O que é matemática pura? O que fazem os matemáticos puros? Por que a matemática pura é importante?

Estas são perguntas com as quais sou frequentemente confrontado quando as pessoas descobrem que eu faço matemática pura.

Eu sempre consigo dar uma resposta mas nunca parece satisfazer plenamente.

Então vou tentar dar uma resposta mais formulada e madura a estas três perguntas. Peço desculpas antecipadamente pelas simplificações excessivas que tive que fazer para ser conciso.

Por falar em termos gerais, existem dois tipos diferentes de matemática (e eu já posso ouvir protestos) – pura e aplicada. Filósofos como Bertrand Russell tentaram dar definições rigorosas desta classificação.

Eu capto a distinção na seguinte afirmação, algo críptica: matemáticos puros provam teoremas e matemáticos aplicados constroem teorias.

O que isto significa é que o paradigma em que a matemática é feita pelos dois grupos de pessoas é diferente.

Os matemáticos puros são muitas vezes movidos por problemas abstratos. Para tornar o abstrato concreto, aqui estão alguns exemplos: “existem infinitamente muitos primes gémeos” ou “cada afirmação matemática verdadeira tem uma prova?”

Para ser mais preciso, a matemática construída a partir de axiomas, e a natureza da verdade matemática é governada por lógica predicada.

Um teorema matemático é uma afirmação verdadeira que é acompanhada por uma prova que ilustra a sua verdade para além de qualquer dúvida através da dedução usando a lógica.

Não é suficiente, como uma teoria empírica, construir simplesmente uma explicação que pode mudar conforme as exceções surgem.

Algo que um matemático suspeita ser verdade devido à evidência, mas não à prova, é simplesmente conjectura.

Aplicado

Os matemáticos aplicados são tipicamente motivados por problemas que surgem do mundo físico. Eles usam a matemática para modelar e resolver esses problemas.

Estes modelos são realmente teorias e, como em qualquer ciência, estão sujeitos à testifiabilidade e falsificação. À medida que a quantidade de informação sobre o problema aumenta, estes modelos possivelmente mudarão.

Puro e aplicado não são necessariamente mutuamente exclusivos. Há muitos grandes matemáticos que pisam os dois terrenos.

Puro

Existem muitos problemas perseguidos por matemáticos puros que têm suas raízes em problemas físicos concretos – particularmente aqueles que surgem da relatividade ou mecânica quântica.

Tipicamente, numa compreensão mais profunda de tais fenómenos, surgem vários “tecnicismos” (acreditem quando vos digo que estes tecnicismos são muito difíceis de explicar). Estes tornam-se abstraídos em afirmações puramente matemáticas que os matemáticos puros podem atacar.

Solucionando estes problemas matemáticos então podem ter aplicações importantes.

Ok computador

Deixe me dar um exemplo concreto de como o pensamento abstrato leva ao desenvolvimento de um dispositivo que sustenta as funções da sociedade moderna: o computador.

Os primeiros computadores eram programas fixos – ou seja, eles foram construídos com o propósito de realizar apenas uma tarefa. Mudar o programa era uma tarefa muito dispendiosa e entediante.

Os restos modernos de tal dinossauro seriam uma calculadora de bolso, que é construída para executar apenas aritmética básica. Em contraste, um computador moderno permite carregar um programa de calculadora, ou programa de processamento de texto, e você não precisa trocar de máquina para fazer isso.

Esta mudança de paradigma ocorreu em meados dos anos 40 e é chamada de programa armazenado ou arquitetura von Neumann.

A história amplamente acessível, mas menos conhecida, é que este conceito tem suas raízes na investigação de um problema matemático abstrato chamado Entscheidungsproblem (problema de decisão).

O Entscheidungsproblem foi formulado em 1928 pelo famoso matemático David Hilbert.

Traduz-se aproximadamente a isto: “Existe algum procedimento que possa decidir a verdade ou falsidade da afirmação matemática num número finito de passos?”

Isto foi respondido de forma negativa por Alonzo Church e Alan Turing independentemente em 1936 e 1937. Em seu trabalho, Turing formula uma máquina abstrata, que agora chamamos de máquina Turing.

A máquina possui uma fita infinitamente longa (memória), uma cabeça que pode mover um passo de cada vez, ler e escrever na fita, uma tabela de instruções finitas que dá instruções à cabeça, e um conjunto finito de estados (tais como “aceitar”, ou “negar”). Inicia-se a máquina com a entrada na fita adesiva.

Tal máquina não pode existir fora do domínio da matemática, pois tem uma fita infinitamente longa.

Mas é a ferramenta utilizada para definir a noção de computabilidade. Ou seja, dizemos que um problema é calculável se pudermos codificá-lo usando uma máquina Turing.

Uma pessoa pode então ver os paralelismos de uma máquina Turing com uma máquina de programa fixo.

Agora, suponha que existe uma máquina Turing U que pode pegar na tabela de instruções e estados de uma máquina Turing arbitrária (devidamente codificada), e na mesma entrada de fita I a T, e executar a máquina Turing T na entrada I.

Tal máquina é chamada Máquina Turing Universal.

No seu papel de 1937, Turing prova um teorema de existência importante: existe uma máquina de Turing universal. Este é agora o paralelo do conceito de store-program, a base do moderno computador programável.

É notável que um problema abstracto relativo aos fundamentos da matemática lançou as bases para o advento do computador moderno.

É talvez uma característica da matemática pura que o matemático não está limitado pelas limitações do mundo físico e pode apelar à imaginação para criar e construir objetos abstratos.

Não quer dizer que o matemático puro não formalize conceitos físicos tais como energia, entropia, etc., para fazer matemática abstrata.

Em qualquer caso, este exemplo deve ilustrar que a busca de problemas puramente matemáticos é uma causa que pode ser de tremendo valor para a sociedade.