Det er i dag en selvfølge for videnskabsfolk, at enhver måling er behæftet med fejl, så gentagelser af tilsyneladende samme forsøg giver forskellige resultater. I det intellektuelle klima på Galileos tid, hvor logiske syllogismer, der ikke tillod nogen gråzone mellem rigtigt og forkert, var det accepterede middel til at udlede konklusioner, var hans nye procedurer imidlertid langt fra overbevisende. Når man skal bedømme hans arbejde, må man huske på, at de konventioner, der nu er accepteret i forbindelse med rapportering af videnskabelige resultater, blev vedtaget længe efter Galileos tid. Hvis han således, som det siges, erklærede som en kendsgerning, at to genstande, der faldt ned fra det skæve tårn i Pisa, nåede jorden sammen med ikke så meget som en håndsbredde mellem dem, behøver det ikke at blive udledt, at han selv udførte eksperimentet, eller at resultatet, hvis han gjorde det, var helt så perfekt. Et sådant eksperiment var ganske vist blevet udført lidt tidligere (1586) af den flamske matematiker Simon Stevin, men Galilei havde idealiseret resultatet. En let kugle og en tung kugle når ikke jorden sammen, og forskellen mellem dem er heller ikke altid den samme, for det er umuligt at efterligne idealet med at lade dem falde præcis på samme tidspunkt. Ikke desto mindre var Galilei tilfreds med, at det kom tættere på sandheden at sige, at de faldt sammen, end at der var en væsentlig forskel mellem deres hastigheder. Denne idealisering af ufuldkomne eksperimenter er stadig en væsentlig videnskabelig proces, selv om det i dag anses for passende at fremlægge (eller i det mindste have de primære observationer til rådighed til kontrol), så andre uafhængigt kan vurdere, om de er villige til at acceptere forfatterens konklusion om, hvad der ville være blevet observeret i et ideelt udført eksperiment.

Principperne kan illustreres ved med fordel af moderne instrumenter at gentage et eksperiment, som Galileo selv udførte – nemlig at måle den tid, det tager en bold at rulle forskellige afstande ned ad en svagt hældende kanal. Den følgende beretning er et virkeligt eksperiment, der har til formål at vise i et meget simpelt eksempel, hvordan idealiseringsprocessen forløber, og hvordan de foreløbige konklusioner derefter kan underkastes en mere grundig afprøvning.

Linjer med lige store mellemrum på 6 cm (2,4 tommer) blev ridset på en messingkanal, og kuglen blev holdt i ro ved siden af den højeste linje ved hjælp af et kort. En elektronisk timer blev startet i det øjeblik, kortet blev fjernet, og timeren blev stoppet, når bolden passerede en af de andre linjer. Syv gentagelser af hver tidtagning viste, at målingerne typisk spredte sig over et interval på 1/20 af et sekund, formentlig på grund af menneskelige begrænsninger. I et sådant tilfælde, hvor en måling er udsat for tilfældige fejl, giver gennemsnittet af mange gentagelser et forbedret skøn over, hvad resultatet ville være, hvis kilden til tilfældige fejl blev elimineret; den faktor, hvormed skønnet forbedres, er omtrent kvadratroden af antallet af målinger. Desuden gør den fejlteori, der kan tilskrives den tyske matematiker Carl Friedrich Gauss, det muligt at foretage et kvantitativt skøn over resultatets pålidelighed, som i tabellen udtrykkes ved det konventionelle symbol ±. Det betyder ikke, at det første resultat i kolonne 2 med garanti ligger mellem 0,671 og 0,685, men at hvis denne bestemmelse af gennemsnittet af syv målinger blev gentaget mange gange, ville omkring to tredjedele af bestemmelserne ligge inden for disse grænser.

Den grafiske fremstilling af målinger, som i figur 1, var ikke tilgængelig for Galilei, men blev udviklet kort efter hans tid som en konsekvens af den franske matematiker og filosof René Descartes’ arbejde. Punkterne ser ud til at ligge tæt på en parabel, og den kurve, der tegnes, er defineret ved ligningen x = 12t2. Den passer ikke helt perfekt, og det er værd at forsøge at finde en bedre formel. Da der er forskel på, hvordan timeren startes, når kortet fjernes, så kuglen kan rulle, og hvordan den stoppes, når kuglen passerer et mærke, er der mulighed for, at der ud over tilfældige tidsfejl forekommer en systematisk fejl i hver målt værdi af t; det vil sige, at hver måling t måske skal tolkes som t + t0, hvor t0 er en endnu ukendt konstant tidsfejl. Hvis dette er tilfældet, kan man se på, om de målte tidspunkter er relateret til afstanden ikke ved x = at2, hvor a er en konstant, men ved x = a(t + t0)2. Dette kan også testes grafisk ved først at omskrive ligningen til Kvadratrod af√x = Kvadratrod af√a(t + t0), som siger, at når værdierne af Kvadratrod af√x plottes mod de målte værdier af t, skal de ligge på en ret linje. Figur 2 bekræfter denne forudsigelse ret nøje; linjen passerer ikke gennem oprindelsen, men skærer tværtimod den vandrette akse ved -0,09 sekund. Heraf kan man udlede, at t0 = 0,09 sekund, og at (t + 0,09)x bør være den samme for alle de målepar, der er angivet i den ledsagende tabel . Den tredje kolonne viser, at dette bestemt er tilfældet. Konstansen er faktisk bedre, end man kunne have forventet i betragtning af de anslåede fejl. Dette må betragtes som et statistisk uheld; det indebærer ikke nogen større sikkerhed i formlens rigtighed, end hvis tallene i sidste kolonne havde ligget, som de meget vel kunne have gjort, mellem 0,311 og 0,315. Man ville blive overrasket, hvis en gentagelse af hele forsøget igen gav et så næsten konstant resultat.

En mulig konklusion er derfor, at de målte tider af en eller anden grund – formentlig observationsforvridning – undervurderer den reelle tid t, det tager en bold, der starter fra hvile, at tilbagelægge en afstand x. Hvis det er tilfældet, ville x under ideelle forhold være strengt proportional med t2. Yderligere eksperimenter, hvor kanalen indstilles med forskellige, men stadig lette hældninger, tyder på, at den generelle regel har formen x = at2, hvor a er proportional med hældningen. Denne foreløbige idealisering af de eksperimentelle målinger skal muligvis ændres eller endog forkastes i lyset af yderligere eksperimenter. Men nu, hvor den er blevet omsat til matematisk form, kan den analyseres matematisk for at afsløre, hvilke konsekvenser den indebærer. Dette vil også foreslå måder at afprøve den mere søgende.

Fra en graf som figur 1, der viser, hvordan x afhænger af t, kan man udlede kuglens øjeblikkelige hastighed på et hvilket som helst tidspunkt. Dette er hældningen af den tangent, der trækkes til kurven ved den valgte værdi af t; ved t = 0,6 sekund beskriver tangenten, som den er tegnet, f.eks. hvordan x vil være relateret til t for en bold, der bevæger sig med en konstant hastighed på ca. 14 cm pr. sekund. Den lavere hældning før dette øjeblik og den højere hældning derefter viser, at kuglen accelererer støt og roligt. Man kunne tegne tangenter ved forskellige værdier af t og komme til den konklusion, at den øjeblikkelige hastighed var nogenlunde proportional med den tid, der var gået, siden bolden begyndte at rulle. Denne procedure med dens uundgåelige unøjagtigheder bliver unødvendig ved at anvende elementær beregning på den formodede formel. Den øjeblikkelige hastighed v er den afledte af x i forhold til t; hvis

Den implication, at hastigheden er strengt proportional med den forløbne tid, er, at en graf af v mod t ville være en ret linje gennem oprindelsen. På enhver graf af disse størrelser, uanset om den er lige eller ej, viser tangentens hældning i ethvert punkt, hvordan hastigheden ændrer sig med tiden i det pågældende øjeblik; dette er den øjeblikkelige acceleration f. For en graf af v mod t, der er lige, er hældningen og dermed accelerationen den samme på alle tidspunkter. Matematisk udtrykt er f = dv/dt = d2x/dt2; i det foreliggende tilfælde antager f den konstante værdi 2a.

Den foreløbige konklusion er således, at en bold, der ruller ned ad en lige skråning, oplever en konstant acceleration, og at accelerationens størrelse er proportional med hældningen. Det er nu muligt at teste gyldigheden af denne konklusion ved at finde ud af, hvad den forudsiger for en anden forsøgsopstilling. Hvis det er muligt, opstilles et forsøg, der giver mulighed for mere nøjagtige målinger end dem, der førte til den foreløbige slutning. En sådan test kan foretages ved at lade en kugle rulle i en buet kanal, således at dens centrum tegner en cirkelbue med radius r, som vist i figur 3. Forudsat at buen er lavvandet, er hældningen i en afstand x fra dens laveste punkt meget tæt på x/r, således at kuglens acceleration mod det laveste punkt er proportional med x/r. Ved at indføre c til at repræsentere proportionalitetskonstanten skrives dette som en differentialligning

Her anføres det, at på en graf, der viser, hvordan x varierer med t, er krumningen d2x/dt2 proportional med x og har det modsatte fortegn, som illustreret i figur 4. Når grafen krydser aksen, er x og dermed krumningen lig nul, og linjen er lokalt lige. Denne graf repræsenterer kuglens svingninger mellem yderpunkterne af ±A, efter at den er blevet frigjort fra x = A ved t = 0. Løsningen af den differentialligning, som diagrammet er den grafiske repræsentation af, er

hvor ω, kaldet vinkelfrekvensen, skrives for Kvadratrod af√(c/r). Kuglen tager tid T = 2π/ω = 2πkvadratrod af√(r/c) for at vende tilbage til sin oprindelige hvilestilling, hvorefter svingningen gentages i det uendelige, eller indtil friktion bringer kuglen til hvile.

Ifølge denne analyse er perioden, T, uafhængig af amplituden af svingningen, og denne ret uventede forudsigelse er en forudsigelse, der kan testes stringent. I stedet for at lade kuglen rulle på en buet kanal, kan man lettere og mere præcist realisere den samme bane ved at gøre den til bobben i et simpelt pendul. For at teste, at perioden er uafhængig af amplituden, kan to penduler gøres så næsten identiske som muligt, således at de holder trit, når de svinger med samme amplitude. De svinges derefter med forskellige amplituder. Det kræver stor forsigtighed at opdage nogen forskel i perioden, medmindre den ene amplitude er stor, hvor perioden er lidt længere. En observation, der meget tæt på stemmer overens med forudsigelsen, men ikke helt, viser ikke nødvendigvis, at den oprindelige antagelse er forkert. I dette tilfælde var den differentialligning, der forudsagde nøjagtig konstans af perioden, i sig selv en tilnærmelse. Når den omformuleres med det sande udtryk for hældningen i stedet for x/r, viser løsningen (som indebærer ret tung matematik) en variation af perioden med amplituden, som er blevet strengt bekræftet. Langt fra at være miskrediteret er den tentative antagelse kommet frem med øget støtte.

Galileos accelerationslov, det fysiske grundlag for udtrykket 2πKvadratrod af√(r/c) for perioden, er yderligere styrket ved at finde, at T varierer direkte som kvadratroden af r-i.e,

Dertil kommer, at sådanne målinger gør det muligt at bestemme værdien af konstanten c med høj præcision, og det viser sig, at den falder sammen med accelerationen g for et frit faldende legeme. Faktisk er formlen for perioden for små svingninger af et simpelt pendul af længde r, T = 2πkvadratrod af√(r/g), kernen i nogle af de mest præcise metoder til måling af g. Dette ville ikke være sket, medmindre det videnskabelige samfund havde accepteret Galileos beskrivelse af den ideelle adfærd og ikke forventede at blive rystet i sin tro af små afvigelser, så længe de kunne forstås som værende udtryk for uundgåelige tilfældige afvigelser mellem idealet og dets eksperimentelle realisering. Udviklingen af kvantemekanikken i den første fjerdedel af det 20. århundrede blev stimuleret af den modvillige accept af, at denne beskrivelse systematisk mislykkedes, når den blev anvendt på objekter af atomar størrelse. I dette tilfælde var det ikke et spørgsmål om at oversætte de fysiske idéer mere præcist til matematik, som det var tilfældet med variationer i perioden, men hele det fysiske grundlag måtte revideres radikalt. Alligevel blev de tidligere ideer ikke smidt ud – de havde vist sig at fungere godt i alt for mange anvendelser til at blive kasseret. Det, der kom frem, var en klarere forståelse af de omstændigheder, under hvilke deres absolutte gyldighed med sikkerhed kunne antages.