¿Qué son las matemáticas puras? Qué hacen los matemáticos puros? Por qué es importante la matemática pura?

Estas son preguntas a las que me enfrento a menudo cuando la gente descubre que hago matemáticas puras.

Siempre consigo dar una respuesta, pero nunca parece satisfacer del todo.

Así que intentaré dar una respuesta más formulada y madura a estas tres preguntas. Me disculpo de antemano por las simplificaciones que he tenido que hacer para ser conciso.

En términos generales, hay dos tipos diferentes de matemáticas (y ya puedo oír protestas): las puras y las aplicadas. Filósofos como Bertrand Russell intentaron dar definiciones rigurosas de esta clasificación.

Capturo la distinción en la siguiente afirmación, un tanto críptica: los matemáticos puros demuestran teoremas y los matemáticos aplicados construyen teorías.

Lo que esto significa es que el paradigma en el que las matemáticas son hechas por los dos grupos de personas son diferentes.

Los matemáticos puros suelen dejarse llevar por problemas abstractos. Para concretar lo abstracto, he aquí un par de ejemplos: “¿hay infinitos primos gemelos?” o “¿tiene todo enunciado matemático verdadero una prueba?”.

Para ser más precisos, las matemáticas se construyen a partir de axiomas, y la naturaleza de la verdad matemática se rige por la lógica de predicados.

Un teorema matemático es un enunciado verdadero que va acompañado de una prueba que ilustra su verdad más allá de toda duda mediante la deducción utilizando la lógica.

A diferencia de una teoría empírica, no basta con construir una explicación que puede cambiar según surjan excepciones.

Algo que un matemático sospecha que es cierto debido a la evidencia, pero no a la prueba, es simplemente una conjetura.

Matemáticas aplicadas

Los matemáticos aplicados suelen estar motivados por problemas que surgen del mundo físico. Utilizan las matemáticas para modelar y resolver estos problemas.

Estos modelos son realmente teorías y, como en cualquier ciencia, están sujetos a la testificabilidad y falsabilidad. A medida que aumenta la cantidad de información relativa al problema, estos modelos posiblemente cambiarán.

Pura y aplicada no son necesariamente excluyentes. Hay muchos grandes matemáticos que pisan ambos terrenos.

Pura

Hay muchos problemas perseguidos por los matemáticos puros que tienen sus raíces en problemas físicos concretos – particularmente los que surgen de la relatividad o la mecánica cuántica.

Típicamente, en una comprensión más profunda de tales fenómenos, surgen varios “tecnicismos” (créanme cuando les digo que estos tecnicismos son muy difíciles de explicar). Estos se abstraen en enunciados puramente matemáticos que los matemáticos puros pueden atacar.

La resolución de estos problemas matemáticos puede tener entonces importantes aplicaciones.

Ok computer

Permítanme dar un ejemplo concreto de cómo el pensamiento abstracto condujo al desarrollo de un dispositivo que sustenta las funciones de la sociedad moderna: el ordenador.

Los primeros ordenadores tenían un programa fijo, es decir, estaban construidos para realizar una sola tarea. Cambiar el programa era un asunto muy costoso y tedioso.

Los restos modernos de tal dinosaurio serían una calculadora de bolsillo, que se construye para realizar sólo la aritmética básica. En cambio, un ordenador moderno permite cargar un programa de calculadora, o de procesamiento de textos, y no hay que cambiar de máquina para hacerlo.

Este cambio de paradigma se produjo a mediados de la década de 1940 y se denomina programa almacenado o arquitectura von Neumann.

La historia ampliamente accesible, pero menos conocida, es que este concepto tiene sus raíces en la investigación de un problema matemático abstracto llamado Entscheidungsproblem (problema de decisión).

El Entscheidungsproblem fue formulado en 1928 por el famoso matemático David Hilbert.

Se traduce aproximadamente así: “¿existe un procedimiento que pueda decidir la verdad o falsedad de un enunciado matemático en un número finito de pasos?”.

Esto fue respondido negativamente por Alonzo Church y Alan Turing de forma independiente en 1936 y 1937. En su artículo, Turing formula una máquina abstracta, que ahora llamamos la máquina de Turing.

La máquina posee una cinta infinitamente larga (memoria), un cabezal que puede moverse un paso a la vez, leer y escribir en la cinta, una tabla de instrucciones finita que da instrucciones al cabezal, y un conjunto finito de estados (como “aceptar”, o “negar”). Uno inicia la máquina con la entrada en la cinta.

Una máquina así no puede existir fuera del ámbito de las matemáticas ya que tiene una cinta infinitamente larga.

Pero es la herramienta utilizada para definir la noción de computabilidad. Es decir, decimos que un problema es computable si podemos codificarlo mediante una máquina de Turing.

Se puede ver entonces el paralelismo de una máquina de Turing con una máquina de programa fijo.

Ahora, supongamos que hay una máquina de Turing U que puede tomar la tabla de instrucciones y los estados de una máquina de Turing arbitraria T (codificada adecuadamente), y en la misma cinta la entrada I a T, y ejecutar la máquina de Turing T en la entrada I.

Tal máquina se llama una Máquina de Turing Universal.

En su artículo de 1937, Turing demuestra un importante teorema de existencia: existe una máquina de Turing universal. Este es ahora el paralelo del concepto de programa almacenado, la base del moderno ordenador programable.

Es notable que un problema abstracto relativo a los fundamentos de las matemáticas sentara las bases para el advenimiento del moderno ordenador.

Tal vez sea una característica de las matemáticas puras el hecho de que el matemático no esté constreñido por las limitaciones del mundo físico y pueda apelar a la imaginación para crear y construir objetos abstractos.

Eso no quiere decir que el matemático puro no formalice conceptos físicos como energía, entropía, etcétera, para hacer matemáticas abstractas.

En cualquier caso, este ejemplo debería ilustrar que la búsqueda de problemas puramente matemáticos es una causa que merece la pena y que puede ser de enorme valor para la sociedad.