mange elever støder på geometri-muren i gymnasiet, og deres matematiske rejse slutter. Denne mur forhindrer dem ofte i at fortsætte i matematikkurser og få en vellykket overgang til college.
Der er en række grunde til, at denne mur er så svær at overvinde. For det første synes der at være beviser for, at folk har en tendens til at have en naturlig tilbøjelighed til enten en aritmetisk måde at gribe matematik an på eller en visuel og geometrisk måde at gribe den an på. For den førstnævnte gruppe er evnen til at ræsonnere rumligt ikke så let som for de andre. Som lærere kan vi ikke kontrollere en persons naturlige evner. Nogle elever lærer fremmedsprog hurtigere end andre; nogle elever er mere naturligt koordinerede.
Den gode nyhed for undervisere er, at disse mangler ikke betyder, at disse færdigheder ikke kan udvikles og læres. For mange elevers vedkommende skyldes deres manglende geometriforståelse til dels manglende muligheder for at opleve rumlige læreplaner.
Mange lærebøger og mange distriktspasningsvejledninger lægger vægt på talforståelse, aritmetik og algebraiske ræsonnementer. Geometri (sammen med data og statistik) er ofte gemt i de sidste kapitler i bogen og de sidste uger af året efter statsprøverne. Fordi vi undervisere er pressede på tid og har brug for at genuddanne og gennemgå begreber, som vi ikke har forstået fuldt ud, undlader vi ofte at nå disse kapitler. Således kommer eleverne ind i gymnasiets geometriundervisning med følgende færdigheder: “Det viser sig, at det grundlæggende arbejde med geometrisk tænkning blev udført af et hollandsk ægtepar, familien van Hiele. De gjorde to vigtige opdagelser om, hvordan vi lærer geometri. For det første er der fem sekventielle niveauer af geometrisk tænkning. (Mere om dem om lidt.) For det andet, og det er den virkelig gode nyhed, er det at bevæge sig fra et niveau til det næste højere niveau ikke så meget et spørgsmål om kognitiv udvikling, der afhænger af alder, men snarere af eksponering for disse geometriske erfaringer.
Her er de fem niveauer for tilegnelse af geometrisk tænkning. Elever på et niveau kan ikke springe over til et andet, men må bevæge sig sekventielt gennem lagene. (Van Hiele’erne nummererede deres fem niveauer 0-4, mens amerikanske forskere har omklassificeret dem til 1-5 for at tage højde for et niveau nul, hvor et barn ikke har nogen geometrisk viden.)
1. Visualisering – Børn kan identificere figurer ud fra udseende og ikke ud fra egenskaber. Elever på dette niveau kan måske ikke se et kvadrat som en type rektangel eller endda se det som et kvadrat, hvis det er drejet en smule.
2. Analyse – På dette niveau begynder eleverne at knytte egenskaber til deres figurer. Den elev, der havde svært ved at identificere et drejet kvadrat, vil nu se, at det har fire kongruente sider og fire rette vinkler og derfor er et kvadrat. På samme måde ville eleven på niveau 1 have svært ved at genkende en trekant med et toppunkt nedad og en base øverst, mens eleven på niveau 2 kan se, at de tre sider gør det til en trekant.
3. Abstraktion – Nu kan eleverne begynde at tænke over egenskaberne og anvende dem på argumenter, der involverer induktive ræsonnementer. Den elev, der ser, at fire forskellige trekanter alle har en indre vinkelsum på 180°, vil bruge dette mønster til at ræsonnere, at alle trekanter må have den samme indre vinkelsum.
4. Deduktion – På dette niveau bruger eleverne deduktiv logik til at bevise deres formodninger fra det foregående niveau.
5. Stivhed – Dette niveau går videre end det tidligere niveau for at udforske beviser ved hjælp af negation og ikke-euklidisk geometri.
Som du kan se, arbejder de fleste elever i grundskoleniveauet på niveau et; de genkender figurer. De gør det dog ikke altid flydende og præcist. Jeg viste engang et kvadrat til nogle elever i 4. og 5. klasse og bad dem om at nævne formen. De havde ingen problemer med at fortælle mig, at det var et kvadrat. Men da jeg drejede det, så det lignede en baseballdiamant, sagde ca. ni ud af ti, at det nu var en diamant. Resten forsikrede mig om, at det var en rhombe. Kun én elev ud af over 100 var i stand til at fortælle mig korrekt, at det stadig var et kvadrat, og jeg havde kun drejet det.
Men i modsætning hertil undervises der i algebra på gymnasiet på niveau fire og fem. Fordi eleverne skal bevæge sig gennem disse niveauer i rækkefølge, er det, som om vi har bedt dem klatre op ad en stige, der kun indeholder de første og de to sidste trin med et stort hul i midten.
Dette illustrerer de kampe, vi står over for, når vi underviser i geometri. At identificere et kvadrat er en del af de fleste staters børnehavestandarder. Men kun 1 % af de elever, jeg spurgte, vidste fem år senere, hvad et kvadrat var. Det skyldes naturligvis, at når deres tekst eller lærere viste firkanter, havde de typisk en grundlinje, der var parallel med bunden af siden. Eleverne havde ikke været opmærksomme på firkanternes egenskaber.
Men da jeg stillede det samme problem til elever i 8. klasse, var næsten alle i stand til at identificere formen som et kvadrat, selv når den var drejet. Dette viser os, at deres tilegnelse af denne viden ikke skete som følge af vores børnehaveklasseundervisning, men snarere på grund af de erfaringer, de mødte i senere klasser.
Det er igen gode nyheder, for det fortæller os, at vi kan fremskynde denne vækst ved at tilbyde eleverne disse afgørende erfaringer i geometri. Men da de fleste lærebøger ikke giver disse muligheder, er det op til os at skabe disse lektioner. Heldigvis er de derude. I en kommende blog vil jeg give eksempler på mellemliggende aktiviteter, som vil hjælpe eleverne med at bygge bro over hullerne i deres geometriske stige.