解説：純粋数学のポイント

純粋数学とは何ですか？純粋数学者は何をするのか？なぜ純粋数学が重要なのでしょうか？

これらの質問は、私が純粋数学をやっていることがわかると、しばしば直面するものです。

私はいつも何とか答えを出そうとしますが、完全に満足することはないようです。

そこで、これらの 3 つの質問に対して、より定型的で成熟した回答をすることを試みます。

大まかに言えば、数学には2つの異なるタイプがあります（すでに抗議の声が聞こえてきそうですが）。バートランド・ラッセルなどの哲学者は、この分類に厳密な定義を与えようとしたのです。

これが意味するのは、2つのグループの人たちが行う数学のパラダイムが違うということなのです。

純粋数学者は、しばしば抽象的な問題によって動かされる。抽象的なものを具体化するために、いくつかの例を挙げます。 “双子の素数は無限にあるのか “とか “すべての真の数学的声明には証明があるのか “とか。

より正確に言うと、数学は公理から構築され、数学的真理の性質は述語論理によって支配されている。

数学の定理とは、論理を用いた演繹によってその真偽を疑いなく示す証明を伴った真言である。

経験的理論と異なり、例外が生じると変化する可能性のある説明を単に構築するだけでは不十分である。

数学者が証拠によって真であると疑われるが、証明されないものは単なる推測である。

応用

応用数学者は通常、物理世界から生じる問題によって動機づけられている。彼らはこれらの問題をモデル化し解決するために数学を使用する。

これらのモデルは実際に理論であり、あらゆる科学と同様に、それらは検証可能性と反証可能性に左右される。問題についての情報量が増えれば、これらのモデルも変化する可能性がある。

純粋と応用は、必ずしも相反するものではありません。

純粋数学者が追求する問題の中には、具体的な物理的問題、特に相対性理論や量子力学から生じる問題に根差したものが数多くある。

一般に、そのような現象の理解を深めていくと、さまざまな「技術的なこと」が出てきます（これらの技術的なことを説明するのは非常に困難だと言ったら、私を信じてください）。これらは純粋に数学者が攻撃できる純粋に数学的な記述に抽象化される。

これらの数学的問題を解くと、重要な応用が可能になる。

抽象的思考が、現代社会の機能を支える装置であるコンピュータの開発にいかにつながったか、具体例をあげよう。プログラムを変更するには、非常にコストがかかり面倒な作業だった。

そのような恐竜の現代の名残が、基本的な計算しかできないポケット電卓だろう。これに対して、現代のコンピュータは、電卓のプログラム、あるいはワープロのプログラムをロードすることができ、そのために機械を切り替える必要はない。

このパラダイムシフトは1940年代半ばに起こり、ストアドプログラムまたはフォン・ノイマン・アーキテクチャと呼ばれています。

広く知られているが、あまり知られていないのは、このコンセプトが Entscheidungsproblem (決定問題) と呼ばれる抽象的な数学問題の調査に根ざしていることである。

「決定問題」は、1928年に有名な数学者であるデヴィッド・ヒルベルトによって定式化されました。

おおよそ次のように訳すことができる。 “有限回のステップで数学的な文の真偽を決定できる手順が存在するか”。

これに対して、1936年と1937年にアロンゾ・チャーチとアラン・チューリングがそれぞれ独立して否定的な答えを出している。チューリングはその論文の中で、現在我々がチューリングマシンと呼んでいる抽象的な機械を定式化した。

この機械は、無限に長いテープ（記憶）、一歩ずつ移動してテープからの読み書きができるヘッド、ヘッドに指示を与える有限の命令表、および有限の状態（「受け入れる」、「拒否する」など）の集合を持っている。テープ上の入力で機械を起動させる。

このような機械は、無限に長いテープを持っているので、数学の領域の外には存在できない。

しかし、これは計算可能性の概念を定義するために使われるツールである。つまり、チューリング機械を使って問題を符号化できれば、その問題は計算可能であると言うのである。

そして、チューリング機械と固定プログラム機械との類似性を見ることができます。

さて、任意のチューリング機械Tの命令表と状態（適切に符号化されている）を受け取り、同じテープ上でTに入力Iを行い、入力Iに対してチューリング機械Tを実行できるチューリング機械Uがあるとしよう。

チューリングは1937年の論文で、普遍的なチューリング機械が存在するという重要な存在定理を証明する。これは、現代のプログラマブル・コンピュータの基礎となるストア・プログラム概念の並列となりました。

数学の基礎に関する抽象的な問題が、現代のコンピュータの出現の基礎を作ったことは驚くべきことです。

数学者が物理世界の制約を受けず、想像力に訴えて抽象的な対象を創造し構築できるのは、純粋数学の特徴であろう。

だからといって、純粋数学者がエネルギーやエントロピーなどの物理的概念を形式化して、抽象的な数学を行わないというわけではない。

いずれにせよ、この例は、純粋に数学的な問題の追求が、社会にとって非常に価値のある大義であることを説明するものであるべきです。