Hoy en día, los científicos dan por sentado que toda medición está sujeta a errores, de modo que las repeticiones de un experimento aparentemente igual dan resultados diferentes. Sin embargo, en el clima intelectual de la época de Galileo, cuando los silogismos lógicos que no admitían ninguna zona gris entre lo correcto y lo incorrecto eran los medios aceptados para deducir conclusiones, sus novedosos procedimientos estaban lejos de ser convincentes. A la hora de juzgar su trabajo, hay que recordar que las convenciones actualmente aceptadas para informar de los resultados científicos se adoptaron mucho después de la época de Galileo. Así, si, como se dice, afirmó como un hecho que dos objetos arrojados desde la torre inclinada de Pisa llegaron juntos al suelo sin que les separara más que un palmo, no hay que deducir que él mismo realizara el experimento o que, si lo hizo, el resultado fuera tan perfecto. El matemático flamenco Simon Stevin había realizado un experimento de este tipo un poco antes (1586), pero Galileo idealizó el resultado. Una bola ligera y otra pesada no llegan juntas al suelo, ni la diferencia entre ellas es siempre la misma, pues es imposible reproducir el ideal de dejarlas caer exactamente en el mismo instante. Sin embargo, Galileo estaba satisfecho de que se acercaba más a la verdad decir que caían juntas que que había una diferencia significativa entre sus velocidades. Esta idealización de los experimentos imperfectos sigue siendo un proceso científico esencial, aunque hoy en día se considera apropiado presentar (o al menos tener disponibles para su escrutinio) las observaciones primarias, para que otros puedan juzgar de forma independiente si están preparados para aceptar la conclusión del autor en cuanto a lo que se habría observado en un experimento realizado de forma ideal.
Los principios pueden ilustrarse repitiendo, con la ventaja de los instrumentos modernos, un experimento como el que realizó el propio Galileo, a saber, el de medir el tiempo que tarda una pelota en rodar diferentes distancias por un canal ligeramente inclinado. El siguiente relato es de un experimento real diseñado para mostrar en un ejemplo muy simple cómo procede el proceso de idealización, y cómo las conclusiones preliminares pueden entonces ser sometidas a una prueba más profunda.
Se trazaron líneas igualmente espaciadas a 6 cm (2,4 pulgadas) en un canal de latón, y la pelota se mantuvo en reposo junto a la línea más alta por medio de una tarjeta. Se puso en marcha un temporizador electrónico en el momento en que se retiró la tarjeta, y el temporizador se detuvo cuando la pelota pasó por una de las otras líneas. Siete repeticiones de cada cronometraje mostraron que las mediciones se extendían normalmente en un rango de 1/20 de segundo, presumiblemente debido a las limitaciones humanas. En este caso, en el que una medición está sujeta a un error aleatorio, la media de muchas repeticiones da una estimación mejorada de cuál sería el resultado si se eliminara la fuente de error aleatorio; el factor por el que se mejora la estimación es aproximadamente la raíz cuadrada del número de mediciones. Además, la teoría de los errores atribuida al matemático alemán Carl Friedrich Gauss permite hacer una estimación cuantitativa de la fiabilidad del resultado, expresada en la tabla mediante el símbolo convencional ±. Esto no significa que se garantice que el primer resultado de la columna 2 se sitúe entre 0,671 y 0,685, sino que, si esta determinación de la media de siete mediciones se repitiera muchas veces, aproximadamente dos tercios de las determinaciones se situarían dentro de estos límites.
La representación de las mediciones mediante un gráfico, como el de la figura 1, no estaba al alcance de Galileo, sino que se desarrolló poco después de su época como consecuencia de los trabajos del matemático-filósofo francés René Descartes. Los puntos parecen acercarse a una parábola, y la curva que se dibuja está definida por la ecuación x = 12t2. El ajuste no es del todo perfecto, y vale la pena intentar encontrar una fórmula mejor. Dado que las operaciones de poner en marcha el cronómetro cuando se retira la tarjeta para permitir que la bola ruede y de pararlo cuando la bola pasa por una marca son diferentes, existe la posibilidad de que, además de los errores aleatorios de cronometraje, aparezca un error sistemático en cada valor medido de t; es decir, cada medición t quizá deba interpretarse como t + t0, donde t0 es un error constante de cronometraje aún desconocido. Si esto es así, se podría comprobar si los tiempos medidos están relacionados con la distancia no por x = at2, donde a es una constante, sino por x = a(t + t0)2. Esto también puede comprobarse gráficamente reescribiendo primero la ecuación como Raíz cuadrada de√x = Raíz cuadrada de√a(t + t0), que establece que cuando los valores de la raíz cuadrada de√x se trazan frente a los valores medidos de t deben situarse en una línea recta. La figura 2 verifica esta predicción con bastante precisión; la línea no pasa por el origen, sino que corta el eje horizontal en -0,09 segundos. De ello se deduce que t0 = 0,09 segundos y que (t + 0,09)x debería ser el mismo para todos los pares de mediciones que aparecen en la tabla adjunta de 
. La tercera columna muestra que éste es ciertamente el caso. De hecho, la constancia es mejor de lo que cabría esperar a la vista de los errores estimados. Esto debe considerarse como un accidente estadístico; no implica una mayor seguridad en la corrección de la fórmula que si las cifras de la última columna hubieran oscilado, como muy bien podrían haber hecho, entre 0,311 y 0,315. Uno se sorprendería si una repetición de todo el experimento volviera a dar un resultado tan casi constante.
Encyclopædia Britannica, Inc.
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Una posible conclusión, por tanto, es que por alguna razón -probablemente un sesgo de observación- los tiempos medidos subestiman en 0,09 segundos el tiempo real t que tarda una pelota, partiendo del reposo, en recorrer una distancia x. De ser así, en condiciones ideales x sería estrictamente proporcional a t2. Otros experimentos, en los que el canal se ajusta a pendientes diferentes pero todavía suaves, sugieren que la regla general adopta la forma x = at2, con a proporcional a la pendiente. Es posible que esta idealización provisional de las mediciones experimentales deba modificarse, o incluso descartarse, a la luz de nuevos experimentos. Sin embargo, ahora que se ha plasmado en forma matemática, se puede analizar matemáticamente para revelar las consecuencias que implica. Además, esto sugerirá formas de comprobarla con mayor profundidad.
A partir de un gráfico como el de la figura 1, que muestra cómo x depende de t, se puede deducir la velocidad instantánea de la bola en cualquier instante. Se trata de la pendiente de la tangente dibujada a la curva en el valor elegido de t; en t = 0,6 segundos, por ejemplo, la tangente dibujada describe cómo se relacionaría x con t para una pelota que se mueve a una velocidad constante de unos 14 cm por segundo. La pendiente más baja antes de este instante y la más alta después indican que la pelota está acelerando constantemente. Se podrían trazar tangentes a distintos valores de t y llegar a la conclusión de que la velocidad instantánea es aproximadamente proporcional al tiempo transcurrido desde que la pelota empezó a rodar. Este procedimiento, con sus inevitables inexactitudes, se hace innecesario aplicando el cálculo elemental a la supuesta fórmula. La velocidad instantánea v es la derivada de x con respecto a t; si
La implicación de que la velocidad es estrictamente proporcional al tiempo transcurrido es que una gráfica de v contra t sería una línea recta que pasa por el origen. En cualquier gráfica de estas cantidades, ya sea recta o no, la pendiente de la tangente en cualquier punto muestra cómo está cambiando la velocidad con el tiempo en ese instante; ésta es la aceleración instantánea f. Para una gráfica de línea recta de v contra t, la pendiente y por lo tanto la aceleración son las mismas en todo momento. Expresado matemáticamente, f = dv/dt = d2x/dt2; en el presente caso, f toma el valor constante 2a.
La conclusión preliminar, entonces, es que una pelota que rueda por una pendiente recta experimenta una aceleración constante y que la magnitud de la aceleración es proporcional a la pendiente. Ahora es posible probar la validez de la conclusión encontrando lo que predice para una disposición experimental diferente. Si es posible, se establece un experimento que permita realizar mediciones más precisas que las que condujeron a la inferencia preliminar. Una prueba de este tipo consiste en hacer rodar una bola en un canal curvo de forma que su centro trace un arco circular de radio r, como en la figura 3. Siempre que el arco sea poco profundo, la pendiente a una distancia x de su punto más bajo es muy cercana a x/r, de modo que la aceleración de la bola hacia el punto más bajo es proporcional a x/r. Introduciendo c para representar la constante de proporcionalidad, esto se escribe como una ecuación diferencial
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Aquí se afirma que, en una gráfica que muestra cómo varía x con t, la curvatura d2x/dt2 es proporcional a x y tiene el signo contrario, como se ilustra en la figura 4. Cuando la gráfica cruza el eje, x y por tanto la curvatura son cero, y la línea es localmente recta. Esta gráfica representa las oscilaciones de la bola entre los extremos de ±A después de haber sido liberada de x = A en t = 0. La solución de la ecuación diferencial de la que el diagrama es la representación gráfica es
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donde ω, llamada frecuencia angular, se escribe para la raíz cuadrada de√(c/r). La bola tarda un tiempo T = 2π/ω = 2πRaíz cuadrada de√(r/c) en volver a su posición original de reposo, tras lo cual la oscilación se repite indefinidamente o hasta que el rozamiento lleva a la bola al reposo.
De acuerdo con este análisis, el periodo, T, es independiente de la amplitud de la oscilación, y esta predicción, bastante inesperada, puede ser comprobada rigurosamente. En lugar de dejar que la bola ruede por un canal curvo, la misma trayectoria se realiza con más facilidad y exactitud haciendo que sea la caña de un péndulo simple. Para comprobar que el período es independiente de la amplitud, se pueden hacer dos péndulos lo más idénticos posible, de modo que se mantengan en el mismo paso cuando oscilan con la misma amplitud. A continuación, se hacen oscilar con diferentes amplitudes. Se requiere un cuidado considerable para detectar cualquier diferencia en el período a menos que una amplitud sea grande, cuando el período es ligeramente más largo. Una observación que casi coincide con la predicción, pero no del todo, no muestra necesariamente que la suposición inicial sea errónea. En este caso, la ecuación diferencial que predecía la constancia exacta del periodo era en sí misma una aproximación. Cuando se reformula con la verdadera expresión de la pendiente sustituyendo a x/r, la solución (que implica una matemática bastante pesada) muestra una variación del periodo con la amplitud que se ha verificado rigurosamente. Lejos de ser desacreditada, la hipótesis tentativa ha surgido con un apoyo mejorado.
La ley de aceleración de Galileo, la base física de la expresión 2πRaíz cuadrada de√(r/c) para el período, se refuerza aún más al encontrar que T varía directamente como la raíz cuadrada de r -es decir, la longitud del péndulo.
Además, tales mediciones permiten determinar el valor de la constante c con un alto grado de precisión, y se encuentra que coincide con la aceleración g de un cuerpo que cae libremente. De hecho, la fórmula para el periodo de las pequeñas oscilaciones de un péndulo simple de longitud r, T = 2πRaíz cuadrada de√(r/g), está en el corazón de algunos de los métodos más precisos para medir g. Esto no habría ocurrido a menos que la comunidad científica hubiera aceptado la descripción del comportamiento ideal de Galileo y no esperara verse sacudida en su creencia por pequeñas desviaciones, siempre que pudieran entenderse como el reflejo de inevitables discrepancias aleatorias entre el ideal y su realización experimental. El desarrollo de la mecánica cuántica en el primer cuarto del siglo XX se vio estimulado por la aceptación a regañadientes de que esta descripción fallaba sistemáticamente cuando se aplicaba a objetos de tamaño atómico. En este caso, no se trataba, como en el caso de las variaciones del período, de traducir las ideas físicas a las matemáticas con mayor precisión; toda la base física necesitaba una revisión radical. Sin embargo, no se desecharon las ideas anteriores, ya que se había comprobado que funcionaban bien en demasiadas aplicaciones como para descartarlas. Lo que surgió fue una comprensión más clara de las circunstancias en las que se podía asumir con seguridad su validez absoluta.