多くの生徒が高校で幾何学の壁にぶつかり、数学の旅が終わってしまいます。 この壁があるために、数学の授業を続けることができず、大学への進学がうまくいかないことがよくあります。
この壁を克服するのが難しいのには、いくつかの理由があります。 まず、人には、算数的な数学のアプローチ方法と視覚的・幾何学的なアプローチのどちらかに、生まれつきの傾向があるという証拠があるようです。 前者のグループにとって、空間的に推論する能力は、他のグループほど簡単なものではありません。 教師として、私たちはその人の生まれ持った能力をコントロールすることはできません。 外国語の習得が早い生徒もいれば、生まれつき協調性のある生徒もいます。
教育者にとっての朗報は、これらの欠陥が、これらのスキルの開発や学習ができないことを意味しないことです。 多くの生徒にとって、幾何学が理解できないのは、空間的なカリキュラムを経験する機会がないことが一因です。
多くの教科書や地区のペース配分ガイドでは、数字、算数、代数的推論が強調されています。 幾何学は（データや統計とともに）本の最後の章や州のテストの後の年の最後の数週間に挟み込まれることが多い。 私たち教育者は時間に追われ、十分に理解できなかった概念の再教育や復習をする必要があるため、それらの章まで手が回らないことが多いのです。 こうして生徒たちは、次のようなスキルを身につけて高校の幾何学に入学する。 「図形の名前は知っているし、面積の公式も覚えなければならなかったが、覚えていない」
幾何学的思考に関する画期的な研究は、オランダ人のファン・ヒール夫妻によって行われたことが判明した。 彼らは、幾何学の学習方法について2つの重要な発見をしました。 まず、幾何学的思考には5つの段階があることです。 (次に、これは本当に良いニュースなのですが、あるレベルから次の高いレベルへの移行は、年齢による認知能力の発達の問題というよりも、むしろこれらの幾何学的経験に触れることにかかっているのです
。 あるレベルの生徒が他のレベルに飛躍することはできず、各層を順次移動していかなければならない。 (ヴァン・ヒーレは5つのレベルに0～4の番号をつけたが、アメリカの研究者は、子供が幾何学的知識を持たないレベル0を許容するために1～5に分類し直した）
1. 視覚化-子供は特性ではなく見た目で形を識別することができる。 このレベルの生徒は、正方形が長方形の一種であると見なさないかもしれないし、少し回転していても正方形と見なさないかもしれない。
2.分析-このレベルでは、生徒は性質と形を関連付けることを始める。 回転した正方形を識別するのに苦労していた生徒は、今ではそれが4つの合同な辺と4つの直角を持ち、したがって正方形であることに気づく。 同様に、レベル 1 の生徒は、頂点が下を向き、底面が上にある三角形を認識するのに苦労しますが、レベル 2 の生徒は、3 つの辺がそれを三角形にすることを理解します。 抽象化 – これで生徒は、特性について考え始め、それを誘導推論を伴う議論に適用できます。 4つの異なる三角形がすべて180°の内角和を持つことを見た生徒は、そのパターンを使ってすべての三角形が同じ内角和を持つはずだと推論します。 演繹 – このレベルでは、生徒は前のレベルからの推測を証明するために演繹的論理を使用します。 厳密さ-前のレベルを超えて、否定による証明や非ユークリッド幾何学を探求します。
このように、小学校のほとんどの生徒はレベル1で活動しています。つまり、形を認識しています。 しかし、彼らは常に流暢かつ正確にこれを行うわけではありません。 以前、4年生と5年生の生徒たちに正方形を見せ、その形を挙げるように言ったことがあります。 彼らは問題なくそれが正方形であることを私に伝えました。 しかし、正方形を回転させて野球のダイヤモンドに見立てると、10人中9人がダイヤモンドと答えました。 残りの9人は「ひし形だ」と答えました。 一方、高校の代数はレベル4と5で教えられる。
これに対して、高校の代数はレベル4と5で教えられますが、生徒はこれらのレベルを順に進んでいかなければならないので、まるで、最初と最後の2段しかない、真ん中に大きな隙間のあるはしごを登るように言われているようなものです。 正方形を識別することは、ほとんどの州の幼稚園の基準になっています。 しかし、私が尋ねた生徒のうち、5年後に正方形が何であるかを知っていたのは、わずか1％でした。 これは明らかに、教科書や教師が正方形を示したとき、通常、ページの底に平行な基線が描かれていたからです。
ところが、同じ問題を8年生に出したところ、ほぼ全員が、回転させても正方形であることを認識できたのです。 このことは、彼らの知識の習得が、幼稚園の指導の結果ではなく、むしろその後の学年での経験によるものであることを示しています。
これは再び良いニュースです。 しかし、ほとんどの教科書はこのような機会を提供していないため、これらの授業を作るのは私たちの役目です。 幸いなことに、このような授業は世の中に存在する。 今後のブログで、生徒の幾何学的な梯子のギャップを埋めるのに役立つ中間的な活動の例を紹介したいと思います

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