Hvad er ren matematik? Hvad laver rene matematikere? Hvorfor er ren matematik vigtig?

Dette er spørgsmål, som jeg ofte bliver konfronteret med, når folk opdager, at jeg laver ren matematik.

Jeg formår altid at give et svar, men det synes aldrig at være helt tilfredsstillende.

Så jeg vil forsøge at give et mere formuleret og modent svar på disse tre spørgsmål. Jeg undskylder på forhånd for de oversimplificeringer, jeg har måttet foretage for at være kortfattet.

Gennemsnitligt set er der to forskellige former for matematik (og jeg kan allerede høre protester) – ren og anvendt matematik. Filosoffer som Bertrand Russell forsøgte at give stringente definitioner af denne klassifikation.

Jeg fanger sondringen i følgende, lidt kryptiske, udsagn: Rene matematikere beviser sætninger, og anvendte matematikere konstruerer teorier.

Hvad dette betyder er, at det paradigme, som de to grupper af mennesker anvender matematik i, er forskelligt.

Pure matematikere er ofte drevet af abstrakte problemer. For at gøre det abstrakte konkret, er her et par eksempler: “Er der uendeligt mange tvillingprimer?” eller “Har alle sande matematiske udsagn et bevis?”

For at være mere præcis er matematikken bygget op af aksiomer, og arten af matematisk sandhed er styret af prædikatlogikken.

Et matematisk teorem er et sandt udsagn, der er ledsaget af et bevis, som illustrerer dets sandhed uden tvivl ved hjælp af deduktion ved hjælp af logik.

I modsætning til en empirisk teori er det ikke nok blot at konstruere en forklaring, der kan ændre sig efterhånden som undtagelser opstår.

Det, som en matematiker mistænker for at være sandt på grund af beviser, men ikke beviser, er simpelthen en formodning.

Anvendt

Anvendte matematikere er typisk motiveret af problemer, der stammer fra den fysiske verden. De bruger matematikken til at modellere og løse disse problemer.

Disse modeller er i virkeligheden teorier, og som med enhver videnskab er de underlagt testbarhed og falsificerbarhed. Efterhånden som mængden af oplysninger om problemet øges, vil disse modeller muligvis ændre sig.

Rene og anvendte er ikke nødvendigvis gensidigt udelukkende. Der er mange store matematikere, der betræder begge områder.

Pur

Der er mange problemer, som forfølges af rene matematikere, der har deres rødder i konkrete fysiske problemer – især dem, der udspringer af relativitetsteori eller kvantemekanik.

Typisk opstår der i en dybere forståelse af sådanne fænomener forskellige “teknikaliteter” (tro mig, når jeg fortæller dig, at disse teknikaliteter er meget svære at forklare). Disse bliver abstraheret væk til rent matematiske udsagn, som de rene matematikere kan angribe.

Løsningen af disse matematiske problemer kan så have vigtige anvendelser.

Ok computer

Lad mig give et konkret eksempel på, hvordan abstrakt tænkning førte til udviklingen af et apparat, der ligger til grund for det moderne samfunds funktioner: computeren.

De tidligste computere var fastprogrammerede – dvs. de var bygget med henblik på kun at udføre én opgave. Det var en meget bekostelig og kedelig affære at ændre programmet.

De moderne rester af en sådan dinosaur ville være en lommeregner, som er bygget til kun at udføre grundlæggende aritmetik. I modsætning hertil kan man med en moderne computer indlæse et lommeregnerprogram eller et tekstbehandlingsprogram, og man behøver ikke at skifte maskine for at gøre det.

Dette paradigmeskift fandt sted i midten af 1940’erne og kaldes det lagrede program eller von Neumann-arkitekturen.

Den bredt tilgængelige, men mindre kendte historie er, at dette koncept har sine rødder i undersøgelsen af et abstrakt matematisk problem kaldet Entscheidungsproblem (beslutningsproblem).

Det Entscheidungsproblem blev formuleret i i i 1928 af den berømte matematiker David Hilbert.

Det kan omtrent oversættes til følgende: “findes der en procedure, der kan afgøre sandheden eller falskheden af et matematisk udsagn i et endeligt antal trin?”

Dette blev besvaret benægtende af Alonzo Church og Alan Turing uafhængigt af hinanden i 1936 og 1937. I sin afhandling formulerer Turing en abstrakt maskine, som vi i dag kalder Turing-maskinen.

Maskinen besidder et uendeligt langt bånd (hukommelse), et hoved, der kan bevæge sig et trin ad gangen, læse fra og skrive til båndet, en endelig instruktionstabel, der giver instruktioner til hovedet, og et endeligt sæt tilstande (f.eks. “accept” eller “benægte”). Man sætter maskinen i gang med input på båndet.

En sådan maskine kan ikke eksistere uden for matematikkens område, da den har et uendeligt langt bånd.

Men den er det værktøj, der bruges til at definere begrebet beregnelighed. Det vil sige, at vi siger, at et problem er beregneligt, hvis vi kan indkode det ved hjælp af en Turing-maskine.

Man kan så se parallellerne mellem en Turing-maskine og en maskine med fast program.

Nu antager vi, at der findes en Turing-maskine U, der kan tage instruktionstabellen og tilstande fra en vilkårlig Turing-maskine T (passende kodet) og på samme bånd input I til T og køre Turing-maskinen T på input I.

En sådan maskine kaldes en universel Turing-maskine.

I sin afhandling fra 1937 beviser Turing et vigtigt eksistensteorem: Der findes en universel Turing-maskine. Dette er nu parallelt til begrebet lagerprogram, som er grundlaget for den moderne programmerbare computer.

Det er bemærkelsesværdigt, at et abstrakt problem vedrørende matematikkens grundlag lagde grunden til fremkomsten af den moderne computer.

Det er måske et træk ved den rene matematik, at matematikeren ikke er begrænset af den fysiske verdens begrænsninger og kan appellere til fantasien for at skabe og konstruere abstrakte objekter.

Det betyder ikke, at den rene matematiker ikke formaliserer fysiske begreber som f.eks. energi, entropi osv. for at lave abstrakt matematik.

I hvert fald skulle dette eksempel illustrere, at jagten på rent matematiske problemer er en værdifuld sag, som kan være af enorm værdi for samfundet.