homens estudantes batem na parede de geometria no ensino secundário e a sua jornada matemática termina. Este muro muitas vezes os impede de continuar nos cursos de matemática e ter uma transição bem sucedida para a faculdade.
Existem várias razões pelas quais este muro é tão difícil de conquistar. Primeiro de tudo, parece haver evidência de que as pessoas tendem a ter uma inclinação natural ou para uma forma aritmética de abordar a matemática ou uma forma visual e geométrica. Para o primeiro grupo, a capacidade de raciocinar espacialmente não é tão fácil como para os outros. Como professores, não podemos controlar as capacidades naturais de uma pessoa. Alguns alunos aprendem línguas estrangeiras mais rapidamente do que outros; alguns são coordenados de forma mais natural.
A boa notícia para os educadores é que estes déficits não significam que estas habilidades não possam ser desenvolvidas e aprendidas. Para muitos alunos, a sua falta de compreensão da geometria deve-se em parte à falta de oportunidades de experimentar currículos espaciais.
Muitos livros de texto e muitos guias de ritmos distritais enfatizam a numeracia, aritmética e o raciocínio algébrico. A geometria (juntamente com dados e estatísticas) é muitas vezes colocada nos capítulos finais do livro e nas últimas semanas do ano após os testes estaduais. Como nós, educadores, somos pressionados pelo tempo e precisamos ensinar e rever conceitos que não foram completamente compreendidos, muitas vezes falhamos em chegar a esses capítulos. Assim, os alunos entram na geometria do ensino médio com o seguinte conjunto de habilidades: “Eu sei os nomes das formas, e tive que memorizar as fórmulas da área, mas não me lembro delas.”
E acontece que o trabalho seminal sobre o pensamento geométrico foi feito por um casal holandês, o van Hiele’s. Eles fizeram duas descobertas significativas sobre como aprendemos geometria. Primeiro, há cinco níveis sequenciais de pensamento geométrico. (Mais sobre eles em um momento.) Segundo, e esta é a verdadeira boa notícia, passar de um nível para o outro mais alto, não é tanto uma questão de desenvolvimento cognitivo dependente da idade, mas depende da exposição a estas experiências geométricas.
Aqui estão os cinco níveis de aquisição do pensamento geométrico. Estudantes de um nível não podem saltar para outro, mas devem mover-se sequencialmente através das camadas. (Os van Hiele numeraram seus cinco níveis 0-4 enquanto os pesquisadores americanos os reclassificaram como 1-5 para permitir um nível zero no qual uma criança não tem conhecimento geométrico.)
1. Visualização – As crianças podem identificar formas com base na aparência e não em propriedades. Estudantes neste nível podem não ver um quadrado como um tipo de retângulo nem mesmo vê-lo como um quadrado se ele for ligeiramente girado.
2. Análise – Neste nível, os estudantes começam a associar propriedades com suas formas. O aluno que lutou para identificar um quadrado rotacionado agora verá que ele tem quatro lados congruentes e quatro ângulos retos e é, portanto, um quadrado. Da mesma forma, o aluno de nível um teria dificuldade em reconhecer um triângulo com um vértice apontado para baixo e uma base no topo, enquanto um aluno de nível dois vê que os três lados fazem dele um triângulo.
3. Abstração – Agora os alunos podem começar a pensar sobre as propriedades e aplicá-las a argumentos que envolvam raciocínio indutivo. O aluno que vê que quatro triângulos diferentes têm todos uma soma de ângulo interior de 180° usaria esse padrão para raciocinar que todos os triângulos devem ter a mesma soma de ângulo interior.
4. Dedução – Neste nível, os alunos usam a lógica dedutiva para provar suas conjecturas do nível anterior.
5. Rigor – Isto vai além do nível anterior para explorar as provas por negação e geometria não-euclidiana.
5 Como você pode ver, a maioria dos alunos das séries elementares estão operando no nível um; eles reconhecem formas. No entanto, nem sempre fazem isso com fluência e precisão. Uma vez eu exibi um quadrado para alguns alunos das 4ª e 5ª séries e pedi que eles dessem um nome à forma. Eles não tiveram problemas em me dizer que era um quadrado. No entanto, quando o rodei para parecer um diamante de beisebol, cerca de nove em cada dez disseram que agora era um diamante. O resto assegurou-me que era um losango. Apenas um em cada 100 alunos foi capaz de me dizer corretamente que ainda era um quadrado, e eu só o tinha girado.
Por contraste, a álgebra do ensino médio é ensinada nos níveis quatro e cinco. Como os alunos devem passar por esses níveis sequencialmente, é como se lhes tivéssemos pedido para subir uma escada que contém apenas a primeira e as duas últimas rungs com uma grande lacuna no meio.
Isto ilustra as lutas que enfrentamos no ensino da geometria. A identificação de um quadrado está nos padrões da maioria dos jardins de infância do estado. Entretanto, apenas 1% dos alunos que perguntei sabiam o que era um quadrado cinco anos depois. Obviamente isto é porque quando o seu texto ou professores mostravam quadrados, eles normalmente tinham uma linha de base paralela ao final da página. Os alunos não tinham atendido às propriedades dos quadrados.
No entanto, quando eu coloquei o mesmo problema aos alunos do 8º ano, quase todos foram capazes de identificar a forma como um quadrado, mesmo quando rotacionados. Isto nos mostra que a aquisição destes conhecimentos não ocorreu como resultado da nossa instrução no jardim de infância, mas sim devido a experiências que encontraram em notas posteriores.
Again this is good news, for it tells us that we can accelerate this growth by offering students these crucial experiences in geometry. No entanto, como a maioria dos livros didáticos não oferece estas oportunidades, cabe-nos a nós criar estas lições. Felizmente, eles estão por aí. Em um futuro blog, vou oferecer exemplos de atividades intermediárias que ajudarão os alunos a preencher as lacunas em suas escadas geométricas.