Matematicienii au suspectat de ani de zile că, în anumite circumstanțe, ecuațiile lui Euler eșuează. Dar au fost incapabili să identifice un scenariu exact în care se produce acest eșec. Până acum.

Ecuațiile sunt o descriere matematică idealizată a modului în care se mișcă fluidele. În limitele anumitor ipoteze, ele modelează modul în care se propagă ondulațiile pe un iaz sau cum se scurge melasa dintr-un borcan. Ele ar trebui să fie capabile să descrie mișcarea oricărui fluid în orice circumstanțe – și pentru mai mult de două secole, ele au făcut-o.

Dar o nouă demonstrație constată că, în anumite condiții, ecuațiile eșuează.

“Cu un an și jumătate în urmă aș fi spus că acest lucru este ceva ce poate nu voi vedea în timpul vieții mele”, a declarat Tarek Elgindi, matematician la Universitatea din California, San Diego și autor al noii lucrări.

Elgindi a demonstrat existența defectului în ecuațiile lui Euler în două lucrări postate online în acest an – una în aprilie, pe care a scris-o singur, și una în octombrie, pe care a scris-o împreună cu Tej-eddine Ghoul și Nader Masmoudi. Împreună, lucrările au dat peste cap secole de presupuneri despre aceste faimoase ecuații ale fluidelor.

“Cred că este o realizare mare, minunată”, a declarat Peter Constantin, un matematician de la Universitatea Princeton.

Lucrarea lui Elgindi nu este un semn de moarte pentru ecuațiile lui Euler. Mai degrabă, el dovedește că, într-un set foarte special de circumstanțe, ecuațiile se supraîncălzesc, ca să spunem așa, și încep să producă prostii. În condiții mai realiste, ecuațiile sunt încă, deocamdată, invulnerabile.

Dar excepția pe care a găsit-o Elgindi este surprinzătoare pentru matematicieni, deoarece a apărut în condiții în care ei credeau anterior că ecuațiile funcționează întotdeauna.

“În general, cred că oamenii sunt destul de surprinși de exemplul lui Tarek”, a declarat Vlad Vicol, un matematician de la Universitatea din New York.

Explozia lui Euler

Leonhard Euler a descoperit ecuațiile fluidelor care îi poartă acum numele în 1757. Ele descriu evoluția unui fluid în timp, la fel cum ecuațiile lui Newton descriu mișcarea unei bile de biliard pe o masă.

Mai exact, ecuațiile specifică mișcarea instantanee a unor particule infinitezimal de mici într-un fluid. Această descriere include viteza unei particule (cât de repede se mișcă și în ce direcție se deplasează) și cantitatea conexă cunoscută sub numele de vorticitate (cât de repede se învârte, ca un top, și în ce direcție).

Colectiv, aceste informații formează un “câmp de viteză”, care este o imagine instantanee a mișcării unui fluid la un moment dat în timp. Ecuațiile lui Euler pornesc de la un câmp de viteze inițial și prezic modul în care acesta se va modifica la fiecare moment în viitor.

Ecuațiile lui Euler nu sunt o descriere literală a unui fluid din lumea reală. Ele includ mai multe ipoteze non-fizice. De exemplu, ecuațiile funcționează numai dacă curenții interni dintr-un fluid nu generează frecare în timp ce se deplasează unul pe lângă celălalt. De asemenea, ele presupun că fluidele sunt “incompresibile”, ceea ce înseamnă că, în conformitate cu regulile ecuațiilor lui Euler, nu se poate stoarce un fluid într-un spațiu mai mic decât cel pe care îl ocupă deja.

“Ne putem gândi la model ca la o anumită lume idealizată și la ecuații ca la regulile de mișcare în această lume”, a scris Vladimir Sverak de la Universitatea din Minnesota într-un e-mail.

Aceste provizii nefirești l-au determinat pe matematicianul și fizicianul John von Neumann să glumească spunând că ecuațiile modelează “apa uscată”. Pentru a modela mișcarea unui fluid mai realist cu frecare internă (sau vâscozitate), cercetătorii folosesc în schimb ecuațiile Navier-Stokes.

“Ecuațiile lui Euler sunt foarte idealizate. Fluidele reale au frecare”, a spus Constantin.

Dar ecuațiile lui Euler ocupă încă un loc venerabil în știință. Cercetătorii ar dori să știe dacă ecuațiile funcționează fără echivoc în această lume idealizată, incompresibilă și fără frecare – adică dacă pot descrie toate stările viitoare ale fiecărui câmp de viteze inițiale posibile. Sau, altfel spus: Există mișcări ale fluidelor pe care aceste ecuații presupus universale nu le pot modela?

“Întrebarea de bază este: Pot ecuațiile să-și facă întotdeauna treaba?”, a spus Sverak.

În teorie, odată ce introduceți valorile pentru starea actuală a unui fluid, ecuațiile vor produce valori exacte pentru o stare viitoare. Apoi puteți conecta aceste noi valori din nou în ecuații și vă puteți extinde prognoza. În mod obișnuit, procesul funcționează, aparent atât de departe în viitor pe cât de mult doriți să priviți.

Dar este de asemenea posibil ca, în circumstanțe foarte rare, ecuațiile să cedeze. Ele ar putea fi în plină desfășurare, producând ieșiri care funcționează ca intrări viitoare, când lucrurile încep să meargă prost și ecuațiile produc în cele din urmă o valoare cu care nu pot continua să calculeze. În aceste situații, matematicienii spun că ecuațiile “explodează.”

Dacă ecuațiile lui Euler ar trebui să explodeze, ar fi din cauză că ele amplifică viteza sau vorticitatea unui punct într-un mod foarte nefiresc. Amplificarea ar fi atât de extremă încât, într-o perioadă finită de timp, viteza sau vorticitatea într-un punct ar deveni infinită. Și odată ce ecuațiile ar produce o valoare infinită, ele s-ar prăbuși și ar fi incapabile să descrie orice alte stări viitoare. Acest lucru se datorează faptului că, în general, nu se poate calcula cu valori infinite mai mult decât se poate împărți la zero. (Valorile ar depăși viteza luminii pe parcurs, dar în această lume idealizată este în regulă.)

Aceste valori infinite fatale se numesc “singularități”. Când matematicienii întreabă: “Ecuațiile lui Euler funcționează întotdeauna?”, ei întreabă de fapt: “Există scenarii în care ecuațiile lui Euler produc singularități?”

Mulți matematicieni cred că răspunsul este da, dar nu au reușit niciodată să găsească un scenariu specific în care ecuațiile să explodeze efectiv.

“Aveți impresia că Euler încearcă să evite . Până acum a reușit să o facă”, a spus Constantin.

Noua lucrare nu arată că ecuațiile produc singularități în condițiile exacte care îi interesează cel mai mult pe matematicieni. Dar este cel mai apropiat rezultat de până acum de acest obiectiv. Pentru a-l atinge, Elgindi a luat în considerare un model simplificat al modului în care se mișcă fluidele.

Reducerea complexității

Matematicienii au multe moduri diferite de a reduce complexitatea mișcării fluidelor pe care cer ecuațiilor lui Euler să le modeleze. Multe dintre cele mai interesante rezultate, precum cel al lui Elgindi, implică demonstrarea măsurii în care se poate simplifica comportamentul unui fluid – ceea ce înseamnă cât de mult se pot simplifica datele pe care le introduceți în ecuații – reușind în același timp să spună ceva semnificativ despre ecuațiile în sine.

Într-un fluid tridimensional real, precum apa dintr-un iaz, orice particulă are trei axe de-a lungul cărora se poate deplasa: axa x (stânga sau dreapta), axa y (sus sau jos) și axa z (înainte sau înapoi). Aceasta reprezintă o mare libertate de mișcare. În plus, nu există neapărat o relație puternică între mișcarea particulelor în diferite părți ale fluidului.

“Este prea mult de urmărit”, a spus Elgindi.

În noua sa lucrare, Elgindi simplifică sarcina pe care o cere ecuațiilor lui Euler. El cere ca fluidul să prezinte simetrie în jurul axei z, lucru pe care nu l-ai găsi în general într-un fluid real. Această simetrie facilitează calcularea câmpului de viteze, deoarece se știe că punctele situate de o parte și de alta a axei z sunt imagini în oglindă una față de cealaltă. Astfel, dacă cunoașteți viteza sau vorticitatea într-un punct, tot ce trebuie să faceți este să inversați semnul valorilor și veți cunoaște valorile dintr-un al doilea punct.

De asemenea, el restricționează gama de mișcare disponibilă pentru punctele din fluid. Particulelor li se permite să se deplaseze în două direcții generale, fie de-a lungul axei z, fie spre sau departe de axa z. Nu li se permite să se rotească în jurul axei z. Matematicienii spun că un astfel de fluid “nu are vârtej”.”

“Aceasta reduce practic problema la una bidimensională”, a spus Elgindi.

În cele din urmă, Elgindi pune anumite stipulații suplimentare asupra datelor inițiale pe care le introduce în ecuațiile lui Euler. Datele sunt mai aspre, într-un fel, decât valorile care descriu fluidele din lumea reală, iar acest lucru face ca formarea de singularități să fie mai probabilă.

În viața reală, dacă vă deplasați pe o distanță foarte mică de la un punct al unui fluid la altul, viteza în cel de-al doilea punct este foarte asemănătoare cu viteza în primul punct. În mod similar, vorticile în cele două puncte ar trebui să fie foarte asemănătoare. Matematicienii spun că câmpurile de viteză cu această proprietate sunt “netede”, ceea ce înseamnă că valorile variază continuu – lin – pe măsură ce vă deplasați de la un punct la altul. Nu există schimbări rapide.

Nu este cazul în descrierile lui Elgindi ale unui fluid.

“Vorticitatea din datele lui Tarek poate varia mai dramatic”, a spus Vicol. “Punctele apropiate au vorticități extrem de diferite.”

Simplificările lui Elgindi ar putea părea că se îndepărtează prea mult de comportamentul real al fluidelor pentru a fi utile. Dar ele sunt mult mai blânde decât multe scenarii simplificate în care matematicienii au obținut anterior informații despre ecuațiile lui Euler.

De fapt, Elgindi a arătat că în aceste condiții simplificate – dar nu prea simplificate – ecuațiile lui Euler încep să producă rezultate foarte neașteptate.

Game Over

Pentru a înțelege descoperirea lui Elgindi, imaginați-vă un rezervor de apă. Acest lucru este ușor înșelător, deoarece lucrarea lui Elgindi se referă la fluidele care nu au granițe, ceea ce înseamnă că plutesc ca o pată în spațiu. Dar, pentru a vizualiza scenariul care se află în centrul lucrării sale, este util să situăm apa într-un rezervor. Cele mai importante conjecturi matematice – și cele mai greu de demonstrat – implică fluidele fără limite.

În continuare, imaginați-vă două inele groase de apă la capetele opuse ale rezervorului. Inelele formează ca niște vârtejuri sau vârtejuri – perturbații organizate în interiorul corpului principal al fluidului. Sunt un fel de fenomene care chiar apar în natură și arată ca inelele pe care le pot produce fumătorii pricepuți.

Imaginați-vă acum inelele opuse care se deplasează unul spre celălalt.

În timp ce avansează, ecuațiile lui Euler funcționează normal în fundal, calculând câmpurile de viteze care descriu fluidul la fiecare moment în timp. Dar când inelele se apropie unul de celălalt, ecuațiile încep să raporteze niște valori nebănuite.

Ele arată că inelele se atrag reciproc cu o intensitate din ce în ce mai mare – și, în special, ele arată că părțile cele mai interioare ale inelelor se atrag și se trag reciproc cu o forță chiar mai mare decât părțile cele mai exterioare ale inelelor. Ca urmare, inelele se alungesc, întinzându-se pentru a arăta mai mult ca o pereche de pâlnii. Pe măsură ce centrele lor se apropie din ce în ce mai mult, viteza lor devine din ce în ce mai mare. Apoi se ciocnesc.

Și dacă în acel moment exact vă uitați la câmpul de viteze care descrie coliziunea, veți vedea ceva ce nimeni nu a mai văzut sub acest set de ipoteze în istoria ecuațiilor lui Euler: o singularitate. Elgindi a demonstrat că ecuațiile lui Euler calculează o vorticitate infinită în punctul de coliziune. Jocul s-a terminat.

“Forma clasică a ecuațiilor se rupe”, a spus Elgindi. “După aceea nu știi ce se întâmplă.”

Rezultatul are unele limitări. Și anume, este imposibil să extrapolezi din demonstrația sa la comportamentul ecuațiilor lui Euler în condiții complet “netede”. Acest lucru se datorează faptului că matematicienii au demonstrat cu zeci de ani în urmă că, în condiții netede, scenariul considerat de Elgindi nu produce o singularitate.

Dar, în alte privințe, rezultatul său schimbă complet modul în care matematicienii privesc aceste vechi ecuații.

Până la lucrarea lui Elgindi, matematicienii nu dovediseră niciodată existența unei situații, fără limită, în care ecuațiile lui Euler funcționează pentru o perioadă scurtă de timp (când inelele se apropie unul de celălalt), dar nu pentru totdeauna. În toate lucrările anterioare, matematicienii descoperiseră că, dacă ecuațiile funcționau, ele funcționau pentru totdeauna.

“Este un rezultat destul de remarcabil, deoarece dovedește că există singularități în cadrul unui scenariu care este ceea ce noi numim “bine pus în situație”. Are sens și, cu toate acestea, se obține această singularitate în timp finit”, a spus Constantin.

Multe generații de oameni de știință au căutat un punct slab în ecuațiile lui Euler. În sfârșit – cu rezerve – un matematician a găsit unul.