En vektor kan repræsenteres ved et ordnet par (x,y), men den kan også repræsenteres ved en kolonne-matrix:

$$$$\begin{bmatrix} x\\\ y \end{bmatrix}$$$$

Polygoner kan også repræsenteres i matrixform, vi placerer simpelthen alle koordinaterne for toppene i en matrix. Dette kaldes en toppunktsmatrix.

Eksempel

Et kvadrat har sine toppunkter i følgende koordinater: (1,1), (-1,1), (-1,-1) og (1,-1). Hvis vi vil oprette vores toppunktsmatrix, sætter vi hvert ordnet par ind i hver kolonne i en 4-kolonne-matrix:

$$$\begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \\\\ y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 &-1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & -1 & -1 \end{bmatrix}$$$

Vi kan bruge matricer til at oversætte vores figur, hvis vi ønsker at oversætte figuren x+3 og y+2 skal vi blot tilføje 3 til hver x-koordinat og 2 til hver y-koordinat.

$$$\\\\begin{bmatrix} x_{1}+3 & x_{2}+3 &x_{3}+3 &x_{4}+3 \\\ y_{1}+2 &y_{2}+2 &y_{2}+2 & y_{2}+2 \end{bmatrix}$$$

Hvis vi ønsker at udvide en figur, skal vi blot gange hver x- og y-koordinat med den skalafaktor, som vi ønsker at udvide med.

$$$$3\cdot \begin{bmatrix} x_{1} &x_{2} &x_{3} &x_{4} \\ y_{1}&y_{2} &y_{3} &y_{4} \end{bmatrix}$$$

Når vi ønsker at skabe et refleksionsbillede, multiplicerer vi vores figurs toppunktsmatrix med det, der kaldes en refleksionsmatrix. De mest almindelige refleksionsmatricer er:

for en refleksion i x-aksen

$$$\begin{bmatrix} 1 & 0\\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$$

for en refleksion i y-aksen

$$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$$

for en refleksion i oprindelsen

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$$

for en refleksion i linjen y=x

$$\begin{bmatrix}$$

0 & 1\\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$$

Eksempel

Vi ønsker at skabe en refleksion af vektoren i x-aksen.

$$$\overrightarrow{A}}=\begin{bmatrix} -1 & 3\\\ 2 & -2 \end{bmatrix}}$$$

For at skabe vores refleksion skal vi multiplicere den med den korrekte refleksionsmatrix

$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0 & 1 \end{bmatrix}}$$$

Dermed er toppunktsmatrixen for vores refleksion

$$$\\\ \\begin{bmatrix} -1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -1 & 3\\\\ 2 & -2 \end{bmatrix}=\\\\ \\\\\begin{bmatrix} (1\cdot -1)+(0\cdot2) & (1\cdot3)+(0\cdot-2)\\\ (0\cdot-1)+(-1\cdot2) & (0\cdot3)+(-1\cdot-2) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} -1 & 3\\\ -2 & 2 \end{bmatrix}$$$

Hvis vi ønsker at rotere en figur, opererer vi på samme måde som når vi skaber en refleksion. Hvis vi ønsker at rotere en figur 90° mod uret, multiplicerer vi toppunktsmatrixen med

$$$\begin{bmatrix} 0 & -1\\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$$

Hvis vi ønsker at rotere en figur 180° mod uret, multiplicerer vi toppunktsmatricen med

$$$\begin{bmatrix} -1 & 0\\\ 0& -1 \end{bmatrix}$$$

Hvis vi ønsker at dreje en figur 270° mod uret eller 90° med uret, skal vi gange toppunktsmatricen med

$$\begin{bmatrix}$$

0& 1\\\ -1& 0 \end{bmatrix}$$$

Videolektion

Rotér vektoren A 90° mod uret og tegn begge vektorer i koordinatplanet

$$\underset{A}{\rightarrow}=\begin{bmatrix} -1 & 2\\\\ -1 & 3 \end{bmatrix}$$$