Reformatarea datelor de intrare :

Modificările făcute la datele de intrare nu ar trebui să afecteze soluția:
(1): “x2” a fost înlocuit cu “x^2”.

Soluția pas cu pas :

Încercarea factorizării prin divizarea termenului din mijloc

1.1 Factorizarea x2-2x-1
Primul termen este, x2 coeficientul său este 1 .
Termenul din mijloc este, -2x coeficientul său este -2 .
Ultimul termen, “constanta”, este -1
Etapa-1 : Înmulțiți coeficientul primului termen cu constanta 1 – -1 = -1
Etapa-2 : Găsiți doi factori ai lui -1 a căror sumă este egală cu coeficientul termenului din mijloc, care este -2 .

-1

+

1

=

0

Observație : Nu se pot găsi doi astfel de factori !!!
Concluzie : Trinomialul nu poate fi factorizat

Equația de la sfârșitul pasului 1 :

 x2 - 2x - 1 = 0 

Pasul 2 :

Parabola, găsirea vârfului :

2.1 Găsirea vârfului lui y = x2-2x-1
Parabolele au un punct cel mai înalt sau cel mai jos numit Vârf . Parabola noastră se deschide și, în consecință, are un punct cel mai jos (AKA minim absolut) . Știm acest lucru chiar înainte de a trasa “y” deoarece coeficientul primului termen, 1 , este pozitiv (mai mare decât zero).
Care parabolă are o linie verticală de simetrie care trece prin vertexul său. Datorită acestei simetrii, linia de simetrie ar trece, de exemplu, prin punctul median al celor două intersecții x (rădăcini sau soluții) ale parabolei. Adică, dacă parabola are într-adevăr două soluții reale.
Parabolele pot modela multe situații din viața reală, cum ar fi înălțimea deasupra solului, a unui obiect aruncat în sus, după o anumită perioadă de timp. Vârful parabolei ne poate furniza informații, cum ar fi înălțimea maximă pe care acel obiect, aruncat în sus, o poate atinge. Din acest motiv, dorim să putem găsi coordonatele vârfului.
Pentru orice parabolă,Ax2+Bx+C,coordonata x -coordonată a vârfului este dată de -B/(2A) . În cazul nostru, coordonata x este 1,0000
Înlocuind în formula parabolei 1,0000 pentru x, putem calcula coordonata y :
y = 1.0 * 1.00 * 1.00 * 1.00 – 2.0 * 1.00 – 1.0
sau y = -2.000

Parabolă, reprezentare grafică a vârfului și a intersecțiilor X :

Rezolvarea ecuației pătratice prin completarea pătratului

Rezolvarea ecuației pătratice cu ajutorul formulei pătratice

2.3 Rezolvarea lui x2-2x-1 = 0 cu ajutorul formulei pătratice .
Potrivit formulei pătratice, x , soluția pentru Ax2+Bx+C = 0 , unde A, B și C sunt numere, adesea numite coeficienți, este dată de :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
În cazul nostru, A = 1
B = -2
C = -1
În mod corespunzător, B2 – 4AC =
4 – (-4) =
8
Aplicând formula pătratică :
2 ± √ 8
x = —-
2
Se poate simplifica √ 8 ?
Da ! Factorizarea primă a lui 8 este
2-2-2
Pentru a putea elimina ceva de sub radical, trebuie să existe 2 instanțe ale acestuia (deoarece luăm un pătrat, adică rădăcina a doua).
√ 8 = √ 2-2-2 =
± 2 – √ 2
√ 2
√ 2 , rotunjit la 4 cifre zecimale, este 1.4142
Acum avem în vedere:
x = ( 2 ± 2 – 1,414 ) / 2
Două soluții reale:
x =(2+√8)/2=1+√ 2 = 2,414
sau:
x =(2-√8)/2=1-√ 2 = -0,414

S-au găsit două soluții:

.