数学者は、特定の状況下ではオイラー方程式が破綻することを何年も前から疑っていました。 しかし、この失敗が発生する正確なシナリオを特定することはできませんでした。

方程式は、流体がどのように動くかを理想的に数学的に記述したものです。 ある仮定の範囲内で、池に波紋が広がる様子や、瓶から糖蜜が滲み出る様子をモデル化しています。 9179>

しかし、新しい証明では、特定の条件下で、方程式は失敗することがわかりました。「1年半前なら、これは私が生きている間には見られないかもしれないことだと言ったでしょう」と、カリフォルニア大学サンディエゴ校の数学者で、この新しい研究の著者である Tarek Elgindi 氏は語ります。

プリンストン大学の数学者である Peter Constantin は、「これは偉大で素晴らしい業績だと思います」と語りました。 むしろ、彼は、非常に特殊な状況下で、方程式がオーバーヒートして、いわば無意味なものを出力し始めることを証明したのです。 より現実的な条件下では、方程式は今のところまだ無敵です。

しかし、エルジンジが見つけた例外は、数学者にとっては驚くべきものです。

「一般に、人々は Tarek の例にかなり驚いていると思います」と、ニューヨーク大学の数学者 Vlad Vicol 氏は語ります。 ニュートンの方程式がテーブルの上のビリヤードの玉の運動を記述するように、この方程式は流体の時間発展を記述する。 この記述には、粒子の速度（どのくらいの速さでどの方向に動いているか）と、渦度（コマのようにどのくらいの速さでどの方向に回転しているか）として知られる関連量が含まれます。

この情報をまとめると「速度場」となり、これはある瞬間の流体の運動のスナップショットとなります。 オイラー方程式は、初期の速度場から始まり、それが将来のあらゆる瞬間にどのように変化するかを予測します。 いくつかの非物理的な仮定を含んでいる。 たとえば、この方程式は、流体内の内部流体が互いに移動するときに摩擦を発生させない場合にのみ機能します。 また、流体は「非圧縮性」であると仮定しています。つまり、オイラー方程式のルールでは、流体をそれがすでに占めている空間よりも小さな空間に押し込めることはできないのです。

「モデルをある理想化された世界、方程式をこの世界での運動規則と考えることができます」と、ミネソタ大学の Vladimir Sverak は電子メールで書いています。

これらの不自然な条件により、数学者・物理学者の John von Neumann は方程式を「乾いた水」のモデルだと言い放ちました。 内部摩擦 (または粘性) を伴うより現実的な流体の運動をモデル化するために、研究者は代わりにナヴィエ・ストークス方程式を使用します。 実際の流体には摩擦があります」とコンスタンチンは言います。

しかし、オイラー方程式は今でも科学において由緒ある地位を占めています。 研究者たちは、この方程式がこの摩擦のない、非圧縮性の、理想化された世界の中で明確に機能するかどうか、つまり、あらゆる可能な初期速度場のすべての将来の状態を記述できるかどうかを知りたがっているのです。 別の言い方をすれば Sverak 氏は次のように述べています。「基本的な疑問は、方程式は常にその役割を果たすことができるかということです」

理論的には、流体の現在の状態について値を入力すると、方程式は将来の状態について正確な値を生成します。 それから、それらの新しい値を方程式に再び差し込み、予測を拡張することができます。 通常、このプロセスは、あなたが見ようとする限り、一見、未来までうまくいきます。

しかし、非常にまれな状況下で、方程式が故障することもありえます。 未来の入力として機能する出力を生成しながら、物事がうまくいかなくなり、方程式が最終的に計算を続けることができない値を生成してしまうことがあります。 このような状況で、数学者は方程式が「爆発する」と言います。

オイラー方程式が爆発するとしたら、それは点の速度または渦度を非常に不自然な方法で増幅しているからでしょう。 増幅があまりに極端なので、有限時間のうちに、ある点の速度や渦度が無限大になってしまうのでしょう。 そして、一度無限大の値を出してしまうと、方程式はクラッシュしてしまい、将来の状態を追加で記述することができなくなる。 これは、一般に、ゼロで割るのと同じように、無限の値で計算することはできないからである。 (

このような致命的な無限大の値を “特異点 “と呼びます。 数学者が「オイラー方程式はいつもうまくいくか」と尋ねるのは、本当は「オイラー方程式が特異点を生むようなシナリオがあるか」と聞いているのです。

多くの数学者は答えはイエスだと考えていますが、方程式が実際に爆発するような特定のシナリオは見つかっていません。 と Constantin 氏は語ります。

この新しい研究は、数学者が最も気にしている正確な条件下で、方程式が特異点を生み出すことを示したものではありません。 しかし、これはその目標に最も近い結果です。 それを達成するために、Elgindi は流体がどのように動くかの単純化されたモデルを考慮しました。

Reducing Complexity

数学者は、オイラー方程式にモデル化を依頼した流体運動の複雑さを減らすために多くの異なる方法を持っています。 Elgindi のような最も興味深い結果の多くは、流体の挙動をどこまで単純化できるか、つまり方程式に入力するデータをどこまで単純化できるか、一方で方程式自体について何か意味のあることを言えるかどうかを実証することにあります。 これはかなりの運動の自由度です。 さらに、流体の異なる部分における粒子の動きには、必ずしも強い関係があるわけではありません。

Elgindi 氏は、「追跡するには多すぎる」と述べています。 彼は、流体が z 軸を中心とした対称性を示すことを要求していますが、これは実際の流体では通常見られないことです。 この対称性によって、z軸の両側にある点は互いに鏡像であることがわかるので、速度場の計算が容易になる。 つまり、ある点で速度や渦度がわかれば、その値の符号を反転させるだけで、2点目での値がわかるということだ。 粒子は、z軸に沿って、またはz軸に向かうか離れるかの2つの一般的な方向に移動することが許可されています。 しかし、z軸のまわりを回転することはできない。 数学者は、このような流体には「渦がない」と言います。

最後に、Elgindi は、オイラー方程式に入力する初期データに特定の追加条件を設定します。 そのデータは、現実の流体を記述する値よりもある意味粗く、特異点が形成されやすくなります。

現実の世界では、流体のある点から別の点に非常に小さな距離を移動すると、2点目の速度は1点目の速度と非常に似ています。 同様に、2つの点での渦度も非常に似ているはずです。 数学者は、このような性質を持つ速度場を「滑らか」であると言います。つまり、ある点から次の点へ移動するときに、値が連続的に、つまり滑らかに変化するのです。 エルジンジの流体に関する記述にはそれがありません。

「Tarekのデータの渦度はもっと劇的に変化することがあります」とVicolは言います。 「9179>

Elgindi の単純化は、実際の流体挙動から離れすぎていて、役に立たないように見えるかもしれません。

実際、Elgindi は、このように単純化された、しかし単純化されすぎていない条件下で、オイラー方程式が非常に意外な結果を生み出し始めることを示しました。 というのも、エルジンジの研究は境界のない流体、つまり空間に塊のように浮かんでいる流体に関するものだからです。 しかし、彼の研究の核となるシナリオを視覚化するためには、水槽の中に水を置くことが有効です。

次に、水槽の反対側の端にある2つの太い水の輪を思い浮かべてください。 このリングは渦や渦巻きのように、流体本体の中に組織化された乱れを形成します。

次に、対向するリングが互いに向かって移動する様子を想像してください。

それらが進むとき、バックグラウンドでオイラー方程式が正常に動作し、各時点での流体を記述する速度場を計算しています。 しかし、リングが互いに近づくと、方程式はいくつかの乱暴な値を報告し始めます。

彼らはリングがますます強く互いに引き合うことを示し、特にリングの最も内側の部分がリングの最も外側の部分よりもさらに大きな力で互いに引き合い、引っ張っていることを示します。 その結果、環は細長くなり、一対の漏斗のような形状になりました。 中心が近づくにつれ、その速度はどんどん速くなっていきます。

そしてその瞬間に、衝突を記述する速度場を見ると、オイラー方程式の歴史の中で、この仮定の下では誰も見たことがない、特異点を見ることができるのです。 エルジンジは、オイラー方程式が衝突点で無限の渦度を計算することを証明したのです。 ゲームオーバーです。

「方程式の古典的な形が崩れるのです」とElgindiは言いました。 「9179>

この結果には、いくつかの限界があります。 すなわち、彼の証明から、完全に「滑らかな」条件下でのオイラー方程式の振る舞いに外挿することは不可能である。 これは、数学者が数十年前に、滑らかな条件下では、エルギンディの考えるシナリオは特異点を生まないことを証明したからです。

しかし他の点では、彼の結果は、数学者がこれらの古い方程式を見る方法を完全に変えています。 これまでのすべての研究で、数学者は、方程式がまったく機能しない場合、永遠に機能することを発見していました。

「これは非常に驚くべき結果で、我々が『ウェルポーズ』と呼ぶシナリオの下で特異点が存在することを証明しています。 それは理にかなっており、それにもかかわらず、この有限時間の特異点が得られるのです」と、コンスタンチン氏は述べました。 そしてついに、ある数学者がそれを発見したのです。