あらゆる測定には誤差があり、一見同じ実験を繰り返しても異なる結果が得られることは、今日では科学者にとって当然のことである。 しかし、ガリレオの時代の知的風潮では、正しいことと間違っていることの間にグレーゾーンを認めない論理的な三段論法が結論を導き出す手段として受け入れられており、彼の新しい手順は説得力を持つには程遠かった。 彼の研究を評価する上で忘れてはならないのは、現在、科学的成果を報告する際に受け入れられている慣習が、ガリレオの時代よりずっと後に採用されたということである。 例えば、ピサの斜塔から落とした2つの物体が、手のひらほどの間隔もなく一緒に地上に到達したことを事実として述べたとしても、彼自身がその実験を行ったか、行ったとしてもその結果が極めて完全であったと推論される必要はないのである。 このような実験は、少し前（1586年）にフランドルの数学者シモン・ステヴィンが行っているが、ガリレオはその結果を理想化した。 軽い球と重い球が一緒に地面に着くとは限らないし、両者の差は常に同じで、同じ瞬間に落とすという理想を再現することは不可能である。 それでもガリレオは、両者の速度に大きな差があることよりも、一緒に落ちたと言った方が真実に近いと納得したのである。 このように不完全な実験を理想化することは、今でも不可欠な科学的プロセスであるが、今日では、一次観測結果を提示する（あるいは少なくとも精査できるようにする）ことが適切と考えられており、理想的に行われた実験で観測されたであろうことについての著者の結論を受け入れる準備ができているかどうかを、他の人々が独自に判断できるようにしているのだ

その原則は、現代の機器を駆使して、ガリレオ自身が行ったような実験-すなわち、緩やかに傾けた溝から異なる距離を転がしてかかる時間の計測を繰り返すことで説明できるだろう。

真鍮の水路に6cm間隔で線を引き、ボールはカードで最も高い線の横に静止させた。 カードを離した瞬間に電子タイマーがスタートし、ボールが他の線を通過するとタイマーは停止する。 各タイミングを7回繰り返したところ、測定値は通常1/20秒の範囲に広がったが、これは人間の限界によるものと思われる。 このような場合、測定値に偶然の誤差があると、その偶然の誤差の原因を取り除いた場合の結果の推定値が、多くの繰り返しの平均値によって改善される。推定値が改善される要因は、測定回数の平方根にほぼ等しい。 さらに、ドイツの数学者カール・フリードリッヒ・ガウスが提唱した誤差の理論により、結果の信頼性を定量的に見積もることができる（表では従来の記号±で表現）。 これは、2列目の最初の結果が0.671と0.685の間にあることが保証されているのではなく、この7つの測定値の平均の決定を何度も繰り返せば、約3分の2の決定がこの範囲に入るという意味である。

図1のようなグラフによる測定値の表現はガリレオにはなかったが、フランスの数学者・哲学者ルネ・デカルトの仕事の結果として彼の時代のすぐ後に発展したものである。 点は放物線に近い位置にあり、描かれる曲線はx = 12t2という方程式で定義される。 このフィット感は完全ではないので、より良い式を見つけるために試してみる価値がある。 カードが取り除かれてボールが転がるときにタイマーをスタートさせる操作と、ボールがマークを通過するときにタイマーをストップさせる操作が異なるので、ランダムなタイミング誤差に加えて、それぞれの測定値tに系統的な誤差が現れる可能性がある。つまり、それぞれの測定値tは、t＋t0と解釈することができ、t0にはまだ知られていない一定のタイミング誤差があると思われる。 もしそうなら，測定された時間が距離と x = at2 (aは定数) ではなく，x = a(t + t0)2 で関係しているかどうかを見ることができるだろう． これは、√xの平方根の値をtの測定値に対してプロットすると、直線上に並ぶはずだという方程式を、√xの平方根＝√a（t＋t0）と書き換えて、まずグラフで検証することも可能である。 図2を見ると、直線は原点を通らず、-0.09秒で横軸を切っていることがわかる。 このことから、t0 = 0.09秒であり、の表で示されたすべての測定値の組で(t + 0.09)xが同じになるはずだと推論される。 3番目の列は、これが確かにそうであることを示している。 実際、この恒等式は推定された誤差を考慮すると、予想されたよりも優れている。 これは統計的な偶然と考えなければならない。もし、最後の欄の数字が0.311と0.315の間であったとしても、この式の正しさに大きな保証を与えるものではない。 もし、全実験を再び繰り返したときに、これほど一定の結果が得られたら驚くだろう。

そこで考えられる結論は、何らかの理由（おそらく観測バイアス）により、測定された時間は、静止状態から出発した球が距離xを移動するのにかかる実際の時間tを0.09秒過小評価している、ということです。 そこで、水路の傾斜を変えて実験してみたところ、一般的には、x = at2 となり、a は傾斜に比例することがわかった。 この暫定的な理想化は、今後の実験によって修正されたり、捨てられたりする可能性がある。 しかし、数学的な形にした以上、数学的に解析して、それがどのような結果を意味するのかを明らかにすることができる。 9704>

xがtにどのように依存するかを示す図1のようなグラフから、任意の瞬間のボールの瞬間速度を推論することができる。 例えば、t=0.6秒のとき、毎秒約14cmの一定速度で動くボールのxとtの関係を描いた接線の傾きである。 この瞬間の前の傾きは小さく、後の傾きは大きいことから、ボールは着実に加速していることがわかる。 tの値をいろいろ変えて接線を引くと、瞬時の速度はボールが転がり始めてからの経過時間にほぼ比例しているという結論になる。 しかし、このような不正確な計算方法は、初歩的な微積分を適用することで不要になる。 瞬時速度 v は x の t に関する微分で、もし

速度が経過時間に厳密に比例するということは、t に対する v のグラフが原点を通る直線になることを意味します。 これらの量のグラフでは、直線かどうかにかかわらず、任意の点での接線の傾きは、その瞬間に速度が時間に対してどのように変化しているかを示している。 数学的に表現すると、f = dv/dt = d2x/dt2ですが、今回の場合、fは一定の値2aをとります。

以上のことから、まっすぐな斜面を転がる球は一定の加速度を生じ、加速度の大きさは傾きに比例することがわかります。 ここで、別の実験配置で何を予測するかで、結論の妥当性を検証することが可能である。 可能であれば、予備的推論を導いた実験よりも正確な測定ができるような実験が設定されます。 図3のように、球の中心が半径rの円弧を描くように湾曲した水路を転がすと、そのような実験ができる。 円弧が浅い場合、その最下点からの距離xにおける傾斜はx/rに非常に近く、最下点に向かう球の加速度はx/rに比例します。 比例定数を表すcを導入すると、これは微分方程式

図3：曲がった水路を転がる球（本文参照）

図3：曲がった水路の中で、ボールが転がる様子。

Encyclopædia Britannica, Inc.

ここで、xがtに対してどのように変化するかを示すグラフにおいて、曲率d2x/dt2がxに比例して、図4のように逆符号となることが述べられています。 グラフが軸と交差するとき、xと曲率はゼロとなり、直線は局所的に直線となる。 このグラフはt = 0でx = Aから解放された後の±Aの極値間の球の振動を表している。この図が図式化された微分方程式の解は

ここで角周波数と呼ばれるωは√（c/r）の平方根と表記されます。 この解析によれば、周期Tは振動の振幅とは無関係であり、この意外な予言は厳密なテストが可能であろう。 球を曲がった水路で転がす代わりに、単純な振り子の軸にすると、同じ軌道をより簡単かつ正確に実現できる。 周期が振幅に依存しないことを検証するために、2つの振り子をできるだけ同じ大きさに作り、同じ振幅で振ったときに歩調が合うようにすることができる。 次に、それらを異なる振幅で振る。 片方の振幅が大きくない限り、周期の違いを見つけるにはかなりの注意が必要であり、その場合、周期はわずかに長くなっている。 ほぼ予測通りになっても、そうでない場合は、必ずしも最初の仮説が間違いであるとは限らない。 この場合、周期の厳密な一定性を予測した微分方程式自体が近似であったことになる。 しかし、x/rを真の傾きの式に置き換えて再定式化すると、（かなり重い数学が含まれるが）厳密な検証の結果、周期が振幅によって変化することが示されたのである。

ガリレオの加速度の法則は、周期を表す2πSquare root of√(r/c) の物理的基礎ですが、Tがrの平方根として直接変化することを発見したことにより、さらに強化されました。

さらに、このような測定によって定数cの値が高い精度で決定され、それが自由落下する物体の加速度gと一致することが判明したのである。 実際、長さrの単純な振り子の小さな振動の周期を表す公式T = 2πSquare root of√(r/g) は、gを測定する最も精密な方法の中核をなしている。これは、科学界がガリレオの記述した理想の振る舞いを受け入れ、小さな逸脱が理想とその実験の実現の間の必然的な不一致と理解できる以上、その信念を揺るがすとは思わなかったのであれば起こり得なかったことであろう。 20世紀前半の量子力学の発展は、原子サイズの物体にこの記述を適用すると、体系的に破綻することを不本意ながら受け入れたことに端を発している。 この場合、周期の変化のように、物理的な考え方をより正確に数学に置き換えるという問題ではなく、物理的な基礎全体を根本的に見直す必要があったのです。 しかし、それまでの考え方が捨てられることはありませんでした。 その結果、その絶対的な有効性を安全に仮定できる状況をより明確に理解することができたのである

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