É hoje em dia tomado como certo pelos cientistas que cada medição está sujeita a erro, de modo que repetições de um mesmo experimento aparentemente dão resultados diferentes. No clima intelectual do tempo de Galileu, porém, quando silogismos lógicos que não admitiam nenhuma área cinza entre o certo e o errado eram o meio aceito para deduzir conclusões, seus novos procedimentos estavam longe de ser convincentes. Ao julgar seu trabalho é preciso lembrar que as convenções agora aceitas no relato de resultados científicos foram adotadas muito depois da época de Galileu. Assim, se, como é dito, ele afirmou como um fato que dois objetos caíram da torre inclinada de Pisa chegaram ao chão juntamente com não tanto quanto a largura de uma mão entre eles, não precisa ser inferido que ele mesmo realizou a experiência ou que, se o fez, o resultado foi tão perfeito. Algumas dessas experiências tinham sido realizadas um pouco antes (1586) pelo matemático flamengo Simon Stevin, mas Galileu idealizou o resultado. Uma bola leve e uma bola pesada não alcançam o chão juntas, nem a diferença entre elas é sempre a mesma, pois é impossível reproduzir o ideal de deixá-las cair exatamente no mesmo instante. No entanto, Galileu ficou satisfeito por ter ficado mais próximo da verdade ao dizer que elas caíram juntas do que por haver uma diferença significativa entre as suas taxas. Esta idealização de experimentos imperfeitos continua sendo um processo científico essencial, embora hoje em dia seja considerado adequado apresentar (ou pelo menos ter disponível para escrutínio) as observações primárias, para que outros possam julgar independentemente se estão dispostos a aceitar a conclusão do autor sobre o que teria sido observado em um experimento idealmente conduzido.

Os princípios podem ser ilustrados pela repetição, com a vantagem de instrumentos modernos, de um experimento como o próprio Galileu realizado – o de medir o tempo que uma bola leva para rolar diferentes distâncias por um canal suavemente inclinado. O seguinte relato é de uma experiência real destinada a mostrar, num exemplo muito simples, como o processo de idealização prossegue, e como as conclusões preliminares podem então ser submetidas a mais testes de busca.

Linhas igualmente espaçadas a 6 cm (2,4 polegadas) foram escritas num canal de latão, e a bola foi mantida em repouso ao lado da linha mais alta por meio de uma carta. Um timer eletrônico foi iniciado no instante em que a carta foi retirada, e o timer foi parado quando a bola passou por uma das outras linhas. Sete repetições de cada cronometragem mostraram que as medidas tipicamente se espalharam por um intervalo de 1/20 de segundo, presumivelmente devido a limitações humanas. Neste caso, onde uma medida está sujeita a erro aleatório, a média de muitas repetições dá uma estimativa melhorada do que seria o resultado se a fonte do erro aleatório fosse eliminada; o fator pelo qual a estimativa é melhorada é aproximadamente a raiz quadrada do número de medidas. Além disso, a teoria dos erros atribuíveis ao matemático alemão Carl Friedrich Gauss permite fazer uma estimativa quantitativa da confiabilidade do resultado, como expresso na tabela pelo símbolo convencional ±. Isto não significa que o primeiro resultado na coluna 2 está garantido entre 0,671 e 0,685, mas que, se esta determinação da média de sete medições fosse repetida muitas vezes, cerca de dois terços das determinações ficariam dentro destes limites.

A representação das medições por um gráfico, como na Figura 1, não estava disponível para Galileu, mas foi desenvolvida pouco depois do seu tempo, como consequência do trabalho do matemático francês René Descartes. Os pontos parecem estar próximos a uma parábola, e a curva que é desenhada é definida pela equação x = 12t2. O ajuste não é bem perfeito, e vale a pena tentar encontrar uma fórmula melhor. Como as operações de iniciar o temporizador quando a carta é removida para permitir que a bola role e pará-la quando a bola passa uma marca são diferentes, existe a possibilidade de que, além de erros de temporização aleatórios, um erro sistemático apareça em cada valor medido de t; ou seja, cada medida t talvez deva ser interpretada como t + t0, onde t0 é um erro de temporização constante ainda desconhecido. Se assim for, pode-se ver se os tempos medidos foram relacionados à distância não por x = at2, onde a é uma constante, mas por x = a(t + t0)2. Isto também pode ser testado graficamente, primeiro reescrevendo a equação como raiz quadrada of√x = raiz quadrada of√a(t + t0), que afirma que quando os valores da raiz quadrada of√x são traçados contra os valores medidos de t eles devem estar em uma linha reta. A Figura 2 verifica esta previsão de forma bastante próxima; a linha não passa pela origem, mas sim corta o eixo horizontal a -0,09 segundo. A partir disto, deduz-se que t0 = 0,09 segundo e que (t + 0,09)x deve ser o mesmo para todos os pares de medidas dados no anexo table . A terceira coluna mostra que este é certamente o caso. De facto, a constância é melhor do que se poderia esperar, tendo em conta os erros estimados. Isto deve ser considerado como um acidente estatístico; não implica maior segurança na correção da fórmula do que se os números da última coluna tivessem variado, como muito bem poderiam ter feito, entre 0,311 e 0,315. Ficaria surpreendido se uma repetição de todo o experimento produzisse novamente um resultado tão quase constante.

Uma possível conclusão, então, é que por alguma razão – provavelmente de viés observacional – os tempos medidos subestimam em 0,09 segundos o tempo real t que uma bola, começando do repouso, leva para percorrer uma distância x. Se assim for, sob condições ideais x seria estritamente proporcional a t2. Outras experiências, nas quais o canal é colocado em declives diferentes mas ainda suaves, sugerem que a regra geral toma a forma x = at2, com uma inclinação proporcional à inclinação. Esta idealização tentativa das medidas experimentais pode precisar ser modificada, ou mesmo descartada, à luz de outros experimentos. Agora que ela foi lançada em forma matemática, no entanto, ela pode ser analisada matematicamente para revelar as conseqüências que implica. Além disso, isto irá sugerir maneiras de testá-la mais pesquisadamente.

De um gráfico como a Figura 1, que mostra como x depende de t, pode-se deduzir a velocidade instantânea da bola a qualquer instante. Esta é a inclinação da tangente desenhada para a curva no valor escolhido de t; em t = 0,6 segundo, por exemplo, a tangente como desenhada descreve como x estaria relacionado com t para uma bola movendo-se a uma velocidade constante de cerca de 14 cm por segundo. A inclinação mais baixa antes deste instante e a inclinação mais alta depois indicam que a bola está acelerando de forma constante. Pode-se desenhar tangentes a vários valores de t e chegar à conclusão que a velocidade instantânea era aproximadamente proporcional ao tempo que tinha decorrido desde que a bola começou a rolar. Este procedimento, com suas inevitáveis imprecisões, é tornado desnecessário pela aplicação de cálculos elementares à suposta fórmula. A velocidade instantânea v é a derivada de x em relação a t; se

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A implicação de que a velocidade é estritamente proporcional ao tempo decorrido é que um gráfico de v contra t seria uma linha reta através da origem. Em qualquer gráfico dessas grandezas, retas ou não, a inclinação da tangente em qualquer ponto mostra como a velocidade muda com o tempo nesse instante; esta é a aceleração instantânea f. Para um gráfico em linha reta de v contra t, a inclinação e portanto a aceleração são sempre as mesmas. Expresso matematicamente, f = dv/dt = d2x/dt2; no caso presente, f toma o valor constante 2a.

A conclusão preliminar, então, é que uma bola rolando por uma inclinação reta experimenta aceleração constante e que a magnitude da aceleração é proporcional à inclinação. Agora é possível testar a validade da conclusão encontrando o que ela prevê para um arranjo experimental diferente. Se possível, um experimento é estabelecido que permite medições mais precisas do que aquelas que levam à inferência preliminar. Tal teste é fornecido por uma bola rolando em um canal curvo de modo que seu centro trace um arco circular de raio r, como na Figura 3. Desde que o arco seja raso, a inclinação a uma distância x do seu ponto mais baixo é muito próxima de x/r, de modo que a aceleração da esfera em direção ao ponto mais baixo seja proporcional a x/r. Introduzindo c para representar a constante de proporcionalidade, esta é escrita como uma equação diferencial

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Aqui está indicado que, em um gráfico mostrando como x varia com t, a curvatura d2x/dt2 é proporcional a x e tem o sinal oposto, como ilustrado na Figura 4. Como o gráfico cruza o eixo, x e portanto a curvatura é zero, e a linha é localmente reta. Este gráfico representa as oscilações da esfera entre extremos de ±A após ter sido liberada de x = A em t = 0. A solução da equação diferencial da qual o diagrama é a representação gráfica é

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onde ω, chamado de frequência angular, é escrito para a raiz quadrada of√(c/r). A bola leva tempo T = of√/ω = 2πSquare root of√(r/c) para retornar à sua posição original de repouso, após o qual a oscilação é repetida indefinidamente ou até que o atrito traga a bola para repouso.

De acordo com esta análise, o período, T, é independente da amplitude da oscilação, e esta previsão bastante inesperada é uma previsão que pode ser testada com rigor. Em vez de deixar a bola rolar em um canal curvo, o mesmo caminho é mais facilmente e exatamente realizado, tornando-a o bob de um pêndulo simples. Para testar que o período é independente da amplitude, dois pêndulos podem ser feitos o mais parecido possível, de modo que eles se mantenham no mesmo passo ao oscilar com a mesma amplitude. Eles são então balançados com amplitudes diferentes. É necessário um cuidado considerável para detectar qualquer diferença no período, a menos que uma amplitude seja grande, quando o período é ligeiramente mais longo. Uma observação que quase concorda com a previsão, mas não exatamente, não mostra necessariamente a suposição inicial de estar equivocada. Neste caso, a equação diferencial que previu a constância exata do período foi, em si mesma, uma aproximação. Quando é reformulada com a expressão verdadeira para a inclinação substituindo x/r, a solução (que envolve matemática bastante pesada) mostra uma variação de período com amplitude que foi rigorosamente verificada. Longe de ser desacreditada, a suposição tentativa emergiu com maior suporte.

A lei de aceleração de Galileo, a base física da expressão 2πSquare raiz of√(r/c) para o período, é ainda mais fortalecida por descobrir que T varia diretamente como a raiz quadrada de r-i.e, o comprimento do pêndulo.

Além disso, tais medidas permitem que o valor da constante c seja determinado com um alto grau de precisão, e é encontrado para coincidir com a aceleração g de um corpo em queda livre. De fato, a fórmula para o período de pequenas oscilações de um pêndulo simples de comprimento r, T = 2πSquare raiz of√(r/g), está no centro de alguns dos métodos mais precisos para medir g. Isto não teria acontecido a menos que a comunidade científica tivesse aceitado a descrição de Galileu sobre o comportamento ideal e não esperasse ser abalada em sua crença por pequenos desvios, desde que pudessem ser entendidos como refletindo as inevitáveis discrepâncias aleatórias entre o ideal e sua realização experimental. O desenvolvimento da mecânica quântica no primeiro quarto do século XX foi estimulado pela aceitação relutante de que esta descrição falhou sistematicamente quando aplicada a objectos de tamanho atómico. Neste caso, não se tratava, como nas variações de época, de traduzir as idéias físicas em matemática de forma mais precisa; toda a base física necessitava de uma revisão radical. No entanto, as idéias anteriores não foram jogadas fora – elas tinham funcionado bem em muitas aplicações para serem descartadas. O que surgiu foi uma compreensão mais clara das circunstâncias nas quais sua validade absoluta poderia ser assumida com segurança.