Reformatering af input :

Ændringer foretaget i dit input bør ikke påvirke løsningen:
(1): “x2” blev erstattet med “x^2”.

Strin for trin-løsning :

Forsøg på at faktorisere ved at opdele den midterste term

1.1 Factoring x2-2x-1
Den første term er, x2 dens koefficient er 1 .
Den midterste term er, -2x dens koefficient er -2 .
Den sidste term, “konstanten”, er -1
Strg-1 : Multiplicer koefficienten af den første term med konstanten 1 – -1 = -1
Strg-2 : Find to faktorer af -1 , hvis sum er lig med koefficienten af den midterste term, som er -2 .

-1

+

1

=

0

Observation : Der kan ikke findes to sådanne faktorer !!!
Slutning : Trinomium kan ikke faktoriseres

Stilling i slutningen af trin 1 :

 x2 - 2x - 1 = 0 

Strin 2 :

Parabola, finde toppunktet :

2.1 Find toppunktet for y = x2-2x-1
Paraboler har et højeste eller et laveste punkt, der kaldes toppunktet . Vores parabel åbner sig op og har følgelig et laveste punkt (AKA absolut minimum) . Vi ved dette, allerede inden vi tegner “y”, fordi koefficienten for det første udtryk, 1 , er positiv (større end nul).
Hver parabel har en lodret symmetrilinje, der går gennem dens toppunkt. På grund af denne symmetri vil symmetrilinjen f.eks. gå gennem midtpunktet af de to x -skæringspunkter (rødder eller løsninger) i parablen. Det vil sige, hvis parablen faktisk har to reelle løsninger.
Paraboler kan danne model for mange situationer i det virkelige liv, f.eks. højden over jorden for en genstand, der kastes opad, efter et vist tidsrum. Parablens toppunkt kan give os oplysninger, f.eks. om den maksimale højde, som den genstand, der kastes opad, kan nå. Derfor ønsker vi at kunne finde koordinaterne for toppunktet.
For enhver parabel,Ax2+Bx+C,er toppunktets x -koordinat givet ved -B/(2A) . I vores tilfælde er x -koordinaten 1,0000
Ved hjælp af parabelformlen 1,0000 for x kan vi udregne y -koordinaten :
y = 1,0 * 1,00 * 1,00 * 1,00 – 2,0 * 1,00 – 1,0
eller y = -2,000

Parabola, grafering af toppunkt og X-intercepter :

Løs quadratisk ligning ved at udfylde kvadratet

Løs quadratisk ligning ved hjælp af den quadratiske formel

2.3 Løsning af x2-2x-1 = 0 ved hjælp af den quadratiske formel .
I henhold til den kvadratiske formel, x , er løsningen til Ax2+Bx+C = 0 , hvor A, B og C er tal, ofte kaldet koefficienter, givet ved :
– B ± √ B2-4AC
x = ——–
2A
I vores tilfælde er A = 1
B = -2
C = -1
I overensstemmelse hermed er B2 – 4AC =
4 – (-4) =
8
Gennem anvendelse af den kvadratiske formel :
2 ± √ 8
x = —-
2

Kan √ 8 forenkles ?
Ja! Primfaktoriseringen af 8 er
2-2-2-2
For at kunne fjerne noget under radikalen skal der være 2 forekomster af den (fordi vi tager en kvadrat, dvs. anden rod).
√ 8 = √ 2-2-2-2 =
± 2 – √ 2
√ 2 , afrundet til 4 decimaler, er 1.4142
Så nu ser vi på:
x = ( 2 ± 2 – 1,414 ) / 2
To reelle løsninger:
x =(2+√8)/2=1+√ 2 = 2,414
eller:
x =(2-√8)/2=1-√ 2 = -0,414

Der blev fundet to løsninger :