În zilele noastre, oamenii de știință consideră de la sine înțeles că orice măsurătoare este supusă erorilor, astfel încât repetițiile unui experiment aparent identic dau rezultate diferite. Cu toate acestea, în climatul intelectual din vremea lui Galileo, când silogismele logice care nu admiteau nicio zonă gri între corect și greșit erau mijloacele acceptate de deducere a concluziilor, procedurile sale noi erau departe de a fi convingătoare. Pentru a-i judeca munca, trebuie să ne amintim că convențiile acceptate în prezent în raportarea rezultatelor științifice au fost adoptate cu mult timp după epoca lui Galileo. Astfel, dacă, așa cum se spune, el a afirmat ca un fapt că două obiecte aruncate de pe turnul înclinat din Pisa au ajuns împreună la pământ fără ca între ele să fie nici măcar o palmă de lățime, nu trebuie să se deducă că el însuși a efectuat experimentul sau că, dacă a făcut-o, rezultatul a fost atât de perfect. Un astfel de experiment fusese într-adevăr realizat cu puțin timp înainte (1586) de către matematicianul flamand Simon Stevin, dar Galileo a idealizat rezultatul. O bilă ușoară și o bilă grea nu ajung la sol împreună și nici diferența dintre ele nu este întotdeauna aceeași, deoarece este imposibil de reprodus idealul de a le lăsa să cadă exact în același moment. Cu toate acestea, Galileo era mulțumit că era mai aproape de adevăr să se spună că ele cad împreună decât că există o diferență semnificativă între vitezele lor. Această idealizare a experimentelor imperfecte rămâne un proces științific esențial, deși în zilele noastre se consideră potrivit să se prezinte (sau cel puțin să se aibă la dispoziție pentru examinare) observațiile primare, astfel încât ceilalți să poată judeca independent dacă sunt pregătiți să accepte concluzia autorului cu privire la ceea ce s-ar fi observat într-un experiment desfășurat în mod ideal.

Principiile pot fi ilustrate prin repetarea, cu avantajul instrumentelor moderne, a unui experiment precum cel efectuat de Galileo însuși – și anume, acela de a măsura timpul necesar unei bile pentru a se rostogoli pe diferite distanțe pe un canal ușor înclinat. Următoarea relatare este cea a unui experiment real, menit să arate, într-un exemplu foarte simplu, cum decurge procesul de idealizare și cum concluziile preliminare pot fi apoi supuse unei testări mai amănunțite.

Liniile distanțate în mod egal la 6 cm au fost trasate pe un canal de alamă, iar bila a fost ținută în repaus lângă linia cea mai înaltă cu ajutorul unui card. Un cronometru electronic a fost pornit în momentul în care cardul a fost îndepărtat, iar cronometrul a fost oprit în momentul în care mingea a trecut pe lângă una dintre celelalte linii. Șapte repetări ale fiecărei cronometrări au arătat că măsurătorile se împrăștie de obicei pe un interval de 1/20 de secundă, probabil din cauza limitărilor umane. Într-un astfel de caz, în care o măsurare este supusă unei erori aleatorii, media mai multor repetări oferă o estimare îmbunătățită a ceea ce ar fi rezultatul dacă sursa de eroare aleatorie ar fi eliminată; factorul cu care se îmbunătățește estimarea este aproximativ rădăcina pătrată a numărului de măsurători. În plus, teoria erorilor atribuită matematicianului german Carl Friedrich Gauss permite o estimare cantitativă a fiabilității rezultatului, exprimată în tabel prin simbolul convențional ±. Aceasta nu înseamnă că primul rezultat din coloana 2 este garantat să se situeze între 0,671 și 0,685, dar că, dacă această determinare a mediei a șapte măsurători ar fi repetată de mai multe ori, aproximativ două treimi dintre determinări s-ar situa în aceste limite.

Reprezentarea măsurătorilor printr-un grafic, ca în figura 1, nu a fost la îndemâna lui Galileo, dar a fost dezvoltată la scurt timp după epoca sa, ca urmare a activității matematicianului-filozof francez René Descartes. Punctele par a se afla aproape de o parabolă, iar curba care se desenează este definită de ecuația x = 12t2. Ajustarea nu este chiar perfectă și merită să încercăm să găsim o formulă mai bună. Având în vedere că operațiunile de pornire a cronometrului atunci când se îndepărtează cartonașul pentru a permite bilei să se rostogolească și de oprire a acestuia atunci când bila trece de un semn sunt diferite, există posibilitatea ca, pe lângă erorile de sincronizare aleatoare, să apară o eroare sistematică în fiecare valoare măsurată a lui t; cu alte cuvinte, fiecare măsurătoare t poate fi interpretată ca t + t0, unde t0 este o eroare de sincronizare constantă încă necunoscută. În acest caz, s-ar putea verifica dacă timpii măsurați sunt legați de distanță nu prin x = at2, unde a este o constantă, ci prin x = a(t + t0)2. Acest lucru poate fi, de asemenea, testat grafic, rescriind mai întâi ecuația sub forma Rădăcina pătrată a lui√x = Rădăcina pătrată a lui√a(t + t0), care afirmă că, atunci când valorile rădăcinii pătrate a lui√x sunt reprezentate grafic față de valorile măsurate ale lui t, acestea ar trebui să se situeze pe o linie dreaptă. Figura 2 verifică această predicție destul de îndeaproape; linia nu trece prin origine, ci mai degrabă taie axa orizontală la -0,09 secunde. De aici se deduce că t0 = 0,09 secundă și că (t + 0,09)x ar trebui să fie aceeași pentru toate perechile de măsurători date în tabelul care însoțește acest articol. A treia coloană arată că acesta este cu siguranță cazul. Într-adevăr, constanța este mai bună decât ar fi fost de așteptat având în vedere erorile estimate. Acest lucru trebuie privit ca un accident statistic; el nu implică o mai mare siguranță în corectitudinea formulei decât dacă cifrele din ultima coloană ar fi variat, așa cum ar fi putut foarte bine, între 0,311 și 0,315. Am fi surprinși dacă o repetare a întregului experiment ar da din nou un rezultat atât de aproape constant.

O posibilă concluzie, atunci, este că, dintr-un anumit motiv – probabil o distorsiune de observație – timpii măsurați subestimează cu 0,09 secunde timpul real t necesar unei bile, pornind din repaus, pentru a parcurge o distanță x. Dacă este așa, în condiții ideale, x ar fi strict proporțional cu t2. Alte experimente, în care canalul este reglat la pante diferite, dar totuși ușoare, sugerează că regula generală ia forma x = at2, cu a proporțional cu panta. Este posibil ca această idealizare provizorie a măsurătorilor experimentale să trebuiască să fie modificată, sau chiar eliminată, în lumina unor experimente ulterioare. Totuși, acum că a fost transpusă în formă matematică, ea poate fi analizată matematic pentru a descoperi ce consecințe implică. De asemenea, acest lucru va sugera modalități de a o testa mai atent.

Dintr-un grafic ca cel din figura 1, care arată cum depinde x de t, se poate deduce viteza instantanee a bilei în orice moment. Aceasta este panta tangentei trasate la curbă la valoarea aleasă a lui t; la t = 0,6 secunde, de exemplu, tangenta astfel trasată descrie modul în care x ar fi legată de t pentru o bilă care se deplasează cu o viteză constantă de aproximativ 14 cm pe secundă. Panta mai mică înainte de acest moment și panta mai mare după aceea indică faptul că bila accelerează în mod constant. Se pot trasa tangente la diferite valori ale lui t și se poate ajunge la concluzia că viteza instantanee este aproximativ proporțională cu timpul care a trecut de când mingea a început să se rostogolească. Această procedură, cu inexactitățile sale inevitabile, devine inutilă prin aplicarea calculului elementar la formula presupusă. Viteza instantanee v este derivata lui x în raport cu t; dacă

Implicația că viteza este strict proporțională cu timpul scurs este că un grafic al lui v în raport cu t ar fi o linie dreaptă care trece prin origine. Pe orice grafic al acestor mărimi, fie el drept sau nu, panta tangentei în orice punct arată modul în care viteza se modifică în funcție de timp în acel moment; aceasta este accelerația instantanee f. Pentru un grafic drept al lui v în raport cu t, panta și, prin urmare, accelerația sunt aceleași în orice moment. Exprimat matematic, f = dv/dt = d2x/dt2; în cazul de față, f ia valoarea constantă 2a.

Concluzia preliminară, deci, este că o bilă care se rostogolește pe o pantă dreaptă suferă o accelerație constantă și că mărimea accelerației este proporțională cu panta. Acum este posibil să se testeze validitatea concluziei aflând ce prezice aceasta pentru un aranjament experimental diferit. Dacă este posibil, se organizează un experiment care permite măsurători mai precise decât cele care au condus la concluzia preliminară. Un astfel de test este oferit de o bilă care se rostogolește într-un canal curbat, astfel încât centrul ei să traseze un arc de cerc de rază r, ca în figura 3. Cu condiția ca arcul să fie puțin adânc, panta la o distanță x față de punctul său cel mai de jos este foarte apropiată de x/r, astfel încât accelerația bilei spre punctul cel mai de jos este proporțională cu x/r. Introducând c pentru a reprezenta constanta de proporționalitate, aceasta se scrie ca o ecuație diferențială

Aici se afirmă că, pe un grafic care arată cum variază x cu t, curbura d2x/dt2 este proporțională cu x și are semnul opus, așa cum este ilustrat în figura 4. În momentul în care graficul traversează axa, x și, prin urmare, curbura sunt zero, iar linia este local dreaptă. Acest grafic reprezintă oscilațiile bilei între extremele lui ±A după ce a fost eliberată de la x = A la t = 0. Soluția ecuației diferențiale a cărei reprezentare grafică este diagrama este

unde ω, numită frecvență unghiulară, se scrie pentru Rădăcina pătrată a lui√(c/r). Mingea are nevoie de timpul T = 2π/ω = 2πRădăcina pătrată a lui√(r/c) pentru a reveni în poziția inițială de repaus, după care oscilația se repetă la nesfârșit sau până când frecarea aduce mingea în repaus.

Conform acestei analize, perioada, T, este independentă de amplitudinea oscilației, iar această predicție destul de neașteptată este una care poate fi testată riguros. În loc să lăsăm bila să se rostogolească pe un canal curbat, aceeași traiectorie se realizează mai ușor și mai exact dacă o facem bob al unui pendul simplu. Pentru a verifica dacă perioada este independentă de amplitudine, se pot realiza două penduluri cât mai identice posibil, astfel încât acestea să se mențină în pas atunci când se balansează cu aceeași amplitudine. Apoi, ele sunt legănate cu amplitudini diferite. Este nevoie de multă atenție pentru a detecta orice diferență de perioadă, cu excepția cazului în care una dintre amplitudini este mare, când perioada este puțin mai lungă. O observație care este aproape în concordanță cu predicția, dar nu chiar așa, nu arată neapărat că presupunerea inițială este greșită. În acest caz, ecuația diferențială care a prezis constanța exactă a perioadei a fost ea însăși o aproximare. Atunci când este reformulată cu adevărata expresie a pantei în locul lui x/r, soluția (care implică o matematică destul de grea) arată o variație a perioadei cu amplitudinea care a fost verificată în mod riguros. Departe de a fi discreditată, ipoteza provizorie a ieșit la iveală cu un sprijin sporit.

Legea accelerației lui Galileo, baza fizică a expresiei 2πRădăcina pătrată a lui√(r/c) pentru perioadă, este întărită și mai mult prin constatarea că T variază direct ca rădăcină pătrată a lui r – adică, lungimea pendulului.

În plus, astfel de măsurători permit determinarea cu un grad ridicat de precizie a valorii constantei c și se constată că aceasta coincide cu accelerația g a unui corp în cădere liberă. De fapt, formula pentru perioada micilor oscilații ale unui pendul simplu de lungime r, T = 2πRădăcina pătrată a lui√(r/g), se află în centrul unora dintre cele mai precise metode de măsurare a lui g. Acest lucru nu s-ar fi întâmplat decât dacă comunitatea științifică ar fi acceptat descrierea comportamentului ideal făcută de Galilei și nu s-ar fi așteptat să fie zdruncinată în convingerea sa de mici abateri, atâta timp cât acestea puteau fi înțelese ca reflectând discrepanțe aleatorii inevitabile între ideal și realizarea sa experimentală. Dezvoltarea mecanicii cuantice în primul sfert al secolului al XX-lea a fost stimulată de acceptarea cu reticență a faptului că această descriere eșua sistematic atunci când era aplicată la obiecte de dimensiuni atomice. În acest caz, nu era vorba, ca în cazul variațiilor de perioadă, de a transpune mai precis ideile fizice în matematică; întreaga bază fizică trebuia revizuită radical. Cu toate acestea, ideile anterioare nu au fost aruncate la gunoi – se dovedise că funcționau bine în mult prea multe aplicații pentru a fi aruncate. Ceea ce a apărut a fost o înțelegere mai clară a circumstanțelor în care validitatea lor absolută putea fi asumată în siguranță.

.