Quando uma empresa produz bens ou serviços, ela incorre em custos associados à produção desses bens e serviços. Alguns destes custos são variáveis e mudam à medida que a produção muda. Itens como matérias-primas, mão-de-obra e o custo de utilidades variam conforme a produção muda e são chamados de custos variáveis. Outros custos, tais como pagamentos de leasing e de seguros, são fixos. Como a produção muda, esses custos fixos não variam.
O custo total é a soma do custo variável e fixo,
Custo total = Custo variável + Custo fixo
Um modelo simples para o custo total é um modelo linear. Em um modelo linear, o termo contendo a variável corresponde ao custo variável e o termo constante corresponde ao custo fixo,
onde as unidades Q são produzidas. A constante a é o custo por unidade e b é o custo fixo.
Outro modelo para custo é um modelo quadrático.
Neste modelo, os termos com variáveis modelam o custo variável e a constante c modelam o custo fixo.
Negócios frequentemente procuram ter sucesso baixando seus custos. Entretanto, isto não significa baixar a função custo total. O menor custo total seria incorrido ao não produzir nenhuma unidade. Geralmente as empresas procuram baixar seu custo médio.
Em outras palavras, o custo médio de produção de unidades Q é o custo total de produção de unidades Q dividido pelo número de unidades produzidas Q.
Vejamos um exemplo rápido. Suponha que uma empresa produz um único produto chamado torradeira solar. Custa à empresa $20 para produzir cada torradeira solar e a empresa tem $5050 em custos fixos diários. Se a empresa produz Q torradeiras solares todos os dias, podemos escrever o custo total diário como
TC (Q) = 20Q + 5050 dólares
Nota que esta função foi definida diariamente, uma vez que o custo fixo é dado numa base diária. Também poderíamos definir os custos anuais totais modificando adequadamente a descrição variável e os custos fixos. Desde que o custo por unidade seja constante em uma base anual, isto também é razoável.
Se quiséssemos saber o custo total diário de produção de 100 torradeiras por dia, calcularíamos
TC (100) = 20(100) + 5050 = 7050 dólares
O custo médio diário de produção de 100 torradeiras por dia é
Isto nos diz que cada torradeira solar custa $70,50 mesmo que o custo de materiais e mão-de-obra seja de apenas $20 por torradeira. Isto é porque o custo médio leva em conta o alto custo fixo diário. Entretanto, o custo médio para produzir 200 torradeiras é
Even, embora o custo total diário para produzir torradeiras seja maior quando são feitas 200 torradeiras por dia, o custo médio é menor.
Podemos usar a função custo médio
para encontrar o custo médio em qualquer nível de produção.
Esta função é usada para determinar a taxa na qual a função custo médio muda.
Exemplo 5. Encontre a Função Custo Médio
O custo dos bens e serviços na Verizon é dado pela função
TC(Q) = 490,268Q + 2367,072 milhões de dólares
onde Q é o número de assinantes residenciais e sem fio em milhões.
a. Encontre a função de custo médio TC(Q) .
Solução. A função custo médio é formada pela divisão do custo pela quantidade. No contexto desta aplicação, a função custo médio é
>
Colocar a expressão do custo no numerador para render
b. Encontre e interprete TC(50).
Solução. O valor da função é obtido pela substituição de Q = 50 pela função custo médio
O numerador na função custo médio tem unidades de milhões de dólares e o denominador tem unidades de milhões de assinantes. Dividindo as unidades de rendimento
Então TC(50) ≈ 537,61 significa que quando a Verizon tem 50 milhões de assinantes, seu custo médio por assinante é de 537,61 dólares por assinante.
c. Encontre a derivada da função de custo médio TC'(Q).
Solução. Podemos aplicar a Regra de Cotas para Derivados com
u = 490.268Q + 2367.072 e v = Q. As derivadas do numerador e denominador são
>
Utilizando a Regra de Cotas, obtemos a derivada
d. Encontrar e interpretar o custo médio marginal TC ′(50).
Esta taxa indica a rapidez com que o custo médio está a mudar à medida que o número de subscritores é aumentado. As unidades nesta taxa são
O valor TC ′(50) ≈ -0,95 nos diz que a um nível de assinantes de 50 milhões, o custo médio está diminuindo em 0,95 dólares por assinante para cada 1 milhão de assinantes adicionais.