Når en virksomhed producerer varer eller tjenesteydelser, pådrager den sig omkostninger i forbindelse med produktionen af disse varer og tjenesteydelser. Nogle af disse omkostninger er variable og ændrer sig i takt med, at produktionen ændrer sig. Elementer som råmaterialer, arbejdskraft og omkostninger til forsyningsselskaber varierer alle i takt med produktionsændringer og kaldes variable omkostninger. Andre omkostninger, som f.eks. leasingbetalinger og forsikringsbetalinger, er faste omkostninger. Når produktionen ændrer sig, varierer disse faste omkostninger ikke.

De samlede omkostninger er summen af de variable og faste omkostninger,

Totale omkostninger = variable omkostninger + faste omkostninger

En simpel model for de samlede omkostninger er en lineær model. I en lineær model svarer den term, der indeholder variablen, til de variable omkostninger, og den konstante term svarer til de faste omkostninger.

hvor der produceres Q enheder. Konstanten a er omkostningerne pr. enhed, og b er de faste omkostninger.

En anden model for omkostninger er en kvadratisk model.

I denne model modellerer termerne med variabler de variable omkostninger, og konstanten c modellerer de faste omkostninger.

Erhverv søger ofte at få succes ved at sænke deres omkostninger. Dette betyder imidlertid ikke, at den samlede omkostningsfunktion skal sænkes. De laveste samlede omkostninger ville blive opnået ved slet ikke at producere nogen enheder. Generelt søger virksomhederne at sænke deres gennemsnitlige omkostninger.

Med andre ord er de gennemsnitlige omkostninger ved at producere Q enheder de samlede omkostninger ved at producere Q enheder divideret med det antal producerede enheder Q.

Lad os se på et hurtigt eksempel. Lad os antage, at en virksomhed producerer et enkelt produkt kaldet en solbrødrister. Det koster virksomheden 20 $ at producere hver solbrødrister, og virksomheden har 5050 $50 i daglige faste omkostninger. Hvis virksomheden producerer Q solbrødristere hver dag, kan vi skrive de samlede daglige omkostninger ud som

TC (Q) = 20Q + 5050 dollars

Bemærk, at denne funktion er blevet defineret på daglig basis, da de faste omkostninger er givet på daglig basis. Vi kunne også definere de samlede årlige omkostninger ved at ændre den variable beskrivelse og de faste omkostninger på passende vis. Så længe omkostningerne pr. enhed er konstante på årsbasis, er dette også rimeligt.

Hvis vi ønsker at kende de samlede daglige omkostninger ved at producere 100 brødristere pr. dag, ville vi beregne

TC (100) = 20(100) + 5050 = 7050 dollars

De gennemsnitlige daglige omkostninger ved at producere 100 brødristere pr. dag er

Dette fortæller os, at hver solbrødrister koster 70,50 dollars, selv om omkostningerne til materialer og arbejdskraft kun er 20 dollars pr. brødrister. Dette skyldes, at den gennemsnitlige omkostning tager højde for de høje daglige faste omkostninger. Den gennemsnitlige omkostning for at producere 200 brødristere er imidlertid

Selv om den samlede daglige omkostning for at producere brødristere er højere, når der laves 200 brødristere hver dag, er den gennemsnitlige omkostning lavere.

Vi kan bruge gennemsnitsomkostningsfunktionen

til at finde gennemsnitsomkostningen på et hvilket som helst produktionsniveau.

Denne funktion bruges til at bestemme den hastighed, hvormed gennemsnitsomkostningsfunktionen ændrer sig.

Eksempel 5. Find gennemsnitsomkostningsfunktionen

Omkostningerne til varer og tjenester hos Verizon er givet ved funktionen

TC(Q) = 490.268Q + 2367.072 millioner dollars

hvor Q er antallet af abonnenter til private og trådløse tjenester i millioner.

a. Find den gennemsnitlige omkostningsfunktion TC(Q) .

Løsning. Den gennemsnitlige omkostningsfunktion dannes ved at dividere omkostningerne med mængden. i forbindelse med denne ansøgning er den gennemsnitlige omkostningsfunktion

Sæt udtrykket for omkostningerne i tælleren for at få

b. Find og fortolk TC(50).

Løsning. Funktionsværdien fås ved at indsætte Q = 50 i gennemsnitsomkostningsfunktionen

Tælleren på gennemsnitsomkostningsfunktionen har enheder i millioner af dollars, og nævneren har enheder i millioner af abonnenter. Ved at dividere enhederne fås

Så TC(50) ≈ 537,61 betyder, at når Verizon har 50 millioner abonnenter, er deres gennemsnitlige omkostninger pr. abonnent 537,61 dollar pr. abonnent.

c. Find den afledte af den gennemsnitlige omkostningsfunktion TC'(Q).

Løsning. Vi kan anvende Kvotientreglen for afledte med

u = 490,268Q + 2367,072 og v = Q. De afledte af tælleren og nævneren er

Ved anvendelse af Kvotientreglen får vi den afledte

d. Find og fortolk den marginale gennemsnitsomkostning TC ′(50).

Denne sats angiver, hvor hurtigt gennemsnitsomkostningen ændrer sig, efterhånden som antallet af abonnenter øges. Enhederne på denne sats er

Værdien TC ′(50) ≈ -0,95 fortæller os, at ved et abonnentniveau på 50 millioner falder gennemsnitsomkostningerne med 0,95 dollar pr. abonnent for hver 1 million ekstra abonnenter.