Ce este matematica pură? Ce fac matematicienii puri? De ce este importantă matematica pură?

Aceste sunt întrebări cu care mă confrunt adesea atunci când oamenii descoperă că fac matematică pură.

Întotdeauna reușesc să dau un răspuns, dar acesta nu pare să satisfacă niciodată pe deplin.

Așa că voi încerca să dau un răspuns mai formulat și mai matur la aceste trei întrebări. Îmi cer scuze dinainte pentru simplificările exagerate pe care a trebuit să le fac pentru a fi concis.

În linii mari, există două tipuri diferite de matematică (și deja aud proteste) – pură și aplicată. Filosofi precum Bertrand Russell au încercat să dea definiții riguroase ale acestei clasificări.

Captez distincția în următoarea afirmație, oarecum criptică: matematicienii puri demonstrează teoreme și matematicienii aplicați construiesc teorii.

Ceea ce înseamnă acest lucru este că paradigma în care matematica este făcută de cele două grupuri de oameni este diferită.

Matematicienii puri sunt adesea conduși de probleme abstracte. Pentru a face abstractul concret, iată câteva exemple: “există un număr infinit de numere prime gemene” sau “orice afirmație matematică adevărată are o dovadă?”.

Pentru a fi mai precis, matematica construită din axiome, iar natura adevărului matematic este guvernată de logica predicatelor.

O teoremă matematică este o afirmație adevărată care este însoțită de o demonstrație care ilustrează adevărul său dincolo de orice îndoială prin deducție cu ajutorul logicii.

Spre deosebire de o teorie empirică, nu este suficient să se construiască pur și simplu o explicație care se poate schimba pe măsură ce apar excepții.

Ceva pe care un matematician îl bănuiește ca fiind adevărat datorită dovezilor, dar nu și a dovezilor, este pur și simplu o conjectură.

Matematicieni aplicați

Matematicienii aplicați sunt de obicei motivați de probleme care apar din lumea fizică. Ei folosesc matematica pentru a modela și rezolva aceste probleme.

Aceste modele sunt de fapt teorii și, ca în cazul oricărei științe, ele sunt supuse testării și falsificării. Pe măsură ce cantitatea de informații referitoare la problemă crește, este posibil ca aceste modele să se schimbe.

Pura și aplicată nu se exclud neapărat reciproc. Există mulți mari matematicieni care calcă pe ambele terenuri.

Pură

Există multe probleme urmărite de matematicienii puri care își au rădăcinile în probleme fizice concrete – în special cele care decurg din relativitate sau mecanica cuantică.

Tipic, în înțelegerea mai profundă a unor astfel de fenomene, apar diverse “tehnicități” (credeți-mă când vă spun că aceste tehnicități sunt foarte greu de explicat). Acestea se abstractizează în afirmații pur matematice pe care matematicienii puri le pot ataca.

Rezolvarea acestor probleme matematice poate avea apoi aplicații importante.

Ok computer

Dați-mi voie să dau un exemplu concret al modului în care gândirea abstractă a dus la dezvoltarea unui dispozitiv care stă la baza funcțiilor societății moderne: computerul.

Primele calculatoare erau cu program fix – adică erau construite special pentru a îndeplini o singură sarcină. Schimbarea programului era o chestiune foarte costisitoare și anevoioasă.

Rămășițele moderne ale unui astfel de dinozaur ar fi un calculator de buzunar, care este construit pentru a efectua doar aritmetica de bază. În schimb, un calculator modern permite să se încarce un program de calculator, sau un program de procesare a textelor, și nu trebuie să schimbi mașina pentru a face acest lucru.

Această schimbare de paradigmă a avut loc la mijlocul anilor 1940 și se numește program stocat sau arhitectură von Neumann.

Povestea larg accesibilă, dar mai puțin cunoscută, este că acest concept își are rădăcinile în investigarea unei probleme matematice abstracte numite Entscheidungsproblem (problemă de decizie).

Problema Entscheidungsproblem a fost formulată în în 1928 de celebrul matematician David Hilbert.

Se traduce aproximativ în felul următor: “există o procedură care poate decide adevărul sau falsitatea unui enunț matematic într-un număr finit de pași?”.

Acesta a fost răspuns negativ de către Alonzo Church și Alan Turing în mod independent în 1936 și 1937. În lucrarea sa, Turing formulează o mașină abstractă, pe care noi o numim acum mașina Turing.

Mașina posedă o bandă (memorie) infinit de lungă, un cap care se poate deplasa pas cu pas, poate citi de pe bandă și scrie pe bandă, un tabel finit de instrucțiuni care dă instrucțiuni capului și un set finit de stări (cum ar fi “acceptă” sau “refuză”). Mașina este inițiată de o intrare pe bandă.

O astfel de mașină nu poate exista în afara domeniului matematicii, deoarece are o bandă infinit de lungă.

Dar ea este instrumentul folosit pentru a defini noțiunea de calculabilitate. Adică, spunem că o problemă este calculabilă dacă o putem codifica folosind o mașină Turing.

Se poate vedea atunci paralela dintre o mașină Turing și o mașină cu program fix.

Acum, să presupunem că există o mașină Turing U care poate lua tabelul de instrucțiuni și stările unei mașini Turing arbitrare T (codificate în mod corespunzător) și, pe aceeași bandă, să introducă I în T și să ruleze mașina Turing T pe intrarea I.

O astfel de mașină se numește mașină Turing universală.

În lucrarea sa din 1937, Turing demonstrează o teoremă de existență importantă: există o mașină Turing universală. Aceasta este acum paralela conceptului de memorare-program, baza calculatorului programabil modern.

Este remarcabil faptul că o problemă abstractă privind fundamentele matematicii a pus bazele apariției calculatorului modern.

Este poate o caracteristică a matematicii pure faptul că matematicianul nu este constrâns de limitările lumii fizice și poate face apel la imaginație pentru a crea și construi obiecte abstracte.

Acest lucru nu înseamnă că matematicianul pur nu formalizează concepte fizice, cum ar fi energia, entropia etc., pentru a face matematică abstractă.

În orice caz, acest exemplu ar trebui să ilustreze faptul că urmărirea problemelor pur matematice este o cauză utilă care poate fi de o valoare extraordinară pentru societate.

.