Os matemáticos suspeitam há anos que sob circunstâncias específicas, as equações de Euler falham. Mas eles foram incapazes de identificar um cenário exato no qual essa falha ocorre. Até agora.

As equações são uma descrição matemática idealizada de como os fluidos se movem. Dentro dos limites de certas suposições, elas modelam a forma como as ondulações se propagam em um tanque ou como o melaço escorre de um pote. Eles devem ser capazes de descrever o movimento de qualquer fluido em qualquer circunstância – e por mais de dois séculos, eles têm.

Mas uma nova prova descobre que sob certas condições, as equações falham.

“Um ano e meio atrás eu teria dito que isto era algo que talvez eu não veria em minha vida”, disse Tarek Elgindi, um matemático da Universidade da Califórnia, San Diego e autor da nova obra.

Elgindi provou a existência da falha nas equações de Euler em dois artigos publicados online este ano – um em abril, que ele mesmo escreveu, e outro em outubro, que ele escreveu com Tej-eddine Ghoul e Nader Masmoudi. Juntos, os artigos têm levantado séculos de suposições sobre essas famosas equações fluidas.

“Eu acho que é uma grande, maravilhosa conquista”, disse Peter Constantin, um matemático da Universidade de Princeton.

O trabalho de Elgindi não é um toque de morte para as equações de Euler. Ao contrário, ele prova que sob um conjunto muito particular de circunstâncias, as equações sobreaquecem, por assim dizer, e começam a produzir disparates. Sob condições mais realistas, as equações ainda são, por enquanto, invulneráveis.

Mas a exceção que Elgindi encontrou é assustadora para os matemáticos, pois ocorreu em condições em que eles antes pensavam que as equações sempre funcionavam.

“Em geral, acho que as pessoas estão bastante surpresas com o exemplo de Tarek”, disse Vlad Vicol, um matemático da Universidade de Nova York.

Euler’s Blowup

Leonhard Euler descobriu as equações fluidas que agora levam seu nome em 1757. Elas descrevem a evolução de um fluido ao longo do tempo, assim como as equações de Newton descrevem o movimento de uma bola de bilhar sobre uma mesa.

Mais exatamente, as equações especificam o movimento instantâneo de partículas infinitesimalmente pequenas em um fluido. Esta descrição inclui a velocidade de uma partícula (quão rápido ela se move e em que direção) e a quantidade relacionada conhecida como sua vorticidade (quão rápido ela gira, como um topo, e em que direção).

Collectivamente, esta informação forma um “campo de velocidade”, que é um instantâneo do movimento de um fluido em um dado momento no tempo. As equações de Euler começam com um campo de velocidade inicial e prevêem como ele irá mudar em cada momento no futuro.

As equações de Euler não são uma descrição literal de um fluido do mundo real. Elas incluem várias suposições não-físicas. Por exemplo, as equações só funcionam se as correntes internas dentro de um fluido não gerarem fricção à medida que se movem uma para a outra. Elas também assumem que os fluidos são “incompressíveis”, o que significa que sob as regras das equações de Euler, você não pode espremer um fluido em um espaço menor do que aquele que ele já ocupa.

“Podemos pensar no modelo como um certo mundo idealizado e as equações como as regras do movimento neste mundo”, escreveu Vladimir Sverak da Universidade de Minnesota em um e-mail.

Essas provisões não naturais levaram o matemático e físico John von Neumann a gracejar que o modelo das equações “água seca”. Para modelar o movimento de um fluido mais realista com fricção interna (ou viscosidade), os pesquisadores usam as equações de Navier-Stokes em vez disso.

“As equações de Euler são muito idealizadas. Fluidos reais têm fricção”, disse Constantin.

mas as equações de Euler ainda ocupam um lugar venerável na ciência. Os pesquisadores gostariam de saber se as equações funcionam inequivocamente dentro desse mundo sem atrito, incompressível, idealizado – ou seja, se elas podem descrever todos os estados futuros de cada campo de velocidade inicial possível. Ou, dito de outra forma: Existem movimentos fluidos que estas equações supostamente universais não podem modelar?

“A questão básica é: as equações podem sempre fazer o seu trabalho?” disse Sverak.

Em teoria, uma vez que se ligam valores para o estado actual de um fluido, as equações produzirão valores exactos para um estado futuro. Então você pode conectar esses novos valores de volta às equações e estender sua previsão. Tipicamente, o processo funciona, aparentemente tão longe no futuro quanto você se importa em olhar.

Mas também é possível que sob circunstâncias muito raras, as equações se decomponham. Elas podem estar se arrastando, produzindo saídas que funcionam como entradas futuras, quando as coisas começam a dar errado e as equações eventualmente produzem um valor com o qual elas não podem continuar calculando. Nessas situações, os matemáticos dizem que as equações “explodem”

Se as equações de Euler explodissem, seria porque estão amplificando a velocidade de um ponto ou vorticidade de uma forma muito antinatural. A amplificação seria tão extrema que numa quantidade finita de tempo, a velocidade ou vorticidade de um ponto se tornaria infinita. E uma vez que as equações produzissem um valor infinito, elas cairiam e seriam incapazes de descrever qualquer estado futuro adicional. Isto porque geralmente não se pode calcular com valores infinitos mais do que se pode dividir por zero. (Os valores ultrapassariam a velocidade da luz ao longo do caminho, mas neste mundo idealizado isso é OK.)

Estes valores infinitos fatais são chamados de “singularidades”. Quando os matemáticos perguntam, “As equações de Euler funcionam sempre?” eles realmente perguntam, “Existem cenários sob os quais as equações de Euler produzem singularidades?”

Muitos matemáticos acreditam que a resposta é sim, mas nunca foram capazes de encontrar um cenário específico no qual as equações realmente explodem.

“Você sente que Euler está tentando evitar . Até agora tem conseguido”, disse Constantin.

O novo trabalho não mostra que as equações produzem singularidades sob as condições exatas que os matemáticos mais se importam com elas. Mas é o resultado mais próximo ainda desse objetivo. Para alcançá-lo, Elgindi considerou um modelo simplificado de como os fluidos se movem.

Complexidade Redutora

Os matemáticos têm muitas formas diferentes de reduzir a complexidade do movimento fluido que pedem às equações de Euler para modelar. Muitos dos resultados mais interessantes, como os de Elgindi, envolvem demonstrar até que ponto você pode simplificar o comportamento de um fluido – significando até que ponto você pode simplificar os dados que você alimenta nas equações – enquanto ainda consegue dizer algo significativo sobre as próprias equações.

Em um fluido tridimensional real, como a água em um tanque, qualquer partícula tem três eixos ao longo dos quais ela pode se mover: o eixo x (esquerda ou direita), o eixo y (para cima ou para baixo), e o eixo z (para trás ou para frente). Isso é muita liberdade de movimento. Além disso, não há necessariamente nenhuma relação forte entre o movimento das partículas em diferentes partes do fluido.

“É muito para acompanhar”, disse Elgindi.

No seu novo trabalho, Elgindi simplifica o trabalho que ele pede às equações de Euler para lidar. Ele exige que o fluido exiba simetria em torno do eixo z, algo que você geralmente não encontraria em um fluido real. Esta simetria facilita o cálculo do campo de velocidade, porque você sabe que os pontos em ambos os lados do eixo z são imagens espelhadas um do outro. Então se você sabe a velocidade ou vorticidade em um ponto, tudo que você tem que fazer é inverter o sinal dos valores e você saberá os valores em um segundo ponto.

Ele também restringe o intervalo de movimento disponível para pontos no fluido. As partículas podem mover-se em duas direcções gerais, quer ao longo do eixo z, quer na direcção ou afastamento do eixo z. Elas não podem girar ao redor do eixo z. Os matemáticos dizem que tal fluido não tem “nenhum giro”

“Ele reduz o problema basicamente a uma bidimensional”, disse Elgindi.

Finalmente, Elgindi coloca certas estipulações adicionais sobre os dados iniciais que ele alimenta nas equações de Euler. Os dados são mais aproximados, de certa forma, do que os valores que descrevem os fluidos do mundo real, e torna a formação de singularidades mais provável.

Na vida real, se você mover uma distância muito pequena de um ponto em um fluido para outro, a velocidade no segundo ponto é muito semelhante à velocidade no primeiro. Da mesma forma, as vorticiidades nos dois pontos devem ser muito semelhantes. Os matemáticos dizem que os campos de velocidade com esta propriedade são “suaves”, o que significa que os valores variam continuamente – suavemente – à medida que você se move de um ponto para o outro. Não há mudanças rápidas.

Esse não é o caso nas descrições de Elgindi de um fluido.

“A vorticidade nos dados de Tarek pode variar mais dramaticamente”, disse Vicol. “Pontos próximos têm vorticidades muito diferentes.”

As simplificações de Elgindi podem parecer afastar-se demasiado do comportamento de um fluido real para serem úteis. Mas são muito mais suaves do que muitos cenários simplificados sob os quais os matemáticos ganharam anteriormente conhecimentos sobre as equações de Euler.

De facto, Elgindi mostrou que sob estas condições simplificadas – mas não demasiado simplificadas -, as equações de Euler começam a produzir resultados muito inesperados.

Jogo Sobre

Para compreender a descoberta de Elgindi, imagine um tanque de água. Isto é ligeiramente enganador, porque o trabalho de Elgindi é sobre fluidos que não têm limite, significando que flutuam como uma bolha no espaço. Mas para visualizar o cenário no coração do seu trabalho, é útil situar a água em um tanque. As conjecturas matemáticas mais importantes – e as mais difíceis de provar – envolvem fluidos sem limites.

Próximo, imagine dois anéis espessos de água em extremidades opostas do tanque. Os anéis formam como redemoinhos ou remoinhos – distúrbios organizados dentro do corpo principal do fluido. Eles são um tipo de fenômeno que realmente ocorre na natureza, e eles parecem como os anéis que fumantes habilidosos podem produzir.

Agora imagine os anéis opostos se movendo em direção um ao outro.

A medida que eles avançam, as equações de Euler estão operando normalmente no fundo, calculando os campos de velocidade que descrevem o fluido a cada momento no tempo. Mas quando os anéis se aproximam, as equações começam a reportar alguns valores selvagens.

Mostram os anéis que se atraem uns aos outros com cada vez maior intensidade – e em particular, mostram que as partes mais interiores dos anéis se atraem e puxam umas às outras com uma força ainda maior do que as partes mais exteriores dos anéis. Como resultado, os anéis alongam-se, alongando-se para se parecerem mais com um par de funis. À medida que os seus centros se aproximam cada vez mais, as suas velocidades tornam-se cada vez mais rápidas. Então eles colidem.

E se nesse exato momento você olhar para o campo de velocidade descrevendo a colisão, você verá algo que ninguém viu sob este conjunto de suposições na história das equações de Euler: uma singularidade. Elgindi provou que as equações de Euler calculam uma vorticidade infinita no ponto de colisão. Game over.

“A forma clássica das equações se decompõe”, disse Elgindi. “Depois disso você não sabe o que acontece.”

O resultado tem algumas limitações. Nomeadamente, é impossível extrapolar de sua prova para o comportamento das equações de Euler sob as condições completamente “suaves”. Isto porque os matemáticos provaram décadas atrás que sob condições suaves, o cenário que Elgindi considera não produz uma singularidade.

Mas de outras formas, seu resultado muda completamente a maneira como os matemáticos olham estas velhas equações.

Prior ao trabalho de Elgindi, os matemáticos nunca provaram a existência de qualquer situação, sem um limite, na qual as equações de Euler trabalharam por um curto período de tempo (quando os anéis se aproximam) mas não para sempre. Em todos os trabalhos anteriores, os matemáticos haviam descoberto que se as equações funcionavam, elas funcionavam para sempre.

“É um resultado notável porque prova que existem singularidades sob um cenário que é o que chamamos de ‘bem colocado’. Faz sentido, e mesmo assim você obtém esta singularidade de tempo finito”, disse Constantin.

Muitas gerações de cientistas têm procurado um ponto fraco nas equações de Euler. Finalmente – com qualificação – um matemático encontrou um.