各ランダム変数はその親を与えられた非子孫から条件付きで独立である」という制約に注意。 もしRが変数Xの子孫を含んでいれば、独立性の仮定は直接適用されない。